任意点到椭圆的最值距离——是亨公式
椭圆外 \forall 一点到椭圆的最值距离，这个问题由来已久。高中阶段在学习圆锥曲线时会涉猎这个问题，但是常规思路一般都会步入一元四次方程的领域,本文不做探讨，求解一元四次方程的超凡计算量让人望而生畏，能从理论上解决问题而不具操作性，因此只能是浅尝辄止。本文利用二次曲线系及其退化、形如 \lambda^{3}+p\lambda+q=0 形式 的一元三次方程以及二元二次多项式在实域内的因式分解等相关初等知识来处理，从而 “逃脱”求解一元四次方程的的“厄运”，实际上也表达了求解一元四次方程的另一数形结合途径。
1、所谓最值距离，系指最大值距离，最小值距离统统包括，一网打尽。
2、点的位置不限，无论在椭圆内外抑或在椭圆上，均能正确求解。
3、是亨公式所论方法系初等方法，求解最简形如 \lambda^{3}+p\lambda+q=0 形式的一元三次方程，可以证明该方程有且只有一个负实根，只要其负实根并给出了相应的求根公式。
4、是亨公式表达复杂但呈现了一定的对称性，一般情况计算以excel自动化或简单编程求解为最佳。
EXCEL利用是亨公式自动求解最值https://www.zhihu.com/video/1578143573639438336一、是亨公式的最简情况,引用一个例题来说明——无需求解三次方程，直接得到最值点的坐标表达式为 \large (x，y)=f(a,b,m,n)
基于椭圆的对称性及问题的一般性,设椭圆方程 bx^{2}+ay^2-ab=0(a>b>0) , 点 p(m,n) 在第一象限，\Large e=\frac{a-b}{a} (引入\Large e只为表达方便，a，b，e 椭圆长半轴、短半轴、离心率的平方)，
若点 p 在直线 \large y=\sqrt{\frac{a}{b}}x 上且 mn\ne0 ，则两个最值点坐标是亨公式
\Large\left\{\begin{array}\\ x_{12}=\frac{1}{2} (\sqrt{(\frac{m}{e})^{2}+a}-\frac{m}{e})\left[-1\pm\sqrt{1+\frac{4}{\sqrt{1+a(\frac{e}{m})^{2}}-1}}\right]\\ y_{12}=\frac{1}{2} (\sqrt{(n\frac{1-e}{e})^2+b}+n\frac{1-e}{e})\left[1\pm\sqrt{1+\frac{4}{\sqrt{1+b(\frac{e}{n(1-e)})^2}-1}}\right]\end{array} \right.
为简便运算验证，构造椭圆方程 \Large \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1 如下图
\Large a=8 ， \Large b=4 ，令 \large P 点坐标 \Large( m，n)\large\left\{\begin{array}\\ \Large\ m=e=\frac{a-b}{a}=\frac{1}{2}\\\Large\ n=m\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.
于是 \large\ x_{12}=-1\pm\sqrt{3},\large\ y_{12}=(1\pm\sqrt{3})/\sqrt{2}
点 p 与椭圆距离的最小值 \large d_{min}=\sqrt{(x_{1}-m)^2+(y_{1}-n)^2}
\large d_{min}=\sqrt{(-1+\sqrt{3}-\frac{1}{2})^2+(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{27-12\sqrt{3}}
点 p 与椭圆距离的最大值 \large d_{max}=\sqrt{(x_{2}-m)^2+(y_{2}-n)^2}
\large d_{max}=\sqrt{(-1-\sqrt{3}-\frac{1}{2})^2+(\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{27+12\sqrt{3}}
二、当点 p 不在直线 y=\sqrt{\frac{a}{b}}x 上时，则两个最值点坐标是亨公式
1、是亨公式所解一元三次方程 \Large4ab\lambda^{3}+[am^2+bn^2-(a-b)^2]\lambda+(a-b)mn=0
2、该一元三次方程\Large\lambda^{3}+p\lambda+q=0的负实根求根公式
令 \Large \Delta=(\frac{p}{3})^3+(\frac{q}{2})^2 , \Large \alpha=arccos\frac{-3q\sqrt{-3p}}{2p^2}
\large\left\{\begin{array}\\ \Large\ \lambda=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}...(\Delta>0)\\\Large\ \lambda=-\frac{2\sqrt{-3p}}{3}cos(\frac{\alpha}{3}-\frac{\pi}{3})...........(\Delta<0)\end{array} \right.
3、计算 \large A、B、C、D、E、F、\Delta、\Delta^{'}、\Delta^{''} 数值,其表达式如下：
\large\left\{\begin{array}\\ \Large\ A=\lambda b \\ \Large\ B=a-b\\ \Large\ C=\lambda a\\ \Large\ D=bn\\ \Large\ E=-am\\ \Large\ F=-\lambda ab\\ \Large\ \Delta=B^2-4AC\\ \Large\ \Delta^{'}=D^2-4AF\\ \Large\ \Delta^{''}=E^2-4CF\end{array} \right.
4、当点 \large p 在直线 \large y=\sqrt{\frac{a}{b}}x 上方时 \large ( \frac{n}{m}>\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}) ，两个最值点坐标是亨公式
\Large\left\{\begin{array}\\ \LARGE\ x_{12}=\frac{\sqrt{\Delta^{''}}+E}{2B}\left[ -1\pm\sqrt{1-\frac{4BE}{(\sqrt{\Delta^{''}}+E)(\sqrt{\Delta}+ B)}}\right]\\\LARGE\ y_{12}=\frac{\sqrt{\Delta^{'}}-D}{2B}\left[ \space \space \space \space \space \space 1\pm\sqrt{1-\frac{4BE}{(\sqrt{\Delta^{'}}-D)(\sqrt{\Delta}- B)}}\right]\end{array} \right.
5、当点 \large p 在直线 \large y=\sqrt{\frac{a}{b}}x 下方时 \large ( \frac{n}{m}<\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}) ，两个最值点坐标是亨公式
\Large\left\{\begin{array}\\ \LARGE\ x_{12}=\frac{\sqrt{\Delta^{''}}+E}{2B}\left[ -1\pm\sqrt{1+\frac{4BE}{(\sqrt{\Delta^{''}}+E)(\sqrt{\Delta}- B)}}\right]\\\LARGE\ y_{12}=\frac{\sqrt{\Delta^{'}}-D}{2B}\left[ \space \space \space \space \space \space 1\pm\sqrt{1+\frac{4BE}{(\sqrt{\Delta^{'}}-D)(\sqrt{\Delta}+ B)}}\right]\end{array} \right.
6、根据两点间距离公式，求得两个最值距离
\Large\left\{\begin{array}\\\Large d_{min}=\sqrt{(m-x_{1})^2+(n-y_{1})^2}\\ \Large d_{max}=\sqrt{(m-x_{2})^2+(n-y_{2})^2}\end{array} \right.
特别的当点 \large p 在直线 \large y=\sqrt{\frac{a}{b}}x上时，坐标也无需求解，直接代入求解两个最值距离
例题如上图， \large a=4 ，\large b=3，\large m=2， \large n=\frac{4}{3}\sqrt{3} ,\large e=\frac{1}{4}
\large B=1,这是随便写的一个椭圆方程，点也是在直线乱选的点，直接写出两个对称形式的最值距离结果
\Large\left\{\begin{array}\\\Large d_{min}=\sqrt{\frac{25\frac{2}{3}-(\sqrt{17}+12)\sqrt{8\sqrt{17}-31}}{2}}\approx1.2148\\ \Large d_{max}=\sqrt{\frac{25\frac{2}{3}+(\sqrt{17}+12)\sqrt{8\sqrt{17}-31}}{2}}\approx4.9184\end{array} \right.
以上数据来自下列方程组，其中最值距离平方和可简单作为一个性质
\Large\left\{\begin{array}\\\LARGE d_{max}^2+d_{min}^2=a+b+2(m^2+n^2)\\ \LARGE d_{max}^2-d_{min}^2=\frac{(\sqrt{Be+m^2}+3m)\sqrt{\sqrt{Be+m^2}+3m)\sqrt{Be+m^2}-m)}}{e}\end{array} \right.
IN THE END。。。。。。
