Carrera: Ingeniería en Sistemas Computacionales. Materia: Ecuaciones Diferenciales. Trabajo: Ensayo, resumen cuestionario de la unidad 2. Alumno: Torres Victoria José Daniel No. De control: 17650082. Docente: Manuel Tavira Sánchez Fecha: 12 de abril de 2019 Semestre: 4 Grupo: M  INTRODUCCION: Posiblemente el ejemplo más característico de fenómeno físico cuyo modelización conduce a una ecuación lineal de segundo orden es el movimiento amortiguado de una masa m unida mediante un muelle elástico a una pared como la que se muestra en la Figura de abajo Al aplicar a la masa unida al resorte una fuerza F(t) hacia la izquierda, de forma que el muelle se comprima, este reacciona con una fuerza de igual magnitud hacia la derecha que produce un desplazamiento de la masa en dicho sentido hasta hacer tope con un pieza elástica que amortigua dicho desplazamiento hasta que la masa se para. En ese instante el muelle se encontrara extendido respecto de su posición de reposo por lo que producirá un nuevo desplazamiento de la masa hacia la izquierda, provocando una nueva compresión del muelle, y así sucesivamente. La amortiguación del movimiento del resorte se puede producir no solo por contacto con otra pieza elástica sino también por rozamiento con el medio, o cualquier otra causa. Suponiendo que la fuerza de amortiguación es proporcional a la velocidad: bx0(t) y que k, una constante, mide la rigidez del muelle (que depende del material del que esté hecho), la segunda Ley de Newton conduce a la siguiente ecuación que sirve de modelo para el estudio de este fenómeno físico: mx00(t) + bx0(t) + kx(t) = F(t) Esta ecuación junto a las condiciones iniciales: x (0) = x0 (posición de la masa en el momento inicial) y x0(0) = v0 (velocidad de la masa en el momento inicial), que podrían ser ambas cero si la masa está en reposo en el momento inicial, forman un Problema de Condiciones Iniciales que lo escribiremos así: ½ mx00 (t) + bx0(t) + kx(t) = F(t) x(0) = x0, x0(0) = v0 2.1. Conceptos En este tema estudiaremos las propiedades de los sistemas de ecuaciones diferenciales cuasilineales de primer orden y, como consecuencia, las propiedades de las ecuaciones diferenciales de orden superior al primero, que se reducen a los anteriores sin más que realizar sencillos cambios de variable. Los sistemas de ecuaciones de los que nos ocuparemos son los cuasilineales, para los cuales podemos despejar las derivadas de las variables dependientes, x1,...,xn. Por tanto, los podremos expresar como x′ 1 = f1(t,x1,...,xn) ··· (2.1) x′n = fn(t,x1,...,xn), (2.2) donde a las funciones f1,...,fn se les exigirán algunas buenas propiedades, como ser continuas al menos. El problema de valores iniciales para estos sistemas es una simple generalización del estudiado para una única ecuación, x1(t0) = x10, ..., xn(t0) = xn0, es decir, una condición por cada variable y ecuación. Podemos agilizar la notación denotando de modo que adoptamos una notacion vectorial para los sistemas, X′ = F(t,X), X(t0) = X0. Una solución del sistema de ecuaciones sera, pues, un vector de n funciones, X(t) = (x1(t),...,xn(t))t, que satisfaga todas las ecuaciones del sistema. Los resultados de existencia y unicidad para el problema de valores iniciales son similares a los enunciados para ecuaciones de primer orden. Teorema 1.1.1 son funciones continuas en un entorno de (t0,x10,...,xn0), entonces existe soluci´on u´nica del problema de valores iniciales X′ = F(t,X), X(t0) = X0 en un entorno de t0.  2.2. Resolución de ecuaciones de orden superior Las ecuaciones de orden superior al primero que son resolubles por métodos analíticos son muchas menos que las que se podían resolver de primer orden. No obstante, hay algunos casos en los que el orden se puede reducir, lo cual facilita la integración. Si no aparece explícitamente en la ecuación la variable x, podemos reducir una unidad el orden haciendo el cambio de variable dependiente y=x´,= Ejemplo 1.2.1 Resolver la ecuación x ′′ = x ′ + 1. Hacemos el cambio y = x ′. Denotando k1 = ±e C, y ′ = y + 1 ⇒ ln |y + 1| = t + C ⇒ x ′ (t) = y (t) = k1e t − 1 ⇒ x (t) = k2 + k1e^t − t, y obtenemos la solución general, que, obviamente, depende de dos parámetros, ya que es una ecuación de segundo orden. Por supuesto, este proceso se puede iterar si, aparte de x, no aparece x ′ y derivadas superiores en la ecuación. Basta tomar y = , siendo k el orden de la derivada de menor orden que aparece en la ecuación. Ejemplo 1.2.2 Resolver la ecuación x ′′′ = x ′′ + t. Hacemos el cambio y = x ′′ y después de resolver la ecuación en y, integramos dos veces para obtener que depende de tres parámetros, por tratarse de una ecuación de tercer orden. Otra situación propicia para la reducción de grado es la de las ecuaciones autónomas, en las que no aparece la variable independiente t. El cambio sugerido es tomar la propia x como nueva variable dependiente y tomar como variable independiente y = x ′. El resto de derivadas las obtenemos por la regla de la cadena lo cual permite reducir el grado una unidad, aunque al precio de incluir expresiones no lineales. Ejemplo 1.2.3 Resolver la ecuación x ′′ + ω 2x = 0. Esta es la famosa ecuación del oscilador armónico, que describe la elongación de un muelle ideal de frecuencia ω. Realizamos el cambio x ′ = y y obtenemos una ecuación separable, que a su vez conduce a otra ecuación separable de primer orden que conduce al resultado conocido, en función de la amplitud A = √ C/ω y el desfase t0, x(t) = A sin ω(t − t0). Este resultado se puede expresar de diversas maneras, simplemente desarrollando el seno, x (t) = a sin ωt + b cosωt, a = A cos ωt0, b = −A sin ωt0, o usando la relación entre coseno y seno, x (t) = A cos ω (t − T0), T0 = t0 + π 2ω ,  o incluso en función de exponenciales imaginarias, Según convenga para el problema concreto. Obviamente, esta no es la manera más eficiente de obtener este resultado. 2.3 Wronskiano Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de funciones y sus derivadas. Supongamos que las funciones poseen al menos derivadas, entonces el Wronskiano está dado por: Para el caso de tres funciones Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no. Dado un conjunto de soluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden n, dicho conjunto de soluciones es linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un intervalo se cumple que Ejemplo 1.2.4 Determine, mediante el Wronskiano, si las funciones dadas son linealmente independientes o linealmente dependientes en el intervalo  Remplazando valores en Se tiene Resolviendo el determinante de orden 3 por el método de Sarrrus Comoentonces, las funciones son linealmente independientes 2.4 Problema de valor en la frontera Otro tipo de problema es resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden o mayor en la que la variable dependiente y, o sus derivadas, estén especificadas en puntos distintos. Un problema como se llama problema de valores en la frontera. Los valores necesarios, y(u) = y0 y y(b) = y1, se denominan condiciones en la frontera. Una solución del problema anterior es una función que satisface la ecuación diferencial en algún intervalo Z que contiene a u y b, cuya gráfica pasa por los dos puntos (u, y0) y (b, y1). Para una ecuación diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la frontera podrían ser Y’(a)= , Y (b)= Y(a)= , Y ‘(b)= Y’(a)= , Y ‘(b)= en donde Y0 y Y1 representan constantes arbitrarias. Estos tres pares de condiciones sólo son casos especiales de las condiciones generales en la frontera: Conclusiones: Del ensayo que finalizo, rescato importantes aspectos. En principio, los temas elegidos, que ha sido para mí de una gran riqueza, tanto por lo conceptual como por lo novedoso de algunos problemas y sus interesantes aplicaciones, hacia las cuales, de un modo aproximado, pude acercarme; por otra parte, la variedad de operaciones mentales, o procesos cognitivos posibles de activar al analizar algunas situaciones: la analogía y la abstracción; el formalismo y la intuición, la particularización y la generalización; la utilidad de las nociones involucradas y también el placer, en lo personal, de estudiar temas por la importancia que revisten, por su valor cultural y didáctico. Cabe resaltar que las la metería de ecuaciones diferenciales ha causado un gran impacto en tanto en lo académico como en lo personal, ya que he entendido y comprendido cosas nuevas en poco tiempo, que ha roto mis expectativas como alumno, en fin esto es un tema bastante amplio que en un simple ensayo no se puede resumir tal cual. Resumen: Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita: O como su forma implícita: Definición de ecuación diferencial de orden n. En una ecuación diferencial lineal de orden n homogénea, el conjunto de soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión n, por lo que basta encontrar n soluciones linealmente independientes para obtener la solución general. El conjunto de soluciones de cualquier ecuación diferencial lineal de orden n completa tiene estructura de espacio afín, que tiene como espacio vectorial asociado el conjunto de soluciones de la ecuación homogénea asociada. En consecuencia, si se conoce la solución general de la ecuación homogénea asociada, para tener la solución general de la ecuación completa es suficiente encontrar un punto de ese espacio afín, es decir, una solución particular de esta ecuación. Problemas de valor inicial. Un problema de valor inicial (también llamado por algunos autores como el problema de Cauchy) es una ordinaria junto con un valor especificado, llamado la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. En física o en otras ciencias, es muy común que el modelado de un sistema utilice el problema de valor inicial para la resolución; en este contexto, la ecuación diferencial es una ecuación que evoluciona especificando como el sistema evoluciona con el tiempo, dadas las condiciones iniciales. Teorema de existencia y unicidad. El teorema de Picard-Lindelöf (muchas veces llamado simplemente teorema de Picard, otras teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema de existencia y unicidad) es un resultado matemático de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Establece bajo qué condiciones puede asegurarse la existencia y unicidad de solución de una EDO dado un problema de Cauchy (problema de valor inicial). Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. Una ecuación diferencial ordinaria lineal y homogénea es una ecuación diferencial lineal que puede ser expresada como un conjunto de sumandos cada uno de los cuales es lineal en la incógnita o una de sus derivadas. El caso más sencillo se da para una función escalar de una única variable, si una ecuación diferencial para dicha función es homogénea entonces admitirá una representación de la forma: Nótese que el hecho básico es que en ninguno de los miembros aparezca un término que sea simplemente una función de la incógnita. Principio de superposición. El principio de superposición o teorema de superposición es una herramienta matemática que permite descomponer un problema lineal en dos o más subproblemas más sencillos, de tal manera que el problema original se obtiene como "superposición" o "suma" de estos subproblemas más sencillos.1​ Técnicamente, el principio de superposición afirma que cuando las ecuaciones de comportamiento que rigen un problema físico son lineales, entonces el resultado de una medida o la solución de un problema práctico relacionado con una magnitud extensiva asociada al fenómeno, cuando están presentes los conjuntos de factores causantes A y B, puede obtenerse como la suma de los efectos de A más los efectos de B. Dependencia e independencia lineal Wronskiano. Las funciones y1(x1), y2(x2), yn(xn) son linealmente dependientes en el intervalo, si al menos una de ellas puede expresarse como combinación lineal de las otras. En caso contrario las funciones son linealmente independientes. Wronskiano igual a cero es dependientes Wronskiano diferente de cero independiente Ejemplos:   1).-   y1=℮x  y2=℮-x  y3=℮2x    w= ℮x   ℮-x   ℮2x   ℮x  ℮-x       ℮x   -℮-x  2℮2x  ℮x  -℮-x       ℮x   ℮-x   4℮2x  ℮x  ℮-x    w=−4℮2x+2℮2x+℮2x+℮2x−2℮2x−4℮2x    w=−6℮2x   Por lo tanto, es linealmente independiente  2).-    y1=x      y2=2x    w= x  2x       1  2    w=2x-2x=0    Por lo tanto, es linealmente dependiente Reducción de orden. Al resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, es natural preguntarse si ellas pueden de alguna manera ser reducidas a ecuaciones de primer orden, las cuales puedan a su vez ser resueltas por alguno de los métodos estudiados hasta el momento. Realmente existen dos tipos importantes de ecuaciones de orden superior que pueden resolverse fácilmente de esta manera. Como hemos visto, una ecuación diferencial de segundo orden puede escribirse en la Forma, ahora analizaremos dos tipos especiales de estas ecuaciones que pueden resolverse por medio de una reducción de orden. Ecuación característica de una ecuación diferencial lineal de orden superior. Los nombres de la ecuación diferencial se colocan de forma muy significativa. Como su nombre lo indica, una ecuación diferencial de primer orden es aquella que consiste en un diferencial de primer orden, esto es, y’ o (dy/dx). Del mismo modo, una ecuación diferencial de segundo orden consiste en un diferencial de segundo orden. Un concepto similar se puede extender para definir la ecuación diferencial de orden n. Esto es, una ecuación diferencial de orden n es aquella que consiste en un diferencial de orden enésimo. Un diferencial de orden enésimo es del tipo y(n) o (dny/ dxn).  PREGUNTAS: ¿Cuál sería un ejemplo de una ecuación lineal con coeficientes constantes? ¿Cómo sabemos que una ecuación diferencial es de orden dos? Porque su máximo grado de derivación es mayor o igual a una ecuación que solo maneja una sola derivada, ejemplo: ¿Por qué hay ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas? En las homogéneas igualación esta igualada a 0 y en las no homogéneas a un valor distinto de 0 ¿Qué tipo de soluciones hay para las ecuaciones diferenciales? Reales y distintas, reales e iguales y complejas ¿Cuáles son las soluciones reales y distintas? Aquellas en las que las soluciones pertenecen a los números reales y cada una son distintas ¿Cuáles son las soluciones reales e iguales? Las que sus soluciones pertenecen a los números reales pero son iguales. ¿Qué pasa cuando sus soluciones son iguales? Pues se le tiene que agregar un término donde x va desde 1 hasta el valor n-1 de las soluciones ¿Qué función tiene el Wronskiano? Es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el primer renglón (o fila), la primera derivada de cada función en el segundo renglón, y así hasta la derivada n-1, formando así una matriz cuadrada, algunas veces llamada matriz fundamental. ¿Dónde se pueden aplicar las ecuaciones diferenciales de grado n? Oscilaciones mecánicas y circuitos eléctricos LRC ¿Cuantos tipos de solución hay para las ecuaciones diferenciales de orden superior? Ecuaciones homogéneas Ecuaciones no homogéneas Reducción de orden Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes Coeficientes indeterminados, método de la superposición Coeficientes indeterminados, método del anulador Variación de parámetros Ecuación de Cauchy-Euler Sistemas de ecuaciones lineales Bibliografía Introducción a las ecuaciones diferenciales. Autor: Shepley L.Ross Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Autor: Dennis G. Zill