Optik

Zusammenfassung

Die Optik beschäftigt sich speziell mit der Ausbreitung von Licht (die meisten ihrer Ergebnisse sind aber auch auf andere elektromagnetische Wellen übertragbar). In vielen Fällen genügt es dabei, davon auszugehen, dass Licht sich in Strahlen ausbreitet; der Wellencharakter des Lichtes kann vernachlässigt werden.

Dies ist insbesondere der Fall, wenn die charakteristischen Längen des betrachteten Problems (beispielsweise Durchmesser einer Blende oder Dicke einer Linse) sehr groß gegenüber der Wellenlänge des Lichtes sind: Dann sind typische Welleneffekte wie Beugung, Interferenz und Polarisation vernachlässigbar (Abschn. 7.1). Die Funktionsweise von üblichen optischen Geräten wie beispielsweise Teleskopen und Mikroskopen kann deshalb im Rahmen des Brechungs- und des Reflexionsgesetzes, die wir in Abschn. 7.2 besprechen werden, großenteils verstanden werden.

Diese Gesetze können rein mit der geometrischen Optik begründet werden, auch wenn sie letztlich auf dem Verhalten von Wellen beruhen, wie hier gezeigt werden wird. Auch Brechungserscheinungen in der Atmosphäre, die beispielsweise zu Luftspiegelungen und zur sogenannten astronomischen Refraktion führen, können rein im Rahmen der geometrischen Optik diskutiert werden – aber auch hier existiert ein enger Zusammenhang zur Wellenoptik, die sogenannte Eikonalgleichung (Abschn. 7.3).

Appendices

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

• leichte Aufgaben mit wenigen Rechenschritten

•• mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern

••• anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

7.1 •• Regenbogen

Die Abbildung illustriert, wie Sonnenlicht in einem Regentropfen gebrochen wird.

Der Winkel $\varphi_{3}$, unter dem ein eigentlich von der Sonne kommender Lichtstrahl nach Brechung im Regentropfen zu sehen ist, hängt vom Einfallswinkel $\varphi_{1}$ ab. Es gibt jedoch einen bestimmten Einfallswinkel, bei dem kleine Änderungen zu praktisch keinen Änderungen in $\varphi_{3}$ führen. Benachbarte Strahlen verstärken sich bei diesem bestimmten Einfallswinkel also; auf diese Weise entsteht der sichtbare Regenbogen . Berechnen Sie diesen Einfallswinkel und den zugehörigen Winkel $\varphi_{3}$, unter dem der Regenboden dann zu sehen ist. Verwenden Sie dabei für die Brechungsindizes von Luft bzw. Wasser die Werte $n_{1}=1$ bzw. $n_{2}=1{,}33$.

Lösungshinweis:

Dass kleine Änderungen des Einfallswinkels zu praktisch keinen Änderungen in $\varphi_{3}$ führen, bedeutet rechnerisch einfach, dass die Ableitung von $\varphi_{3}$ nach $\varphi_{1}$ verschwinden muss.

7.2 •• Fresnel’sche Formeln

Leiten Sie die Fresnel’schen Formeln (7.37) und (7.38 ) her.

Lösungshinweis:

Die Vorgehensweise ist fast völlig analog zu der bei der Herleitung von (7.35) und (7.36). Um die gesuchten Ergebnisse zu erhalten, ist an mehreren Stellen die Anwendung der trigonometrischen Additionstheoreme nötig.

7.3 •• Reflexions- und Transmissionskoeffizienten

Zeigen Sie durch explizite Berechnung der entsprechenden Winkelabhängigkeiten, dass bei der Brechung für die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten für Polarisation (a) senkrecht bzw. (b) parallel zur Einfallsebene jeweils $R+T=1$ gilt .

Lösungshinweis:

Verwenden Sie die Fresnel’schen Formeln und die Definitionen der Reflexions- und Transmissionskoeffizienten in Abschn. 7.2. Die Rechnungen sind nicht grundsätzlich schwierig, aber unübersichtlich, und erfordern Geschick im Umgang mit den trigonometrischen Additionstheoremen.

7.4 • Eikonale

Zeigen Sie, dass (a) ebene Wellen und (b) Kugelwellen die Eikonalgleichung für konstantes $n$ lösen, und geben Sie jeweils das zugehörige Eikonal $S$ an .

7.5 • Reflexionsgesetz und Brechungsgesetz mit Fermat

• (a) Leiten Sie das Reflexionsgesetz aus dem Fermat’schen Prinzip her. Verwenden Sie dabei die in der Abbildung gezeigten Bezeichnungen .

  

• (b) Leiten Sie das Brechungsgesetz aus dem Fermat’schen Prinzip her. Verwenden Sie dabei die in der Abbildung gezeigten Bezeichnungen .

  

Lösungshinweis:

Schreiben Sie jeweils die Bedingung, dass die Weglängen maximal sein sollen, zunächst mithilfe von $x$ und gehen Sie dann zu einer Beschreibung mit den Winkeln über.

7.6 ••• Brechung in inhomogenem Medium

Der Brechungsindex eines Mediums hänge nur von $y$ ab. Die Lichtstrahlen in diesem Medium sollen sich nur in der $x$-$y$-Ebene befinden, können also durch Kurven $y(x)$ beschrieben werden .

• (a) Leiten Sie aus dem Fermat’schen Prinzip ab, dass dann folgende Differenzialgleichung gilt:

  $$ny^{\prime\prime}-(1+y^{\prime 2})n^{\prime}=0,$$

  (7.133)

  wobei

  $$y^{\prime}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\quad\text{und}\quad n^{\prime}=\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}y}$$

  (7.134)

  ist.

• (b) Begründen Sie aus der Differenzialgleichung, dass Lichtstrahlen immer in die Richtung der größeren optischen Dichte gekrümmt sind.

• (c) Leiten Sie aus der Differenzialgleichung für Lichtstrahlen, welche die $x$-Achse an einer beliebigen Stelle $x_{0}$ berühren, folgenden Zusammenhang her:

  $$n(y)=n(0)\sqrt{1+y^{\prime 2}}.$$

  (7.135)

• (d) Ermitteln Sie damit, wie der Brechungsindex von $y$ abhängen muss, damit der Lichtstrahl einer Parabel $y=a(x-x_{0})^{2}$ folgt.

• (e) Für den Brechungsindex eines Mediums gelte speziell

  $$n(y)=n_{0}+n_{1}y.$$

  (7.136)

  Ein Lichtstrahl soll im Ursprung parallel zur $x$-Achse in dieses Medium eintreten. Ermitteln Sie die Kurve $y(x)$ dieses Lichtstrahles.

Lösungshinweis:

(a) Stellen Sie die optische Weglänge als Funktional der Kurve $y(x)$ dar und benutzen Sie die Variationsrechnung. (c) Nach Multiplizieren der Differenzialgleichung mit $y^{\prime}$ kann diese aufintegriert werden. (e) Das Ergebnis aus Teilaufgabe (c) führt hier auf eine einfache Differenzialgleichung.

7.7 •• Fraunhofer-Beugung an Rechtecken

Eine Blende liege in der $x$-$y$-Ebene, der Schirm stehe parallel dazu im Abstand $D$, wobei für die Abmessungen $a$ und $b$ der Öffnungen in der Blende $a\ll D$ und $b\ll D$ gelte. Berechnen Sie in der Fraunhofer’schen Näherung die Intensität in Abhängigkeit der Koordinaten $x$ und $y$ auf dem Schirm für folgende Öffnungen:

• (a) Vier Öffnungen von vernachlässigbarer Größe mit Koordinaten, für die $|x|=a$ und $|y|=b$ gilt.

• (b) Eine Öffnung in Gestalt der Kanten eines Rechtecks, wobei jeweils $|x|=a$ und $|y|\leq b$ bzw. $|x|\leq a$ und $|y|=b$ gilt.

• (c) Eine rechteckige Öffnung mit $|x|\leq a$ und $|y|\leq b$.

Lösungshinweis:

Beschreiben Sie Öffnungen von vernachlässigbarer Größe bzw. Breite mit Deltafunktionen. Benutzen Sie die Näherungen $x\ll D$ und $y\ll D$ (warum gilt das?).

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben

7.1

Zunächst überlegt man sich, dass der Lichtstrahl bei Ein- und Austritt in den Regentropfen jeweils um den Winkel $\varphi_{1}-\varphi_{2}$ nach rechts gedreht wird und bei der Reflexion um $180^{\circ}-2\varphi_{2}$, insgesamt also um $\Updelta\varphi=180^{\circ}+2\varphi_{1}-4\varphi_{2}$. Damit ergibt sich

$$\varphi_{3}=180^{\circ}-\Updelta\varphi=4\varphi_{2}-2\varphi_{1},$$

(7.137)

und mit dem Brechungsgesetz folgt

$$\varphi_{3}=4\arcsin\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}\sin\varphi_{1}\right)-2\varphi_{1}.$$

(7.138)

$\varphi_{3}$ ist unabhängig von kleinen Änderungen in $\varphi_{1}$, wenn

$$\frac{\mathrm{d}\varphi_{3}}{\mathrm{d}\varphi_{1}}=0$$

(7.139)

ist, also

$$\frac{4\frac{n_{1}}{n_{2}}\cos\varphi_{1}}{\sqrt{1-\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}\sin\varphi_{1}\right)^{2}}}-2=0.$$

(7.140)

Daraus erhält man zunächst leicht

$$16\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}\right)^{2}\cos^{2}\varphi_{1}=4-4\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}\right)^{2}\sin^{2}\varphi_{1}.$$

(7.141)

Verwendet man dann $\sin^{2}\varphi_{1}=1-\cos^{2}\varphi_{1}$ und führt einige algebraische Umformungen durch, so hat man schließlich

$$\cos\varphi_{1}=\sqrt{\frac{1}{3}\left(\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right)^{2}-1\right)}.$$

(7.142)

Setzt man die konkret gegebenen Zahlenwerte ein, so ergibt sich

$$\varphi_{1}\approx 59{,}6^{\circ}.$$

(7.143)

Mit (7.138) erhält man damit schließlich für den Winkel, unter dem der Regenbogen sichtbar ist,

$$\varphi_{3}\approx 42^{\circ}.$$

(7.144)

7.2

Zunächst sieht man leicht ein, dass aus (7.27) einfach $0=0$ folgt: Da ${\boldsymbol{k}}$ und ${\boldsymbol{E}}_{0}$ jeweils beide in der $y$-$z$-Ebene liegen, steht ihr Kreuzprodukt senkrecht zu dieser Ebene, also ist $({\boldsymbol{k}}\times{\boldsymbol{E}}_{0})\cdot{\boldsymbol{\hat{e}}}_{z}=0$.

Berücksichtigt man, dass die elektrischen Feldvektoren jeweils senkrecht zu den Wellenvektoren stehen, so sieht man, dass ${\boldsymbol{E}}_{0}$ mit ${\boldsymbol{\hat{e}}}_{z}$ den Winkel $90^{\circ}-\varphi_{1}$ einschließt und ${\boldsymbol{E}}^{\prime}_{0}$ mit ${\boldsymbol{\hat{e}}}_{z}$ den Winkel $90^{\circ}-\varphi_{2}$, aber ${\boldsymbol{E}}^{\prime\prime}_{0}$ mit ${\boldsymbol{\hat{e}}}_{z}$ den Winkel $-(90^{\circ}-\varphi_{1})$. Aus (7.4) folgt dann mit

$${\boldsymbol{E}}_{0}\times{\boldsymbol{\hat{e}}}_{z}=E_{0}\sin(90^{\circ}-\varphi_{1}){\boldsymbol{\hat{e}}}_{x}=E_{0}\cos\varphi_{1}{\boldsymbol{\hat{e}}}_{x}$$

(7.145)

und ebenso für die anderen beiden Summanden, dass

$$E_{0}\cos\varphi_{1}-E^{\prime\prime}_{0}\cos\varphi_{1}-E^{\prime}_{0}\cos\varphi_{2}=0$$

(7.146)

gelten muss und deshalb

$$E^{\prime}_{0}=\frac{\cos\varphi_{1}}{\cos\varphi_{2}}(E_{0}-E^{\prime\prime}_{0}).$$

(7.147)

Ähnlich liefern (7.26) und (7.28) die beiden Bedingungen

$$\begin{aligned}\displaystyle E_{0}+E^{\prime\prime}_{0}-\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}\frac{\sin\varphi_{2}}{\sin\varphi_{1}}E^{\prime}_{0}&\displaystyle=0,\\ \displaystyle kE_{0}+kE^{\prime\prime}_{0}-k^{\prime}E^{\prime}_{0}&\displaystyle=0.\end{aligned}$$

(7.148)

Benutzt man das Brechungsgesetz und $n=\sqrt{\epsilon}$, so folgt aus beiden Gleichungen

$$E_{0}+E^{\prime\prime}_{0}-\frac{\sin\varphi_{1}}{\sin\varphi_{2}}E^{\prime}_{0}=0.$$

(7.149)

Setzen wir darin das Ergebnis für $E^{\prime}_{0}$ von oben ein und teilen noch durch $E_{0}$, so bleibt

$$1+\frac{E^{\prime\prime}_{0}}{E_{0}}-\frac{\sin\varphi_{1}\cos\varphi_{1}}{\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{2}}\left(1-\frac{E^{\prime\prime}_{0}}{E_{0}}\right)=0$$

(7.150)

bzw. nach Umformen

$$\frac{E^{\prime\prime}_{0}}{E_{0}}=\frac{\sin\varphi_{1}\cos\varphi_{1}-\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{2}}{\sin\varphi_{1}\cos\varphi_{1}+\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{2}}.$$

(7.151)

Im Prinzip ist dies bereits die Fresnel’sche Formel (7.37). Das dort angegebene Ergebnis erhält man, indem man $1=\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi$ in beiden Summanden im Zähler einfügt und ihn folgendermaßen umschreibt:

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\sin\varphi_{1}\cos\varphi_{1}\left(\cos^{2}\varphi_{2}+\sin^{2}\varphi_{2}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle\qquad-\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{2}\left(\sin^{2}\varphi_{1}+\cos^{2}\varphi_{1}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle\quad=\sin\varphi_{1}\cos\varphi_{1}\cos^{2}\varphi_{2}-\sin^{2}\varphi_{1}\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{2}\\ \displaystyle&\displaystyle\qquad-\sin\varphi_{2}\cos^{2}\varphi_{1}\cos\varphi_{2}+\sin\varphi_{1}\sin^{2}\varphi_{2}\cos\varphi_{1}\\ \displaystyle&\displaystyle\quad=\left(\sin\varphi_{1}\cos\varphi_{2}-\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle\qquad\cdot\left(\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}-\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle\quad=\sin(\varphi_{1}-\varphi_{2})\cos(\varphi_{1}+\varphi_{2}).\end{aligned}$$

(7.152)

Verfährt man im Nenner ebenso, bleibt

$$\frac{E^{\prime\prime}_{0}}{E_{0}}=\frac{\sin(\varphi_{1}-\varphi_{2})\cos(\varphi_{1}+\varphi_{2})}{\sin(\varphi_{1}+\varphi_{2})\cos(\varphi_{1}-\varphi_{2})}=\frac{\tan(\varphi_{1}-\varphi_{2})}{\tan(\varphi_{1}+\varphi_{2})}.$$

(7.153)

Aus dem Ergebnis, das wir oben aus (7.4) gewonnen hatten, folgt außerdem

$$\frac{E^{\prime}_{0}}{E_{0}}=\frac{\cos\varphi_{1}}{\cos\varphi_{2}}\left(1-\frac{E^{\prime\prime}_{0}}{E_{0}}\right).$$

(7.154)

Setzen wir nun das Ergebnis für $E^{\prime\prime}_{0}/E_{0}$ (vor den letzten Umformungen) darin ein, so haben wir

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{E^{\prime}_{0}}{E_{0}}&\displaystyle=\frac{\cos\varphi_{1}}{\cos\varphi_{2}}\left(1-\frac{\sin\varphi_{1}\cos\varphi_{1}-\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{2}}{\sin\varphi_{1}\cos\varphi_{1}+\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{2}}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{2\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}}{\sin\varphi_{1}\cos\varphi_{1}+\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{2}}.\end{aligned}$$

(7.155)

Den Nenner kann man wie eben umschreiben, sodass sich schließlich ergibt:

$$\frac{E^{\prime}_{0}}{E_{0}}=\frac{2\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}}{\sin(\varphi_{1}+\varphi_{2})\cos(\varphi_{1}-\varphi_{2})}.$$

(7.156)

7.3

• (a) Bei Polarisation senkrecht zur Einfallsebene hat man

  $$R_{\perp} =\left(\frac{E^{\prime\prime}_{0}}{E_{0}}\right)^{2}=\left(\frac{\sin(\varphi_{2}-\varphi_{1})}{\sin(\varphi_{1}+\varphi_{2})}\right)^{2},$$

  (7.157)
  $$T_{\perp} =\frac{\tan\varphi_{1}}{\tan\varphi_{2}}\left(\frac{E^{\prime}_{0}}{E_{0}}\right)^{2}=\frac{\tan\varphi_{1}}{\tan\varphi_{2}}\left(\frac{2\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}}{\sin(\varphi_{1}+\varphi_{2})}\right)^{2}.$$

  Beide Brüche haben im Nenner den Term $\sin^{2}(\varphi_{1}+\varphi_{2})$ gemeinsam. Betrachten wir zunächst nur die restlichen Faktoren:

  $$\begin{aligned}\displaystyle\sin^{2}(\varphi_{2}-\varphi_{1})&\displaystyle=\left(\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}-\sin\varphi_{1}\cos\varphi_{2}\right)^{2}\\ \displaystyle&\displaystyle=\sin^{2}\varphi_{2}\cos^{2}\varphi_{1}+\sin^{2}\varphi_{1}\cos^{2}\varphi_{2}\\ \displaystyle&\displaystyle\quad-2\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}\\ \displaystyle\end{aligned}$$

  (7.158)

  und

  $$\frac{\tan\varphi_{1}}{\tan\varphi_{2}}\left(2\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}\right)^{2} =\frac{\tan\varphi_{1}}{\tan\varphi_{2}}4\sin^{2}\varphi_{2}\cos^{2}\varphi_{1}$$

  (7.159)
  $$ =4\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}.$$

  Die Summe dieser beiden Terme ist

  $$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle=\sin^{2}\varphi_{2}\cos^{2}\varphi_{1}+\sin^{2}\varphi_{1}\cos^{2}\varphi_{2}\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+2\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}\\ \displaystyle&\displaystyle=\left(\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}+\sin\varphi_{1}\cos\varphi_{2}\right)^{2}\\ \displaystyle&\displaystyle=\sin^{2}(\varphi_{1}+\varphi_{2}),\end{aligned}$$

  (7.160)

  also gleich dem gemeinsamen Nenner der beiden Brüche. Damit ist tatsächlich

  $$R_{\perp}+T_{\perp}=1.$$

  (7.161)

• (b) Bei Polarisation parallel zur Einfallsebene hat man

  $$\begin{aligned}\displaystyle R_{\|}&\displaystyle=\left(\frac{\tan(\varphi_{1}-\varphi_{2})}{\tan(\varphi_{1}+\varphi_{2})}\right)^{2},\\ \displaystyle T_{\|}&\displaystyle=\frac{\tan\varphi_{1}}{\tan\varphi_{2}}\left(\frac{2\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}}{\sin(\varphi_{1}+\varphi_{2})\cos(\varphi_{1}-\varphi_{2})}\right)^{2}.\end{aligned}$$

  (7.162)

  Den Reflexionskoeffizienten kann man zunächst umschreiben als

  $$R_{\|}=\left(\frac{\sin(\varphi_{1}-\varphi_{2})\cos(\varphi_{1}+\varphi_{2})}{\sin(\varphi_{1}+\varphi_{2})\cos(\varphi_{1}-\varphi_{2})}\right)^{2}.$$

  (7.163)

  Damit haben beide Brüche wieder einen gemeinsamen Faktor im Nenner, und es genügt, die restlichen Terme zu betrachten. Beim Transmissionskoeffizienten ergibt sich genau wie oben zunächst

  $$\frac{\tan\varphi_{1}}{\tan\varphi_{2}}\left(2\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}\right)^{2}=4\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}.$$

  (7.164)

  Beim Reflexionskoeffizienten haben wir zu berechnen:

  $$ \sin^{2}(\varphi_{1}-\varphi_{2})\cos^{2}(\varphi_{1}+\varphi_{2})$$
  $$ \quad=\left(\sin\varphi_{1}\cos\varphi_{2}-\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}\right)^{2}$$
  $$ \qquad\cdot\left(\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}-\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2}\right)^{2}$$
  $$ \quad=\left(\sin^{2}\varphi_{1}\cos^{2}\varphi_{2}-2\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}\right.$$
  $$ \qquad\left.+\sin^{2}\varphi_{2}\cos^{2}\varphi_{1}\right)$$
  $$ \qquad\cdot\left(\cos^{2}\varphi_{1}\cos^{2}\varphi_{2}-2\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}\right.$$
  $$ \qquad\left.+\sin^{2}\varphi_{1}\sin^{2}\varphi_{2}\right)$$
  $$ \quad=\sin^{2}\varphi_{1}\cos^{2}\varphi_{1}\cos^{4}\varphi_{2}+\sin^{4}\varphi_{1}\sin^{2}\varphi_{2}\cos^{2}\varphi_{2}$$
  $$ \qquad+\sin^{2}\varphi_{2}\cos^{4}\varphi_{1}\cos^{2}\varphi_{2}+\sin^{2}\varphi_{1}\sin^{4}\varphi_{2}\cos^{2}\varphi_{1}$$
  $$ \qquad+4\sin^{2}\varphi_{1}\sin^{2}\varphi_{2}\cos^{2}\varphi_{1}\cos^{2}\varphi_{2}$$
  $$ \qquad-2\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}$$
  $$ \qquad\cdot\left(\sin^{2}\varphi_{1}\cos^{2}\varphi_{2}+\sin^{2}\varphi_{2}\cos^{2}\varphi_{1}\right.$$
  $$ \qquad+\left.\cos^{2}\varphi_{1}\cos^{2}\varphi_{2}+\sin^{2}\varphi_{1}\sin^{2}\varphi_{2}\right).$$

  (7.165)

  Wie man leicht sieht, ist der Ausdruck in den Klammern der letzten beiden Zeilen einfach 1. Addiert man den Term vom Transmissionskoeffizienten, so bleibt schließlich

  $$ =\sin^{2}\varphi_{1}\cos^{2}\varphi_{1}\cos^{4}\varphi_{2}+\sin^{4}\varphi_{1}\sin^{2}\varphi_{2}\cos^{2}\varphi_{2}$$
  $$ \quad+\sin^{2}\varphi_{2}\cos^{4}\varphi_{1}\cos^{2}\varphi_{2}+\sin^{2}\varphi_{1}\sin^{4}\varphi_{2}\cos^{2}\varphi_{1}$$
  $$ \quad+4\sin^{2}\varphi_{1}\sin^{2}\varphi_{2}\cos^{2}\varphi_{1}\cos^{2}\varphi_{2}$$
  $$ \quad+2\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}.$$

  (7.166)

  Führt man nun alle Rechenschritte von oben einfach rückwärts aus, so kann man dies auch schreiben als

  $$=\left[\sin(\varphi_{1}+\varphi_{2})\cos(\varphi_{1}-\varphi_{2})\right]^{2}.$$

  (7.167)

  In der Summe ergibt sich somit wieder genau der gemeinsame Nenner, und es gilt tatsächlich

  $$R_{\|}+T_{\|}=1.$$

  (7.168)

7.4

• (a) Bei einer ebenen Welle ist

  $$\Uppsi({\boldsymbol{r}})=\Uppsi_{0}\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{r}}}$$

  (7.169)

  mit konstanten $\Uppsi_{0}$ und ${\boldsymbol{k}}$. Vergleicht man mit dem allgemeinen Ansatz zur Lösung von (7.48), so ist

  $${\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{r}}=k_{0}S({\boldsymbol{r}}).$$

  (7.170)

  Es gilt also

  $$S({\boldsymbol{r}})=\frac{{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{r}}}{k_{0}}=n{\boldsymbol{\hat{k}}}\cdot{\boldsymbol{r}}$$

  (7.171)

  (7.51). Daraus folgt

  $$\mathbf{grad}\,\,S=n{\boldsymbol{\hat{k}}},$$

  (7.172)

  woran man sofort sieht, dass dieses $S$ die Eikonalgleichung löst.

• (b) Bei einer Kugelwelle ist

  $$\Uppsi({\boldsymbol{r}})=\Uppsi_{0}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}}{r}$$

  (7.173)

  mit konstanten $\Uppsi_{0}$ und $k$. Vergleicht man mit dem allgemeinen Ansatz zur Lösung von (7.48), so ist

  $$kr=k_{0}S({\boldsymbol{r}}).$$

  (7.174)

  Es gilt also

  $$S({\boldsymbol{r}})=\frac{kr}{k_{0}}=nr.$$

  (7.175)

  Daraus folgt

  $$\mathbf{grad}\,\,S=n{\boldsymbol{\hat{r}}},$$

  (7.176)

  woran man sofort sieht, dass dieses $S$ die Eikonalgleichung löst.

7.5

• (a) Die optische Weglänge ist in Abhängigkeit von $x$:

  $$l_{\mathrm{opt}}(x)=n_{1}\left(\sqrt{x^{2}+h^{2}}+\sqrt{(a-x)^{2}+b^{2}}\right).$$

  (7.177)

  Dies soll extremal sein:

  $$\frac{\mathrm{d}l_{\mathrm{opt}}(x)}{\mathrm{d}x}=0.$$

  (7.178)

  Aus dieser Bedingung ergibt sich leicht

  $$\frac{x}{\sqrt{x^{2}+h^{2}}}=\frac{a-x}{\sqrt{(a-x)^{2}+b^{2}}}.$$

  (7.179)

  Die Quotienten links und rechts sind aber nun nichts anderes als der jeweilige Sinus des zugehörigen Winkels. Wir haben also

  $$\sin\alpha=\sin\beta,$$

  (7.180)

  und da $\alpha$ und $\beta$ beide offensichtlich zwischen $0^{\circ}$ und $90^{\circ}$ liegen müssen, folgt sofort

  $$\alpha=\beta,$$

  (7.181)

  was zu zeigen war.

• (b) Die optische Weglänge ist in Abhängigkeit von $x$:

  $$l_{\mathrm{opt}}(x)=n_{1}\sqrt{x^{2}+h^{2}}+n_{2}\sqrt{(a-x)^{2}+b^{2}}.$$

  (7.182)

  Dies soll extremal sein:

  $$\frac{\mathrm{d}l_{\mathrm{opt}}(x)}{\mathrm{d}x}=0.$$

  (7.183)

  Aus dieser Bedingung ergibt sich leicht

  $$n_{1}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+h^{2}}}=n_{2}\frac{a-x}{\sqrt{(a-x)^{2}+b^{2}}}.$$

  (7.184)

  Die Ausdrücke links und rechts sind aber nun nichts anderes als der jeweilige Sinus des zugehörigen Winkels. Wir haben also

  $$n_{1}\sin\alpha=n_{2}\sin\beta,$$

  (7.185)

  und daraus folgt sofort das Brechungsgesetz

  $$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{n_{2}}{n_{1}}.$$

  (7.186)

  (Übrigens wurde dieses Beispiel bereits in Bd. 1, Kap. 5 komplett vorgerechnet.)

7.6

• (a) In Abhängigkeit vom Lichtweg $y(x)$ ist die optische Weglänge zwischen zwei Stellen $x_{1}$ und $x_{2}$ allgemein

  $$l_{\mathrm{opt}}=\int_{x_{1}}^{x_{2}}n(y)\sqrt{\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}}=\int_{x_{1}}^{x_{2}}n(y)\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x.$$

  (7.187)

  Dieser Ausdruck soll extremal werden. Schreiben wir für den Integranden kurz $N(y,y^{\prime})$, so muss laut der Variationsrechnung eine Euler-Lagrange-Gleichung für $N$ gelten (siehe das Hamilton’sche Prinzip in Bd. 1, Abschn. 5.5):

  $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial N}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial N}{\partial y}=0.$$

  (7.188)

  Das führt zunächst auf

  $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{n(y)y^{\prime}}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}-n^{\prime}(y)\sqrt{1+y^{\prime 2}}=0$$

  (7.189)

  bzw. nach dem Berechnen der $x$-Ableitung auf

  $$n^{\prime}\frac{y^{\prime 2}}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}+n\frac{y^{\prime\prime}}{\left(\sqrt{1+y^{\prime 2}}\right)^{3}}-n^{\prime}\sqrt{1+y^{\prime 2}}=0.$$

  (7.190)

  Daraus ergibt sich leicht die angegebene Differenzialgleichung.

• (b) Es gilt

  $$y^{\prime\prime}=\frac{1+y^{\prime 2}}{n}n^{\prime}.$$

  (7.191)

  Da sicher $n> 0$ ist, folgt, dass die Vorzeichen von $y^{\prime\prime}$ und $n^{\prime}$ gleich sind. Nimmt $n^{\prime}$ nach oben zu, also $n^{\prime}> 0$, gilt deshalb auch $y^{\prime\prime}> 0$. Das bedeutet aber, dass der Lichtstrahl linksgekrümmt ist, d. h. in die Richtung der größeren optischen Dichte. Entsprechend argumentiert man für $n^{\prime}<0$.

• (c) Wir bringen alle Terme mit Ableitungen von $y$ auf eine Seite, alle Terme mit $n$ und Ableitungen davon auf die andere Seite und multiplizieren mit $y^{\prime}$:

  $$\frac{y^{\prime}y^{\prime\prime}}{1+y^{\prime 2}}=\frac{n^{\prime}y^{\prime}}{n}.$$

  (7.192)

  Berücksichtigt man, dass

  $$n^{\prime}y^{\prime}=\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}n(y(x))}{\mathrm{d}x}$$

  (7.193)

  ist, so kann man dies auch schreiben als

  $$\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln(1+y^{\prime 2})=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln n.$$

  (7.194)

  Aufintegrieren ergibt

  $$\ln\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\ln n+k.$$

  (7.195)

  Die Integrationskonstante kann aus den Randbedingungen $y(x_{0})=y^{\prime}(x_{0})=0$ zu $k=-\ln n(0)$ bestimmt werden. Damit folgt das angegebene Ergebnis.

• (d) Für $y=a(x-x_{0})^{2}$ hat man $y^{\prime}=2a(x-x_{0})$, also gilt $y(x_{0})=y^{\prime}(x_{0})=0$, und das Ergebnis aus (c) kann verwendet werden:

  $$n(y)=n(0)\sqrt{1+y^{\prime 2}}=n(0)\sqrt{1+4a^{2}(x-x_{0})^{2}}.$$

  (7.196)

  Für $a(x-x_{0})^{2}$ kann man hier aber einfach wieder $y$ einsetzen; es ergibt sich

  $$n(y)=n(0)\sqrt{1+4ay}.$$

  (7.197)

• (e) Aus Teilaufgabe (c) erhalten wir

  $$n_{0}+n_{1}y=n_{0}\sqrt{1+y^{\prime 2}}$$

  (7.198)

  und damit

  $$y^{\prime}=\sqrt{\left(1+\frac{n_{1}}{n_{0}}y\right)^{2}-1}.$$

  (7.199)

  Setzen wir

  $$z=1+\frac{n_{1}}{n_{0}}y,$$

  (7.200)

  so haben wir

  $$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=\frac{n_{1}}{n_{0}}\sqrt{z^{2}-1}.$$

  (7.201)

  Nach Trennung der Variablen kann man diese Differenzialgleichung leicht aufintegrieren; es ergibt sich

  $${\mathrm{arcosh\> }}z=\frac{n_{1}}{n_{0}}x+k.$$

  (7.202)

  Aus der Randbedingung $y(0)=0$ folgt $k=0$ und damit letztlich

  $$y(x)=\frac{n_{0}}{n_{1}}\left[\cosh\left(\frac{n_{1}}{n_{0}}x\right)-1\right].$$

  (7.203)

7.7

Wir benutzen das Ergebnis (7.110) mit

$$A(x,y)=\int_{\text{{\"O}}}\mathrm{d}^{2}x^{\prime}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k{\boldsymbol{\hat{r}}}\cdot{\boldsymbol{x}}^{\prime}}$$

(7.204)

und

$$A=\int_{\text{{\"O}}}\mathrm{d}^{2}x^{\prime}.$$

(7.205)

Für den Einheitsvektor können wir schreiben:

$$\boldsymbol{\hat{r}}=\frac{1}{\sqrt{D^{2}+x^{2}+y^{2}}}\begin{pmatrix}x\\ y\\ D\\ \end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}x/D\\ y/D\\ 1\\ \end{pmatrix}$$

(7.206)

Hier wurde $x\ll D$ und $y\ll D$ genähert, da die Fraunhofer’sche Näherung ja nur für kleine Winkel gilt. Damit haben wir dann

$${\boldsymbol{\hat{r}}}\cdot{\boldsymbol{x}}^{\prime}=\frac{xx^{\prime}}{D}+\frac{yy^{\prime}}{D}.$$

(7.207)

Außerdem definieren wir die Abkürzungen

$$\alpha=\frac{ka}{D}\quad\text{und}\quad\beta=\frac{kb}{D}.$$

(7.208)

• (a) Beschreibt man die vier Öffnungen mit Deltafunktionen, also $\delta(x^{\prime}-a)\delta(y^{\prime}-b)$ usw., so ergeben die Integrale über die Blendenöffnung(en) hier insgesamt

  $$\begin{aligned}\displaystyle A(x,y)&\displaystyle=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(xa/D+yb/D)}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(-xa/D+yb/D)}\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(-xa/D-yb/D)}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(xa/D-yb/D)}\\ \displaystyle&\displaystyle=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}kxa/D}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kxa/D}\right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}kyb/D}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kyb/D}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=4\cos(\alpha x)\cos(\beta y)\end{aligned}$$

  (7.209)

  und

  $$A=4.$$

  (7.210)

  Damit haben wir einfach

  $$\frac{I}{I_{0}}=\cos^{2}(\alpha x)\cos^{2}(\beta y).$$

  (7.211)

• (b) Wir integrieren entlang der Kanten; bei den Kanten in $x^{\prime}$-Richtung hat man Deltafunktionen $\delta(y^{\prime}-b)$ bzw. $\delta(y^{\prime}+b)$, bei den Kanten in $y^{\prime}$-Richtung entsprechend Deltafunktionen für $x^{\prime}$. Damit ergibt sich

  $$\begin{aligned}\displaystyle A(x,y)&\displaystyle=\int_{-a}^{a}\mathrm{d}x^{\prime}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kxx^{\prime}/D}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kyb/D}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kyb/D}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kxa/D}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kxa/D}\right)\int_{-b}^{b}\mathrm{d}y^{\prime}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kyy^{\prime}/D}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kxa/D}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kxa/D}}{\mathrm{i}kx/D}2\cos(kyb/D)\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+2\cos(kxa/D)\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kyb/D}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kyb/D}}{\mathrm{i}ky/D}\\ \displaystyle&\displaystyle=4\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha x/a}\cos(\beta y)+4\cos(\alpha x)\frac{\sin(\beta y)}{\beta y/b}.\\ \displaystyle\end{aligned}$$

  (7.212)

  Außerdem erhält man

  $$A=4a+4b.$$

  (7.213)

  Damit haben wir

  $$\displaystyle\frac{I}{I_{0}}=\left(\frac{a}{a+b}\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha x}\cos(\beta y)+\frac{b}{a+b}\cos(\alpha x)\frac{\sin(\beta y)}{\beta y}\right)^{2}.$$

  (7.214)

• (c) Hier muss über das ganze Rechteck integriert werden:

  $$\begin{aligned}\displaystyle A(x,y)&\displaystyle=\int_{-a}^{a}\mathrm{d}x^{\prime}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kxx^{\prime}/D}\int_{-b}^{b}\mathrm{d}y^{\prime}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kyy^{\prime}/D}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kxa/D}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kxa/D}}{\mathrm{i}kx/D}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kyb/D}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kyb/D}}{\mathrm{i}ky/D}\\ \displaystyle&\displaystyle=4\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha x/a}\frac{\sin(\beta y)}{\beta y/b}.\end{aligned}$$

  (7.215)

  Außerdem ist offensichtlich

  $$A=4ab.$$

  (7.216)

  Damit haben wir

  $$\frac{I}{I_{0}}=\left(\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha x}\right)^{2}\left(\frac{\sin(\beta y)}{\beta y}\right)^{2}.$$

  (7.217)