Este documento introduce el concepto de transformaciones isométricas en el plano cartesiano. Define transformación geométrica como un cambio en el tamaño, forma o posición de una figura y transformación isométrica como un cambio solo en la posición sin alterar tamaño ni forma. Explica tres tipos de transformaciones isométricas: traslación, reflexión y rotación, definiendo cada una y dando ejemplos.
Cuaderno de ejercicios quinto año basico 2017 transformaciones geometricas
1. 135
Transformación isométrica
Como ya ubicas puntos en el plano cartesiano y puedes formar figuras en él,
profundizaremos el trabajo en el plano cartesiano, incorporando el contenido
Transformaciones Isométricas. Para incorporar este contenido es necesario
primero identificar qué es una Transformación Geométrica.
En primer lugar considera los siguientes pares de figuras presentadas en los planos
cartesianos que se diseñaron con el software GeoGebra, el que puedes descargar
de la página www.geogebra.org
Par N°1 Par N°2
Par N°3 Par N°4
Puedes observar que en el Par N°1 se presentan dos triángulos de igual forma, pero
de diferente tamaño. Por otro lado en los pares N°2 y N°3, las figuras son las
mismas, solo se encuentran en posiciones diferentes. Por último en el par N°4 las
figuras son totalmente distintas.
2. 136
Con lo anterior se puede realizar la siguiente definición.
Definición
Se denomina transformación geométrica a la aplicación que hace corresponder
a cada punto del plano otro punto del plano, generándose así un cambio ya sea
de tamaño, en la forma o en la posición de un objeto o un cuerpo.
Observación
De acuerdo a la definición anterior, cada para presentado más arriba es una
transformación geométrica.
Para los pares N°2 y N°3, en donde solo ha cambiado la posición de las figuras,
podemos dar la siguiente definición.
Definición
Se denomina transformación isométrica a la transformación geométrica que
solo modifica la posición de la figura, sin alterar su tamaño ni forma, es decir,
la figura es congruente a la original.
Observación
Congruencia:= igual
Isométricas:= se desprende de iso=igual; métrica=medida
Otros ejemplos de transformaciones isométricas
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En las transformaciones isométricas se identifican:
A. Traslación
B. Reflexión
C. Rotación
Traslación
Definición
Una figura trasladada en el plano, es aquella que se forma al mover la figura en
línea recta. La figura se puede trasladar hacia abajo, hacia arriba, hacia la
izquierda, hacia la derecha y también en diagonal.
Ejemplo
Horizontal Diagonal u oblicua Vertical
Observación
En una traslación:
1. Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como angulares
2. Una figura no cambia su posición respecto de la horizontal.
3. No importa el número de traslaciones que se realicen, siempre es posible
resumirlas en una sola traslación.
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Ejercicios
1. Indica cuáles son transformaciones isométricas. Las que no lo sean
nómbralas como geométricas:
A. C. E.
……………………. ………………….. ………………….
B. D. F.
………………………. …………………… ………………………
2. Ubica los siguientes puntos en el plano:
3,1A ; 1,4B ; 5,1C ; 3,5D
A. Cada punto trasládalo 3
unidades a la derecha e
indica los nuevos pares
ordenados
correspondientes.
' ,A ' ,B ' ,C ' ,D
5. 139
B. Une los puntos A con 'A , B con 'B , C con C , D con 'D . ¿Qué
puedes decir de las medidas de estos segmentos?
3. Ubica los siguientes puntos en el plano:
1,6A ; 2,1B ;
10,1C ; 6,3D
A. Cada punto trasládalo 2 unidades hacia arriba e indica los nuevos
pares ordenados correspondientes.
' ,A ' ,B ' ,C ' ,D
B. Une los puntos A con 'A , B con 'B , C con C , D con 'D . ¿Qué
puedes decir de las medidas de estos segmentos?
6. 140
4. Dibuja el cuadrado de vértices 2,2A ; 2,5B ; 5,2C ; 5,5D .
A. Cada punto
trasládalo dos
unidades a la
derecha y dibuja el
nuevo cuadrado.
B. Mide un lado del cuadrado original y un lado del nuevo cuadrado.
¿Miden lo mismo?
5. En cada plano se presenta una traslación de un cuadrilátero ABCD (figura
geométrica de cuatro lados). ¿Indica cuál fue la traslación que se efectuó?
Figura N°1 Figura N°2
Figura N°1:
Figura N°2:
7. 141
6. Ubica los siguientes puntos en
el plano:
1,1A ; 6,4B ; 4,3C ; 1,6D
A. Cada punto trasládalo 3 unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba
e indica los nuevos pares ordenados correspondientes.
' ,A ' ,B ' ,C ' ,D
B. Une los puntos A con 'A , B con 'B , C con C , D con 'D . Con una
regla mide los segmentos creados ¿Qué puedes decir de las medidas de
estos segmentos?
7. Traslada el triángulo de la figura dos unidades a la derecha y tres unidades
hacia abajo. Indica los puntos del nuevo triangulo.
' ,A ' ,B ' ,C
8. 142
8. A la figura representada en el plano cartesiano se le aplicó una traslación
correspondiente a cuatro unidades a la izquierda y tres unidades a hacia
abajo. Dibuja la nueva figura.
A. Indica los puntos de la figura original.
B. Indica los nuevos puntos.
9. 143
Reflexión o Simetría
Definición
Una figura es simétrica respecto de un eje, llamado eje de simetría, cuando al
dividirla en dos partes, ambas partes coinciden con respecto al eje, igual que al
mirarse en un espejo.
El eje de simetría puede ser horizontal, diagonal o vertical.
Observación
Una figura puede o no poseer un eje de simetría, pero siempre es posible
determinar su simétrico respecto de un eje.
Ejemplo
Las figuras N°1 y N°2 poseen un eje de simetría, pero para todas se determinó
su figura simétrica, respecto de un eje.
Figura N°1 Figura N°2 Figura N°3
Figura N°4 Figura N°5 Figura N°6
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Ejercicios
1. Realiza las siguientes actividades:
A. Ubica los siguientes
puntos en el plano:
1,3A ; 3,2B ;
1,4C ; 2,6D
B. Dibuja el eje de
simetría que
corresponde al
segmento cuyos
puntos son 7,6P y
7,1P .
C. Considerando el eje de simetría que dibujaste, representa en el
plano los puntos que corresponden al simétrico de los puntos A, B,
C y D.
' ,A ' ,B ' ,C ' ,D
2. Dada la figura en el plano cartesiano.
A. Representa
la figura
simétrica
respecto del
eje de
simetría
presentado.
B. Anota los puntos de la figura dibujada y de la nueva figura.
11. 145
3. Dada la figura en el plano cartesiano.
A. Representa la figura
simétrica respecto del
eje de simetría
presentado.
B. Anota los puntos de la
figura dibujada y de la
nueva figura
4. Dadas las siguientes letras y figuras, determina si tiene ejes de simetría.
Las que lo tengan, dibújalos.
12. 146
Rotación
Definición
Una figura rotada es aquella en que el movimiento se efectúa al girar la figura
en torno a un punto fijo llamado punto de rotación, con un cierto ángulo, que
se llama ángulo de rotación. El sentido del ángulo puede ser horario o anti
horario.
Sentido Anti horario Sentido Horario
Observación
Recuerda que algunos ángulos tienen la siguiente clasificación, la que se
realiza en grados.
Ángulo recto: mide exactamente 90
Ángulo extendido: es el que mide exactamente
180o dos rectos.
Ángulo Completo: es el que mide exactamente 360 o
cuatro rectos
13. 147
Observación
Cuando realizas una rotación, respecto de un punto de rotación y con un ángulo
de rotación determinado, cada punto de la figura original deberá formar el
ángulo dado con el punto correspondiente de la nueva figura.
Ejemplo
1. En la siguiente figura, se ha realizado una rotación de 90° respecto del punto
E, en sentido anti horario y cada punto de la figura original forma el ángulo
de 90° respecto del punto de rotación.
2. En la siguiente figura, se ha realizado una rotación de 180° respecto del
punto B, en sentido horario y cada punto de la figura original forma el
ángulo de 180° respecto del punto de rotación.
14. 148
Ejercicios
1. Observa las imágenes a continuación y luego indica en cuál de ellas la figura
sombreada ocupa la misma posición de la figura punteada mediante una
rotación.
A. B.
2. Observa las imágenes y encierra en un círculo las que corresponden a una
rotación.
15. 149
3. Di si la figura ha girado 90°. 180°, 270° 0 360° en el sentido horario o en el
sentido anti horario.
A. C.
B. D.
C. F.
16. 150
4. La siguiente imagen representa una bandera y el punto P es el punto de
rotación.
Observa cuál de las siguientes imágenes representa una rotación en 90°de la
bandera y dibújala en la primera imagen.
5. En la siguiente imagen se distingue una
figura geométrica a la cual se le aplicó
una rotación en 180° resultando otra
figura a la que le faltan las letras
correspondientes a A, B y E de la figura
original. El punto D es el punto de
rotación. Tu misión es asignar a cada
vértice la letra que le falta según
corresponda. Marca A’ al punto A
rotado, B’ al punto B rotado y E’ al
punto E rotado.
