函数的间断点种类及其判断

从定义出发

首先，考察间断点的概念：

若y=f(x)再 x=x_{0} 处出现如下三种情况之一，则称 x_{0} 为 y=f(x) 的间断点:

(1)y=f(x)在点 x_{0} 处无定义

(2)y=f(x)在点 x_{0} 处有定义，但 \lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} 不存在

(3)y=f(x)在点 x_{0} 处有定义，但 \lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} 存在，但 \ lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)}≠f(x)

据此，我们可以对间断点进行分类

第一类间断点

第一类间断点也叫有限型间断点，其特点是左右极限均存在.

可去间断点

可去间断点，据名可知，函数在该处定义极限为函数值，即可将该间断点去除。即：左极限，右极限存在且相等，但不等于该点的函数值或在该点无定义。数学语言表示为\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}{f(x)}≠{f(x)}

跳跃间断点

跳跃间断点，顾名思义，即函数在该间断点两侧像是从一个点跳跃到另一个点。其判断方法为：左极限和右极限均存在，但不相等。 \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}{f(x)}≠\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}{f(x)}

第二类间断点

第二类间断点左右极限至少有一个不存在。注：除了第一类间断点其余均为第二类间断点。

无穷间断点

在该点可以无定义，且左右极限至少有一个不存在，且改函数在该点极限为∞。

震荡间断点

在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值再两个常数之间变动无限多次。此时左右极限均不存在。

另外，值得说明的是，第一类间断点也叫非无穷间断点，平时做题中，除了第一类间断点，其余书写时均判定位第二类间断点。同时，根据间断点的类型，我们可对判断间断点的题型作处如下总结：

step1：找出函数无定义的点。

step2：求出该点的左、右极限。观察极限是否存在，左右极限是否等。

step3：根据定义判断间断点种类。

这里是Albert的学习笔记，我是Albert，与你一起突围大学。