抽象代数-群论[2]

子群

子群：群G的子集H对于G的乘法构成一个子群。

充要条件1： a,b\in H\Rightarrow ab\in H; a\in H\Rightarrow a^{-1}\in H

充要条件2： a,b\in H\Rightarrow ab^{-1}\in H

充要条件3：若群G的子集H为不空有限子集，则H为子群充要条件 a,b\in H\Rightarrow ab\in H

由上述定理的证明，可以得出推论：H的单位元是G的单位元，H中元素的逆元是G中元素的的逆元。

由不空子集S可以生成子群H：取S中的各元素以及它们的逆作乘积，如果乘积在群G中，则将其放入S中，由此生成的子群称为由S生成的子群，记作 (S) 。如果S仅有一个元素a，那么 (a) 是一个循环子群。

例：循环群的子群也是循环群

关于循环群，有几条总结如下：

1. 有两类循环群的代数结构，无限阶循环群与整数加群同构，有限阶n循环群与模n剩余类加群同构。
2. 循环群的阶和它生成元的阶相同
3. 有限阶n循环群的乘法： a^ia^k=a^r, i+k=nq+r,0\leq r\leq n-1
4. 无限阶循环群的乘法： a^i a^k =a^{i+k}
5. 循环群一定是交换群
6. 阶是素数的群一定是循环群

例：假定群的元a的阶是n，证明 a^r 的阶是 \frac{n}{d} ，其中 d=(r,n) 是二者的最大公因子。

例：假定a生成一个阶是n的循环群G，证明 a^r 也生成G，假如 (r,n)=1 。

子群的陪集

H是群G的子群，先定义一个等价关系 \sim:a\sim b, 当且只当 ab^{-1}\in H 的时候，利用这个等价关系，可以将集合分类，称为子群H的右陪集，包含a的右陪集记作Ha，Ha刚好包含所有可以写成 ha,(h\in H) 形式的G的元。

H是群G的子群，先定义一个等价关系 \sim:a\sim b, 当且只当 b^{-1}a\in H 的时候，利用这个等价关系，可以将集合分类，称为子群H的左陪集，包含a的左陪集记作aH，aH刚好包含所有可以写成 ah,(h\in H) 形式的G的元。

定理：子群H的右陪集个数和左陪集个数相等

定义：子群H的右（左）陪集的个数叫做H在G中的指数。

定理：子群H与H的每一个右陪集Ha之间都存在一一映射（ \phi:h\to ha ），即所有Ha的元素的个数都相同，等于H的阶。

定理：H是有限群G的一个子群，则H的阶n和它在G中的指数j都整除G的阶N，且 N=nj 。

定理：有限群G的任一个元a的阶都整除G的阶。

例：假定a和b是一个群G的两个元，且ab=ba，又a的阶是m，b的阶是n，且 (m,n)=1 ，证明ab的阶是mn

不变子群、商群

定义：群G的一个子群N为一个不变子群，假如对于G的每一个元a来说，都有 Na=aN 。

定义：N刚好包含群G的所有这样性质的元n：na=an, 不论a是G的哪一个元，N称为G的中心

定理：交换群的每一个子群H都是不变子群。例如，循环群是交换群，则循环群的每一个子群都是不变子群。

不变子群的充要条件1： aNa^{-1}=N 对于G的任意一个元a都对。

不变子群的充要条件2：a\in G,n\in N\Rightarrow ana^{-1}\in N

对于整数加群G和它的子群N=(n)，N是一个不变子群，且它的陪集是模n的剩余类，陪集也作成一个群，即模n的剩余类加群。

一个不变子群的陪集作成一个集合S=\{aN,bN,...\} 定义乘法 (xN)(yN)=(xy)N ，则S作成一个群，这个群称为商群，用 G/N 表示。

由上节定理，若G为有限群，则商群的阶即为N在G中的指数，有 G/N的阶=\frac{G的阶}{N的阶} 。

例：指数是2的子群是不变子群。

同态与不变子群

定理：一个群G同它的每一个商群 G/N 同态。（映射 \phi:a\to aN ,(a\in G) 是同态满射）

定义： \phi : G\to \bar{G} 是同态满射，同态满射 \phi 的核为 \{x|x=\phi^{-1}(\bar e),x\in G,\bar e\in \bar{G}\}

定理：若两个群 G,\bar G 同态，则该同态满射下的核N是G的一个不变子群，且 G/N 与 \bar G 同构。

定理：若两个群 G,\bar G 同态，则在这个同态满射下：

G 的子群 H 的象 \bar H 是 \bar G 的子群；G 的不变子群 N 的象 \bar H 是 \bar G 的不变子群；

\bar G 的子群 \bar H 的逆象 H 是 G 的子群；\bar G 的不变子群 \bar N 的逆象 N 是 G 的不变子群.

例：假定 G 和 \bar G 是两个有限循环群，它们的阶各是 m 和 n .证明： G 与 \bar G 同态，当且只当 n|m 时。