SUCESOS

La probabilidad estudia el comportamiento de los sucesos de un experimento. Un suceso es un “hecho” que se cumple en un experimento.

Llamamos espacio muestral al conjunto de todos los sucesos del experimento.

Por ejemplo: si el experimento es tirar dos monedas, el espacio muestral sería: E= {cc, cx, xc, xx}.

TIPOS DE SUCESOS

• Elementales: cada uno de los sucesos del espacio muestral.

Ejemplo: salir dos caras al tirar dos monedas.

• Compuestos: formados por más de uno elemental.

Ejemplo: al tirar dos monedas que salga al menos una cara. €= {cc, xc, cx }.

• Suceso vacío: el que no tiene ningún elemento o suceso imposible.
• Suceso seguro: el que se verifica siempre. Coincide con el espacio muestral.
• Suceso contrario: el que se verifica cuando no se verifica el suceso.También se llama complementario.

REPRESENTACIÓN DE UN SUCESO

• DIAGRAMAS DE VENN.
• DIAGRAMAS DE ÁRBOL.
• DIAGRAMAS DE CONTINGENCIA.

OPERACIONES CON SUCESOS

• Unión. A∪B .Se identifica con la frase «COMER O BEBER».

• Intersección. A∩B. se identifica con la frase «COMER Y BEBER».

• Complementarios. Â EL COMPLEMENTARIO DE SALIR PAR, AL TIRAR UN DADO, SALIR IMPAR.

Ejemplo:

Experimento: tirar un dado = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } siendo A= salir par {2, 4, 6 } y B = salir nº múltiplos de 3={3, 6}

Unión: cuando se verifica A o B. Los elementos de AUB = {2, 3,4, 6} La unión se identifica con la letra «o»,»u»

Intersección: cuando se verifica A y B.

Ejemplo : AᴧB={6}. La intersección se identifica con la letra «y», «e»…

Complementario: cuando no se verifica A, el complementario de salir par es salir impar. Se representa por Ā.

PROPIEDADES DE LOS SUCESOS

• Conmutativas: AUB=BUA.    A∩B=B∩A
• Asociativas: AU(BUC)=(AUB)UC.    A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
• Ley de absorción: AU(B∩A)=A .    A∩(BUA)=A
• Si un suceso A está contenido en otro B,  ACB entonces AUB=B  y A∩B=A

  Ejemplo: A= {2, 4, 6} B= {6} A∩B= 6=A AUB= 2, 4, 6=B

• Distributiva: unión de tres sucesos distintos. AU(B∩C)= (AUB)∩(AUC);  A∩(BUC)= (A∩B)U(A∩C)

Propiedades del complementario

• El complementario del vacío es el seguro. • El complementario del seguro es el vacío=Ø • El complementario del complementario, el suceso A

Leyes de Morgan:

• Lo contrario de la unión es la intersección de complementarios.

• Lo contrario de la intersección de complementarios es la unión de complementarios.

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

LEY DE LAPLACE: P(A)=(Casos favorables)/(casos posibles)

Para calcular las probabilidades son muy útiles los diagramas de Venn, de árbol y los diagramas de contingencia.

TRUCOS

CÓMO SABER SI HACEMOS UN PROBLEMA POR DIAGRAMA DE VENN POR DIAGRAMA ÁRBOL

• EN LOS DIAGRAMAS DE VENN, LO MÁS IMPORTANTE ES SABER LA INTERSECCIÓN. Tenemos varias posibilidades:

• Que nos la dé el enunciado.
• Que nos digan que son INDEPENDIENTES, eso significa que   P(A∩B)=P(A)·P(B)
• Si esa fórmula no se verifica, entonces son dependientes, en ese caso el enunciado tiene que proporcionar datos que faciliten el cálculo de la intersección.
• Que sea MÁXIMA, entonces el suceso más pequeño está contenido en el mayor y la probabilidad de la intersección coincide con la probabilidad del menor.
• Que sea MÍNIMA, entonces la probabilidad de la unión es la unidad.
• Que NOS INDIQUEN ALGUNA DE LAS FÓRMULAS SIGUIENTES EN EL ENUNCIADO, en donde un suceso va CONDICIONADO condicionado por otro.

• Que sean DISJUNTOS O INCOMPATIBLES, en este caso la probabilidad de la intersección es cero.
• EN LOS DIAGRAMAS DE ÁRBOL, SIEMPRE VAMOS A TENER SUCESOS QUE SE VERIFICAN PRIMERO Y OTROS QUE SE VERIFICA DESPUÉS.

POR EJEMPLO, PRIMERO PUEDE QUE ME SUENE O NO EL DESPERTADOR Y LUEGO PUEDE QUE LLEGUE TARDE A TRABAJAR  O NO.

• RECUERDA Y NO CONFUNDAS INCOMPATIBLE CON INDEPENDIENTE

PROPIEDADES

 Sucesos disjuntos e independientes

• EN UN EJERCICIO ME PUEDEN DECIR QUE SON INDEPENDIENTES, ENTONCES APLICO LA FÓRMULA.
• SI ME PIDEN QUE LO COMPRUEBE, ENTONCES POR UN LADO CALCULO EL PRODUCTO DE P(A)·P(B), Y POR OTRO EL ENUNCIADO ME TIENE QUE DAR LA PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN O ALGÚN DATO QUE  PERMITA CALCULARLA.
•  LUEGO COMPROBAMOS QUE DA  LO MISMO. SI NO DA LO MISMO SON DEPENDIENTES

EJEMPLO DE SUCESOS DEPENDIENTES.  

En una empresa 20 personas desayunan té y 25 café. 5 desayunan las dos cosas y 10 no desayunan ninguna. 

• Comprobar si son independientes. 

Llamamos A=desayunar té       p(A)=20/50

LLAMAMOS B= desayunar café     p(B)=25/50 p(A∩B)=5/50

Si multiplicamos p(A)·p(B)=500/2500=2/25 y no coincide con el dato anterior que era 5/50. Por tanto son DEPENDIENTES

• Calcular la probabilidad de desayunar. 

P (desayunar): 40/50 = 80%  

• Calcular la probabilidad de desayunar una cosa.

(15+20)/50=35/50 = 70%

EJEMPLO DE SUCESOS CONDICIONADOS.

•  A= sacar una carta de oros, B= sacar otra carta de oros, sin devolver la primera a la baraja.

Entonces la intersección es 10/40·9/39, dado que en la segunda extracción hay una carta de oros menos y una carta menos en la baraja. B está condicionado por la primera extracción.

Si no es de oros, entonces la probabilidad de sacar la segunda de oros sería 10/39.

• Este caso es más claro con un diagrama de árbol.

EJERCICIOS CON DIAGRAMAS VENN CON EL DIAGRAMA

•  Si hacemos una encuesta a 100 personas y 60 leen el periódico, 30 leen revistas y son sucesos independientes. Halla la probabilidad de que no lean nada.

•  Un barco tiene dos motores. La probabilidad de que funcione el motor A es del 90%, y del B el 70%. Calcular la probabilidad de que no funcione ningún motor en los siguientes casos:

a) Son independientes

b) La probabilidad de la intersección es del 60%.

c) La probabilidad de la intersección es máxima.

• Una baraja española de 40 cartas y 4 palos considero que el suceso A son las copas y B son las figuras. Distribuir el diagrama de Venn del experimento y hallar:

a) La probabilidad de copas y no figura.

b) La probabilidad de sacar copas o no figura.

c) La probabilidad de que no sean ni copas ni figuras.

d) La probabilidad de que no sean copas si ya sé que es figura.

• De 30 alumnos, 15 aprueban las matemáticas, 12 aprueban lengua y 5 las dos cosas. Calcular la probabilidad de aprobar, la probabilidad de aprobar matemáticas y no lengua y la probabilidad aprobar matemáticas o no lengua.

• 100 personas van al kiosco el domingo: 70 compran periódicos; 35 revistas; 30 compran chicles y 10 las tres cosas; 20 periódicos y revistas; 20 periódicos y chicles; y 15 chicles y revistas.

1. Calcular la probabilidad de no comprar nada.
2. La probabilidad de comprar las tres cosas.
3. La probabilidad de comprar una sola cosa.
4. La probabilidad de comprar al menos dos cosas.

• 15 alumnos comen chupa chups, 20 chicles, 15 gusanitos, 8 chupa chups y gusanitos, 5 chupa chups y chicle, 4 chicles y gusanitos y 2 todo. Con 100 alumnos.

1. ¿Cuántos no comen nada?.
2. ¿Cuántos solo una cosa?.
3. ¿Cuántos al menos dos?.

• En una empresa 20 desayunan té y 25 café. 5 desayunan las dos cosas y 10 no desayunan ninguna. Calcular la probabilidad de desayunar, la probabilidad de desayunar una cosa y la probabilidad de tomar café después de té.

DIAGRAMA DE CONTINGENCIA 

CUANDO LOS DOS CONJUNTOS CUBREN EL TOTAL

• En una clase hay 20 alumnos. 13 son chicas, 7 chicos, 4 chicas con pendientes y 6 chicos con pendientes. Calcular la probabilidad de escoger al azar un chico sin pendientes.

• Representar por Venn el siguiente caso: hay un total de 20 personas de las cuales 20 de ellas fuman rubio y 12 negro. INTERSECCIÓN MÁXIMA.

• El domingo van al kiosco 2000 personas. 1500 compran periódicos, 1000 compran revistas y 800 compran las dos cosas. Calcula la probabilidad de:

1. No comprar nada.
2.  Comprar un periódico y no una revista.
3. Comprar una cosa sola.
4.  Comprar un periódico o no una revista.

EJERCICIOS DE REPASO DE LOS DIAGRAMA DE VENN

1) Un avión tiene dos motores, la probabilidad de que funcione el motor A es del 95%, la probabilidad de que funcione el motor B es del 90%. Los sucesos son independientes. Calcula la probabilidad de: a) Que pueda volar b) Que no pueda volar c) Que solo funcione con el motor A d) Que funcione solo un motor e) Que no funcionen los dos a la vez f) Que funcione A si ya sé que funciona B.

2) Diez amigos van de compras. Ocho compran pantalones, seis compran camisetas y cinco las dos cosas. Calcula la probabilidad de:

a) no comprar nada.

b) comprar pantalones o no camisetas.

c) comprar pantalón después de camiseta. d) comprar camiseta después de pantalón.

3) A y B dos de los sucesos posibles que se pueden presentar en un experimento aleatorio. Demostrar que si A y B son independientes también lo son sus sucesos contrarios.

4) Se lanzan dos dados al aire y la suma de los puntos obtenidos es 7. Hallar la probabilidad de que en uno de los dados aparezca un 1.

5) Se propone a Juan y a Pedro la resolución de un problema. Se estima, en función de sus evaluaciones, que la probabilidad de que lo resuelva Juan es de 1/3 y la de que lo resuelva Pedro de ¼, ¿Cuál es la probabilidad de que el problema sea resuelto? ¿y de que no sea resuelto?.

6) Sean A y B dos sucesos independientes de un cierto experimento aleatorio, tales que la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es 1/3 y la de que no ocurra ninguno de los dos es 1/6. Calcular P(A) y P (B).

7) A es el conjunto de cartas de oros. B es el de figuras. C es el de reyes. Calcular la probabilidad de extraer una carta que sea de oros después de ser figura. Hacer el diagrama.

8) Un bombardero pasa tres veces sobre un objetivo con probabilidad de acertar ¼. Calcular la probabilidad de destruirlo. Es un experimento independiente. Hacerlo con diagrama de Venn.

9) De 30 alumnos, 15 aprueban las matemáticas, 12 aprueban lengua y 5 las dos cosas. Calcular la probabilidad de aprobar, la probabilidad de aprobar matemáticas y no lengua y la probabilidad aprobar matemáticas o no lengua.

10) 100 personas van al kiosco el domingo: 70 compran periódicos; 35 revistas; 30 compran chicles y 10 las tres cosas; 20 periódicos y revistas; 20 periódicos y chicles; y 15 chicles y revistas. • Calcular la probabilidad de no comprar nada • La probabilidad de comprar las tres cosas • La probabilidad de comprar una sola cosas • La probabilidad de comprar al menos dos cosas.

11) 15 alumnos comen chupa chups, 20 chicles, 15 gusanitos, 8 chupa chups y gusanitos, 5 chupa chups y chicle, 4 chicles y gusanitos y 2 todo. Con 100 alumnos, – ¿Cuántos no comen nada? – ¿Cuántos solo una cosa? – ¿Cuántos al menos dos? .

12) En una empresa 20 desayunan té y 25 café.5 desayunan las dos cosas y 10 no desayunan ninguna. Calcular la probabilidad de desayunar, la probabilidad de desayunar una cosa y la probabilidad de tomar café después de té.

DIAGRAMAS DE ÁRBOL

Tenemos una urna con 5 bolas negras y 4 rojas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas del mismo color?

b) ¿Y la probabilidad de sacar al menos una roja?

c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar la 1ª roja, sabiendo que lo fue la 2ª?

Un suceso cumple la fórmula de Bayes si la condición es posterior a la pregunta que me hacen.

EJEMPLOS

•  Me mandan regar un rosal. La probabilidad de que lo riegue es 3/5. La probabilidad de que se muera si lo he regado es 1/8 y la probabilidad de que se muera si no lo he regado es de 7/8. Si el rosal ha muerto, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya regado?
  

  
  

• La probabilidad de que un avión destruya un puente al tirarle una bomba es 1/3. Si pasa tres veces sobre el puente ¿Cuál es la probabilidad de que no le destruya?

 EJERCICIOS DE DIAGRAMA DE ÁRBOL

• En una huevera hay 12 huevos, de los cuales 2 están rotos. Saco 4 huevos. ¿Cuál es la probabilidad de sacar los 4 huevos sanos? ¿Y la de sacar alguno roto?

• Una moneda está trucada. La probabilidad de salir cara es 1/3, la tiramos 3 veces. Calcula la probabilidad de salir 3 cruces. Calcular la probabilidad de salir al menos una cara.

• Saco una bola de la urna A y la meto en la urna B. Saco una bola de B. Hallar la probabilidad de que la bola que saco de B sea verde. Sabiendo que la segunda bola es verde, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea verde?
• Tenemos dos urnas A y B. En la urna A hay 4 bolas blancas y 5 rojas y en la B hay 3 blancas y 6 rojas. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas. Calcular la probabilidad de que sean las dos blancas. Calcular la probabilidad de que si son blancas procedan de la urna A.
• Tenemos dos urnas A y B. En la urna A hay 4 bolas blancas y 5 rojas y en la B hay 3 blancas y 6 rojas. Tomamos una bola de A y sin mirarla la introducimos en B. Sacamos después dos bolas de B. Calcular la probabilidad de que sean las dos blancas. 3
• A tiene 2 bolas blancas y 3 negras, B 4 blancas y 4 negras y C 5 blancas y 6 negras. Se elige al azar una urna y se sacan dos bolas. Calcular a probabilidad de que sean del mismo color.
• En una fábrica hay tres máquinas. La máquina A realiza el 40% del trabajo. La máquina B, el 30%, y la C, el resto. La máquina A tiene un 4% de pantalones con defecto, la B un 3% y la C un 1%. Si compro 2000 pantalones, ¿Cuántos pueden ser defectuosos?

PROBABILIDAD BINOMIAL

• Un problema presenta una probabilidad binomial cuando sólo consta de dos tipos de sucesos contrarios entre sí.

Ej.: tirar una moneda (par o impar).

• El suceso se puede repetir n veces.

Ej.: tiro una moneda seis veces.

• Se considera R el número de veces que quiero que se verifique el suceso dentro del total de “n” veces que se puede verificar.

• A medida que el número de veces sea más grande, hacerlo por árbol es más difícil.

 

Prof: F. López- NÚMERO DE REGISTRO: D. Legal: M-007076/2009