“尊敬的阁下，我不远千里特意来到此处拜访您，我非常佩服您的聪明才智，您不愧是推动天文学发展的第一人。”
这是苏格兰贵族亨利·布里格斯(Henry Briggs，1561—1630)第一次见到对数的发明者约翰·纳皮尔(John Napier，1550—1617)时，对他的问候。
对数的确是一项非常有实用价值的发明，不仅在天文学领域，在其他需要大量计算的科学领域也是如此。在电子计算设备出现之前，对数给科学家带来了很大的帮助。然而，意识到这一点的人并不太多。
▲对数的发明者约翰·纳皮尔的肖像。 对数用加法代替了乘法，用减法代替了除法，这为科学工作者节省了大量时间和精力。特别是那个时期的天文学家往往将大部分时间花在常规的枯燥计算上，而这些又是计算行星轨道所必需的。对数的出现大大减轻了他们的负担。拉普拉斯评论说，对数的发明实际上“使天文学家的寿命延长了一倍”！
这个高明工具的发明者约翰·纳皮尔是一个相当神秘的人物。他出生于苏格兰贵族阶层，年轻时曾广泛游历欧洲各地。纳皮尔写了一本书，名为《圣约翰启示录的一个简单发现》(A Plaine Discovery of the Whole Revelation of Saint John)，这本书大受欢迎，纳皮尔也因此坚信他将因为自己的宗教观点在历史上拥有一席之地。幸运的是，人们现在能记得纳皮尔，是因为他还做出了更有意义的贡献。
纳皮尔特别关注乘法和除法所涉及的运算量。事实上，他那个时代的大多数科学家都把工作中的大部分时间花在了常规的枯燥计算上，对于制作行星表等涉及天文计算的尤其如此。
对数的发明彻底改变了这种局面；它用加法代替乘法，用减法代替除法！
正如拉普拉斯(Laplace，1749—1827)多年后指出，对数有效地“使天文学家的寿命延长了一倍”。
伟大发明背后的概念往往非常简单，对数也是如此。
要理解其基本概念，请思考：20=1、21=2、22=4、23=8、24=16、25=32，依此类推。
例如，计算数字4和8相乘的结果时，因为4是22，8是23，所以乘积可以表示为4×8=22+3=25。已知25等于32，这样立刻就能得出答案。
其中最关键的一点是，两个数字4和8的乘法被简化为上标2和3的加法。
现在假设你有一个查找表，所有数字都用2的幂来表示。例如，数字17可以非常准确地表示为24.087，19可以表示为24.248(4.087是以2为底17的对数)。
因此，要计算17乘以19，你只需要将两个幂相加(4.087+4.248)，得到8.335。
19×17的结果是28.335，即323。
当然，为了实现这个想法，你需要一个详细的表格，将所有的整数都表示为2的幂。
一旦有了这样一张表格，你就可以轻松计算出任何两个数字相乘或相除的结果，只需要用一个指数加上或减去另一个指数就可以了。这节省了人们大量的时间和精力。
以上说明使用数字2作为底数来表示所有其他整数。你也可以用其他任何正数来替换2。出于相当复杂的数学原因，纳皮尔使用了一个常数的倒数，通常用字母e≈2.718来表示。这个常数在高等数学的所有分支中都起着至关重要的作用，事实上，它被称为“自然对数的底”。
什么是数字e？
▲自然对数的底数e 在计算复利时，对自然对数的底数e可以这样解释：如果一家银行给你100%的年利率，但在一年中多次结息，那么你的存款会显著增长，但不会无限增长。即使银行是即时计算利息的，你年底所收获的本息总和，最多也只会是你本金的e倍。
现在，这个模式应该很清楚了。如果将一年分成n等份，并在这n等份的每一阶段结束时计算复利，那么你将在年末得到的金额。
你会发现，n的值越大，这个金额也会越大，但它会越来越接近一个特定的数值。当把n取为任意大时，得到的数字用e表示，e被认为是自然对数的底数。这个数字的近似值为e≈2.718268(精确到小数点后六位)。
纳皮尔花了二十多年时间设计对数理论。在这本书中，纳皮尔发明了计算对数的方法，还提供了在天文计算中大量使用的弧长正弦、切线和割线的对数。这本书在科学界引起了极大的关注，并广为流传。
1614年，纳皮尔在一本名为《奇妙的对数定律说明书》(Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio)的小册子中公布了他的发明，其中还包含一个表格，给出了连续弧分的角度正弦的对数（这是天文计算所需的最重要的数值）。
▲《奇妙的对数定律说明书》的扉页 纳皮尔 1614年出版
这本书一出版就引起了广泛关注。在科学史上，很少有其他新发现也能受到如此热烈的欢迎。纳皮尔的发明很快被科学家采用不仅在欧洲，还一直传到了遥远的中国。开普勒就是采用对数的人之一，他在计算行星轨道时使用了对数。
消息传得很快，就在一年后，数学教授布里格斯不远千里从伦敦前往爱丁堡（那时候算是相当远距离的旅行了）拜访纳皮尔。他们见面后，布里格斯说服纳皮尔用10代替作为对数的底数更为适合。换句话说，所有的数字都应该用10的幂来表示。因为100=102，1000=103，所以以10为底的100的对数是2，1000的对数是3；100到1000之间的任何数字的对数都可以用2和3之间的数字来表示。
布里格斯在返回伦敦后立即开始着手制作这样一个表格，并于1624年出版了他的《对数算术》(Arithmetica Logarithmica)一书，其中包含了从1到20000和从90000到100000的所有数字的对数(精确到小数点后14位)。后来，荷兰书商阿德里安·弗拉克(AdrianVlacq，1600—1666)填补了20000到90000之间的空白。这些表格使用了近三个世纪，直到20世纪40年代左右才被精确至小数点后20位的表格所取代。
同时，在17世纪20年代，英国数学家奥特雷德意识到，通过制作一个简单的机械装置，甚至可以省去查找对数表的过程。这个装置由两个滑动标尺组成，其中数字的标记方式是：数字与标尺左端的距离在数值上等于该数字的对数。
▲对数计算尺 利用对数特性制作的计算尺在被计算器取代之前，一直是工程师和科学家的好帮手！
这样，只需在一个标尺上滑动另一个标尺，就可以对数字进行乘法和除法计算了。这个名为“对数计算尺”的简单小工具，为工程界和科学界人士提供了莫大的帮助。
纳皮尔还对数学的其他分支做出了贡献。例如，纳皮尔完善了人们现在经常使用的十进制记数法；荷兰数学家西蒙·斯蒂文(Simon Stevin，1548—1620)早些时候就提出了小数的概念，纳皮尔将小数符号紧凑化，更加便于人们使用。
顺便一提，有证据表明，瑞士钟表制造商约斯特·布吉(Jost Burgi，1552—1632)早在1588年就发现了对数的概念，比纳皮尔开始研究对数还早了六年。
布吉用一种不同于纳皮尔的方法制作了一张反对数表。但出于某种原因，布吉直到1620年才在布拉格匿名发表了这张表。
开普勒在他的《鲁道夫星表》(Rudolphine Tables)导言中，毫不客气地批评了布吉的做法：“……约斯特·布吉早在纳皮尔之前很多年就发现对数可作为数学计算的辅助工具，但作为一个懒散又沉闷的人，布吉非但没有为了公共利益考虑及时公布这一发现，反而从一开始就抛弃了它。”今天，除了科学史学家，没有人知道布吉的存在。
知识链接：
对数计算尺，科学的好帮手
虽然让人感到不可思议，但曾经有一段时期人类没有任何电子计算设备可以使用！对数计算尺作为使用对数进行计算的得力工具，能够帮助工程师完成工作中所需进行的复杂计算——从双螺旋到波音飞机！
1622年左右，奥特雷德设计了第一款对数计算尺。他用了两个带有对数标记刻度的滑尺，通过在一个滑尺上滑动另一个，就可以进行乘法和除法运算。1675年，牛顿在这款计算尺上增加了一个玻璃游标，这个设计一直沿用了几十年。1683年，托马斯·埃弗拉德（Thomas Everard）又在牛顿设计的滑尺的基础上进一步改良，制作出“测量尺”，主要用于酒桶容积的测量与计算，从而得出酒类应缴纳的关税金额！
虽然原理很简单，但计算尺经历了几番修改，设计出各种满足专门用途的样式。1625年至1800年，在纳皮尔发明出第一款计算尺后的175年内，有近40种不同的计算尺诞生，包括圆形和螺旋形计算尺。在接下来的100年里，后人又设计制作出 250种不同的计算尺。技术史学家估计，仅在20世纪就制造了约4000万个计算尺。
计算尺作为一种机械装置，使用起来不用担心发生电力故障或电池耗尽，即便在今天，许多水手仍把计算尺作为海上导航的备用工具，尤其是在长时间航行的情况下！从人类建造帝国大厦到登陆月球，这些工作的背后都少不了计算尺的支持。
这一切都从根本上证明了对数的影响力。