Operadores lineales
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 3: OPERADORES LINEALES
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Operadores lineales
- 2. CONCEPTO • sea V,W dos espacios lineales, entonces un operador lineal (transformación lineal) es una función T :V →W donde cada elemento de V le corresponde un único elemento de W y además cumple con las condiciones siguientes: • 1. Aditivita: ∀x, y ∈V se cumple que T (x + y) = T (x) + T (y). • 2. Homogeneidad. Sean α ∈ℜ, x ∈V , entonces se cumple que: T (α x) = α T (x). • El primer miembro es C.L de elemento de V . • El segundo miembro es C.L de elemento de W .
- 3. ALGEBRIZACION DE LOS OPERADORES LINEALES • sean L (V,W ) el conjunto de todos los operadores lineales. Entonces 〈 L (V,W ),+,•〉 es un espacio lineal teniendo en cuenta que en L (V,W ) se han definido: • a. La igualdad: T1 = T2 si T1 (ν ) = T2 (ν ) ∀ν ∈V . • b. La suma (+) como una O.B.I : sean T ,T L (V,W ) 1 2 ∈ , entonces ( ) ν (ν ) (ν ) T1 + T2 = T1 + T2 . • c. El producto de un real por un operador lineal: (α T )ν = α T(ν ).
- 4. PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LINEALES: • ∀ν ∈V se cumple que T(−ν ) = −T(ν ) • todo operador lineal T :V →W transforma a θ V en θ W • sean T :V →W ; B = {ν 1 ,ν 2 ,…,ν m } una base de V . Entonces si conocemos las imágenes de los elementos de B mediante T , también podemos conocer la imagen de cualquier elemento de V .
- 5. NUCLEO DE UN OPERADOR LINEAL • Núcleo. Sea T :V →W un operador lineal. Entonces el núcleo de T son todos los elementos de V cuya imagen es : θ W ( ) N T = {ν /ν ∈ V,T( ) ν = θ W }. • NOTAS: • a. N(T ) es un subespacio de V . • b. Dim N(T ) ≤ Dim V • c. N(T ) recibe el nombre de nulidad de T .
- 6. RANGO DE UN OPERADOR LINEAL • rango. Sea T :V →W un operador lineal. Entonces el rango de T es el conjunto de elementos de W que son imágenes de al menos un elemento de V . R(T ) = {w/ w∈W;∃ν ∈V;T(ν ) = w}. NOTAS: • a. R(T ) es un subespacio de W . • b. Dim R(T ) ≤ Dim W . • c. Si V y W son Subespacios de dimensión finita, entonces Dim R(T )+ Dim N(T ) = Dim V .
- 7. CLASIFICACION DE LOS OPERADORES LINEALES. • Sea T :V →W un operador lineal. Entonces: • T es inyectivo (1−1) si T(ν 1 ) = T(ν 2 ) →ν 1 =ν 2 ,∀ν 1 ,ν 2 ∈V . • Propiedad: T es inyectivo (1−1) si N(T ) = { } (Dim N(T ) = 0) θ v . • T es sobreyectivo si R(T ) = W , es decir, ∀w∈W ,∃ν ∈V tal que T(ν ) = w . • T es biyectivo si es inyectivo y es sobreyectivo. • NOTAS: • 1. si T es biyectivo, recibe el nombre de operador regular. • 2. si T :V →W es biyectivo (regular) entonces existe el operador inverso T W →V − : 1 . • 3. sea T :V →W con Dim V = Dim W = n.. Entonces • a. si T es inyectivo, entonces T es sobreyectivo. • b. Si T es sobuyectivo, entonces T es inyectivo.
- 8. • isomorfismo. Sea T ∈(V,W ) un operador biyectivo (regular), entonces decimos que T es un isomorfismo o que V es isomorfo con W (V ≅ W ). • NOTAS: decir que T : • V →W es un isomorfismo, implica las siguientes afirmaciones: • a. T es biyectivo (regular). • b. Dim V = Dim W . • c. Dim N(T ) = 0 . • d. Si B1 = {ν 1 ,ν 2 ,…,ν n }⊆ V es L I.. , entonces B2 = {T(ν 1 ),T(ν 2 ),…,T(ν n )}⊆ W también es L I.. . • e. Si B1 = {ν 1 ,ν 2 ,…,ν n }⊆ V genera a V , entonces B2 = {T(ν 1 ),T(ν 2 ),…,T(ν n )}⊆ W , también genera a W . • f. Si B1 = {ν 1 ,ν 2 ,…,ν n }⊆ V es una base de V , entonces B2 = {T(ν 1 ),T(ν 2 ),…,T(ν n )}⊆ W , también es base de W .
- 9. BIBLIOGRAFIA • Héctor Escobar. (2007). Álgebra Lineal. Colombia: Universidad Pontificia Bolivariana.