高中数学导数——对于极值距离题目的思考

其实这类题目应该算是比较基础的题型（这个名字是本人自己起的，如果有大佬已经总结欢迎指正。），无论是市面上的教辅还是学校老师往往采用韦达代换解决。虽然用韦达定理也不麻烦，但在这里本人有一些自己的见解，就是运用单主元的思想，当然如有纰漏也请大家在评论区讨论。

说干话没什么意思，用一道例题引出我的想法吧。

（1）没啥可说的，直接跳。

（2）其实很多同学第一次看到这类题目是时都会有这样一种想法：是不是直接让 |x_{1}-x_{2}|=\frac{3}{2} 就行了？

简单用图像验证一下：（借助第一问可以轻松得到a的范围是[-5，-4））

显然，我们接下来要做的就是证明他正好在“拉满”时取到最大值。

不妨设 x_{1}＞x_{2}

能得到 0＜x_{1}-x_{2}\leq\frac{3}{2} 和 |f\left( x_{1} \right)-f\left( x_{2} \right)|=f\left( x_{2} \right)-f\left( x_{1} \right)

设 g\left( x_{2}\right)=f\left( x_{2} \right)-f\left( x_{1} \right)

∴g\left( x_{2} \right)=x_{2}^{2}+ax_{2}+2lnx_{2}-（x_{1}^{2}+ax_{1}+2lnx_{1}）

g’\left( x_{2}\right)=2x_{2}+a+\frac{2}{x_{2}} 这里我们将 x_{2} 看做主元， x_{1} 和 a 则是常量，但要考虑范围。

∵\frac{1}{2}≤|x_{1}-\frac{3}{2}|≤x_{2}＜1 ， a\in [-5,-4) ，

∴g’（x_{2}）＜0 //这里最好再求一阶导证明单减后代端点，不然有点矛盾，具体会在下一篇中说明。

∴g（x_{2}）\leq （x_{1}-\frac{3}{2}）^{2}+a|x_{1}-\frac{3}{2}|+2ln|x_{1}-\frac{3}{2}|-（x_{1}^{2}+ax_{1}+2lnx_{1}）

当且仅当 |x_{1}-x_{2}|=\frac{3}{2} 时取等。

等等，这不就“拉满”了？至此，这道题剩下的部分就毫无悬念了，通过取等条件， x_{1}，x_{2}，a 都变成了实实在在的数，计算即可。

∴|f\left( x_{1} \right)-f\left( x_{2} \right)| 的最大值为 \frac{15}{4}-4ln2

对于多变量的题，使用单一主元或多元依次使用往往是一个不错的办法。

这里还有一道题，留给大家练练手。（步骤等以后用空再码吧^-^）