数学建模之排队论模型·三更
二、 排队论的计算机模拟
排队论中的问题有的可以通过理论计算解决，有的则需要通过计算机模拟计算得到。当理论计算难以解决时，则可以考虑采用计算机模拟计算的方法来解决。
分析：该问题中顾客服务时间服从正态分布，不再是负指数分布，不能直接采用前面的模型计算，因此我们可以考虑采用计算机模拟计算得到需要的结果。
该问题可以从开始时刻计，当有人到达产生一个事件，当有人离开产生一个事件。当有人到达时，记录其开始接受服务时刻和离开服务台的时刻，从而可以计算出每个人在系统逗留的时间，以及每个人在系统接受服务的时间，从而统计出每个人在收款台的平均逗留时间和系统的服务强度。
这里我们可以依次考虑每一个人，考察其到达时刻，开始接受服务时刻和离开时刻
使仿真变得更方便。
上式的意义是当后一个人到达时刻比前一个人离开时刻晚，则其开始接受服务时间就是其到达时间；当后一个人到达时刻比前一个人离开时刻早，则其开始接受服务时间就是前一个人的离开时刻。
Matlab模拟计算程序：
n=10000; %模拟顾客数
dt=exprnd(10,1,n); %到达时间间隔
st=normrnd(6.5,1.2,1,n); %服务台服务时间
%st=exprnd(2.5,1,n); %服务台服务时间
a=zeros(1,n); %每个人到达时间
b=zeros(1,n); %每个人开始接受服务时间
c=zeros(1,n);%每个人离开时间
a(1)=0;
for i=2:n
a(i)=a(i-1)+dt(i-1);%第i个人到达时间
end
b(1)=0;%第1个人开始服务时间为到达时间
c(1)=b(1)+st(1); %第1个人离开时间为服务时间
for i=2:n
if(a(i)<=c(i-1)) b(i)=c(i-1);%如果第i个人到达时间比前一个人离开时间
%早,则其开始服务时间为前一人离开时间
else b(i)=a(i); %如果第i个人到达时间比前一个人离开时间晚,则其开始服务时间为到达时间.
end
c(i)=b(i)+st(i); %第i个人离开时间为其开始服务时间+接受服务时间
end
cost=zeros(1,n); %记录每个人在系统逗留时间
for i=1:n
cost(i)=c(i)-a(i); %第i个人在系统逗留时间
end
T=c(n);%总时间
p=sum(st)/T; %服务率
avert=sum(cost)/n; %每个人系统平均逗留时间
fprintf('顾客平均逗留时间%6.2f秒\n',avert);
fprintf('系统工作强度%6.3f\n',p);
某次仿真结果为：
顾客平均逗留时间 13.32秒
系统工作强度 0.659
解答：该问题可以看作单服务台的排队系统。到达时间不服从负指数分布，服从的是给定的离散分布，服务时间也不服从负指数分布，是定长时间服务。不能直接利用理论公式求解，可采用计算机模拟求解。
下面是Matlab实现程序
1) 产生元件寿命的随机值函数BoatNumber.m
function X=BoatNumber
%产生一个到达船数的随机数
Boat=0:7; %到达船数取值范围
%到达船数概率分布
Prob=[0.05,0.1,0.1,0.25,0.20,0.15,0.1,0.05];
n=length(Prob);
Qu=zeros(1,n+1);
Qu(1)=0;
for i=1:n
Qu(i+1)=Qu(i)+Prob(i); %产生概率区间
end
Qu(n+1)=1.01; %将最后一个数值超过1,便于后面的随机数r取到1
%产生一次到达船数
r=rand(1); %产生一个[0,1]随机变量
for i=1:n
if(r>=Qu(i)&&r<Qu(i+1)) X=Boat(i); %获得到达船数
end
end
return
模拟计算的主程序Boat.m
n=10000; %模拟总天数
x=zeros(n,1); %存储每天到达船数
a=zeros(n,1); %存储每天需要卸货的船数
b=zeros(n,1); %存储每天实际卸货的船数
d=zeros(n,1); %存储每天推迟卸货的船数
for i=1:n
x(i)=BoatNumber; %模拟n天到达船数
end
a(1)=x(1);
if a(1)>4 b(1)=4; %计算每天实际卸货船数
else b(1)=a(1);
end
d(1)=a(1)-b(1);
for i=2:n
a(i)=x(i)+d(i-1); %计算每天需要卸货的船数
if a(i)>4 b(i)=4; %计算每天实际卸货船数
else b(i)=a(i); end
d(i)=a(i)-b(i);
%计算每天推迟卸货的船数
end
Total=sum(d); %计算总共推迟卸货船数
Aver=Total/n; %计算每天推迟卸货的平均船数
fprintf('每天推迟卸货的平均船数%6.2f\n',Aver);
某次模拟结果为：
每天推迟卸货的平均船数2.68
多次模拟计算，每天推迟卸货的平均船数大约在2.75艘左右。
问题3 眼科病床的合理安排(2009B)
医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。
我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。
该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
问题：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
因此我们得到总的非线性整数规划模型为：
