Scambio Termico per Convezione

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LO SCAMBIO TERMICO PER CONVEZIONE 
 
 
9.1 INTRODUZIONE 
Una seconda modalità di trasmissione del calore, detta convezione termica, ha luogo 
quando almeno uno dei due corpi che si scambiano calore è un fluido. Condizione 
necessaria perché il fenomeno avvenga è che il fluido sia posto, o possa porsi, in moto 
relativo rispetto all’altro corpo con cui scambia calore. In generale si può affermare 
che la convezione avviene in seno al fluido in uno spazio limitato che ha inizio 
all’interfaccia tra i due corpi e fino ad una distanza che dipende dal caso in esame ma 
che è comunque alquanto ridotta. Nella convezione le modalità microscopiche di 
trasmissione dell’energia sono le medesime che nel caso della conduzione. La 
sostanziale differenza sta nel fatto che, essendo il fluido in moto, al trasporto di 
energia dovuto alle interazioni molecolari si somma il moto di materia che veicola tale 
energia nello spazio e nel tempo. Se il fluido restasse fermo il meccanismo di 
trasmissione del calore al suo interno sarebbe quello di conduzione nel quale l’energia 
si trasmette tra particelle tra loro prossime senza moto macroscopico di materia. 
Il moto relativo del fluido può avere cause differenti. Può, ad esempio, essere dovuto a 
dispositivi meccanici (ventilatori, pompe ecc.) o a fenomeni naturali (vento, correnti 
marine ecc.) che impongono al fluido una certa velocità: la modalità di scambio 
termico viene allora detta convezione forzata. Oppure può essere generato proprio 
dallo scambio termico in corso che, modificando le caratteristiche termodinamiche del 
fluido ed in particolare la sua densità, origina uno spostamento di massa per il fatto 
che volumi di fluido con più bassa densità tendono a salire richiamando al loro posto 
volumi di fluido con densità maggiore: la modalità di scambio termico viene allora 
detta convezione naturale. 
Riguardo alla convezione, gli obiettivi che si pone nell'ambito di questo corso sono da 
un lato la comprensione del fenomeno fisico e dall'altro l’introduzione delle principali 
relazioni che ci permettano di descriverlo in termini quantitativi. Si è detto come, nei 
fenomeni di convezione termica, gli effetti della trasmissione di calore e quelli del moto 
del fluido siano intimamente congiunti nel veicolare l’energia all’interno del fluido. 
Posto che siano già note le leggi della conduzione si accennerà nel prossimo paragrafo 
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brevemente alle proprietà dei fluidi reali e alle leggi che ne governano il moto. Ci si 
occuperà poi in maniera più approfondita dello scambio convettivo tra la superficie di 
un solido è un fluido, caso di notevole importanza nelle applicazioni edilizie 
 
 
9.2 NUOVAMENTE SUL MOTO DEI FLUIDI 
In base alla rappresentazione particellare della materia, è possibile associare ad ogni 
particella di un fluido in moto una velocità w. Poichè la velocità è una grandezza 
vettoriale, la regione dello spazio in cui si svolge il moto del fluido è definita attraverso 
un campo vettoriale detto campo di velocità w (x,y,z). E’ evidente che la velocità sarà 
funzione solo delle tre coordinate x,y,z quando il moto del fluido sia di tipo stazionario 
o permanente, ovvero sia costante nel tempo. In caso di moto non stazionario, infatti, 
la velocità è una funzione anche del tempo, ovvero w(x,y,z,τ). 
E’ importante ricordare come il moto di un fluido può avvenire secondo due modalità 
differenti in corrispondenza delle quali i regimi di flusso vanno rispettivamente sotto il 
nome di regime laminare e regime turbolento. Nel regime di moto laminare, il fluido 
procede in modo ordinato e regolare tanto che è possibile identificarne le linee di 
flusso. Di conseguenza non si ha mescolamento tra parti diverse del sistema fluido in 
moto. E’ possibile definire per le diverse grandezze fisiche in ogni punto del fluido e 
per ogni istante di tempo un ben determinato valore numerico. In genere l’ordine 
viene dettato da una superficie solida che “organizza” nelle sue vicinanze il moto delle 
molecole fluide. Diversamente, nel caso di moto turbolento, le traiettorie del fluido 
sono irregolari e si ha un continuo mescolamento tra masse di fluido di zone differenti. 
Sono proprio le distorsioni nelle linee di flusso che, se si amplificano, provocano il 
formarsi di un regime di moto più caotico in cui le grandezze fisiche locali variano nel 
tempo e nello spazio senza seguire leggi determinabili. 
Nel caso di moto turbolento se si riportasse in un grafico in funzione del tempo il 
valore in un punto di una proprietà fisica P, si otterrebbe un andamento simile a quello 
di figura 9.1. La suddetta proprietà potrebbe essere ottenuta come somma di un 
valore medio temporale P e di una componente fluttuante P'. La media deve essere 
effettuata in un periodo temporale sufficientemente ampio rispetto al periodo delle 
oscillazioni di P. Inoltre, detto T il periodo di tempo esaminato si ottiene: 
 dτP
T
1
P
T
0
∫= (9.1) 
In questo modo ciascuna grandezza risulta essere definita dalla relazione: 
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 P = P + P' (9.2) 
 
Figura 9.1: Variazione della proprietà P in regime turbolento 
 
Un semplice modello attribuisce il trasporto del momento, del calore e di massa in uno 
strato turbolento al moto di vortici: a causa della presenza di tale moto il trasporto di 
massa, momento e calore aumenta omogeneizzando le condizioni del fluido. 
Se si considera ad esempio il moto di un fluido dentro una tubazione (fig.9.2) l'effetto 
del contributo turbolento rende i profili di velocità e temperatura più uniformi. Il 
gradiente di velocità (ed il valore dello sforzo tangenziale τ) nella zona vicina alla 
superficie è molto più elevato nel caso turbolento che in quello laminare: i gradienti 
più elevati rendono più consistente lo scambio termico vicino alla superficie. 
 
Figura 9.2: Profili di velocità e temperatura in una tubazione 
La configurazione di moto turbolento è pertanto maggiormente desiderabile in 
applicazioni ingegneristiche. Tuttavia l'aumento dello sforzo tangenziale τ richiede un 
aumento della potenza richiesta per le pompe o i ventilatori. 
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L’instaurarsi di uno o l’altro regime è legato alla particolare condizione del sistema in 
esame ossia alle proprietà del fluido, densità ρ,viscosità µ, al valore della velocità w, 
alla rugosità superficiale della superficie con cui il fluido è a contatto, alle 
caratteristiche geometriche del sistema considerato attraverso una sua dimensione 
caratteristica d. In altri termini il formarsi della turbolenza è vincolato al rapporto tra 
forze di inerzia e forze viscose: se questo è a favore delle prime, il regime di moto che 
si instaura è turbolento. 
In ogni caso il regime di moto può essere individuato da un parametro adimensionale 
che tiene conto di tutte queste grandezze e che corrisponde proprio al rapporto tra 
forze di inerzia e forze viscose ossia dal numero di Reynolds: 
 
µ
ρ
=
dw
Re (9.3) 
In linea generale alti valori di Re corrispondono a moto turbolento, bassi valori del 
numero di Reynolds descrivono moto laminare. E’ possibile poi che in punti diversi di 
un fluido in moto si abbiano regimi di moto differenti. E’ quello che succede ad 
esempio su di una lastra piana lambita da un fluido (fig. 9.3). Nelle vicinanze della 
lastra, dopo averne incontrato l'attacco, il fluido modifica il proprio regime di moto e si 
sviluppa il moto laminare. 
Lontano dalla lastra se la velocità è sufficientemente elevata si avrà invece una 
regione di moto turbolento pienamente sviluppato.Analizzando lo strato limite si 
possono individuare nel suo spessore tre zone: 
 
a) un sottostrato laminare, in cui il fenomeno di trasporto è prevalentemente di tipo 
diffusivo e in cui i profili di velocità sono quasi lineari; 
b) una regione intermedia, nella quale i fenomeni di trasporto sono sia diffusivi che 
macroscopici; 
c) la zona turbolenta, in cui il trasporto di massa ed energia è di tipo macroscopico. 
 
Per la lastra piana si ottiene sperimentalmente che la transizione tra i due regimi di 
moto si verifica per valori del numero di Reynolds compresi tra 105 e 3 ⋅ 106. 
Per moto all'interno di condotte, il valore di Reynolds critico si riduce a 2300 (anche se 
occorre superare 10 000 per avere turbolenza pienamente sviluppata). 
 
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Figura 9.3: Diversi regimi di moto su lastra piana 
 
9.3 LO STRATO LIMITE 
E’ intuibile che i fenomeni fluidodinamici non sono indipendenti da quelli termici, il 
campo della velocità e quello della temperatura nel fluido sono strettamente connessi: 
ne consegue che nello studio della convezione i processi termici e dinamici devono 
essere affrontati simultaneamente. Il campo termofluidodinamico è noto quando in 
ogni punto sono noti (eventualmente anche in funzione del tempo) i valori di tutte le 
variabili che definiscono lo stato cinematico e termodinamico del fluido. 
In molti casi, per la descrizione del campo fluidodinamico sono necessarie 5 equazioni 
differenziali indipendenti (2 per le variabili termodinamiche e 3 per le componenti della 
velocità). In genere le cinque equazioni utilizzate sono: il bilancio della massa, il 
bilancio dell’energia (ciascuno espresso da un’equazione scalare) e l’equazione della 
quantità di moto (che è una grandezza vettoriale) che viene espressa mediante le tre 
equazioni scalari delle componenti x,y,z. Rimandando a una trattazione più dettagliata 
gli interessati (ad esempio Transport Phenomena, Bird et al. , Wiley) qui si riportano le 
equazioni a titolo puramente indicativo: 
 
Conservazione della massa: 
 0)ρudiv(
t
ρ
=+
∂
∂
 (9.4) 
 
Conservazione del momento della quantità di moto: 
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 x
xzxyxx M
z
τ
y
τ
x
τ
u)grad(µdiv
x
p
)u(ρρdiv
t
ρu
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−++
∂
∂
−=+
∂
∂
 (9.5) 
 y
yzyyyx M
z
τ
y
τ
x
τ
v)grad(µdiv
y
p
)u(ρρdiv
t
ρv
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−++
∂
∂
−=+
∂
∂
 (9.6) 
 z
zzzyzx M
z
τ
y
τ
x
τ
w)grad(µdiv
y
p
)u(ρρdiv
t
ρw
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−++
∂
∂
−=+
∂
∂
 (9.7) 
 
Conservazione dell’energia: 
 H)Tgrad(divdivp)e(div
t
e
+Φ+λ⋅+−=ρ+
∂
∂ρ
uu (9.8) 
 
dove: t (tempo), ρ (densità), u (vettore delle velocità), u, v, w (componenti della 
velocità, p (pressione), µ (viscosità), τ (tensore degli sforzi tangenziali di 
Reynolds), Mx, My, Mz (generazioni di momento nelle tre direzioni), e (energia 
interna specifica), λ (conducibilità termica), Φ (dissipazione viscosa di energia 
per unità di volume), H (generazione di energia per unità di volume). 
 
E’ evidente che poichè le suddette equazioni sono equazioni differenziali abbastanza 
complesse, ove possibile, è necessario ricorrere a ipotesi semplificatrici in particolare si 
può fare ricorso al concetto di strato limite introdotto da Prandtl. 
Considerando ad esempio il caso di un fluido che si muove a contatto con un solido, 
dal momento che l’interazione solido liquido avviene vicino all’interfaccia si può 
concentrare lì la nostra attenzione semplificando di molto la trattazione matematica. 
In questo paragrafo si farà questo prima considerando il moto del fluido poi lo scambio 
termico. 
 
 
9.3.1 Strato limite dinamico 
Si consideri il moto di un fluido lungo una piastra piana. Si assuma che il moto sia 
prevalentemente in direzione parallela alla piastra considerata in modo da poter 
considerare solo la componente della velocità parallela, appunto alla parete u. 
Sufficientemente lontano dalla parete si può ritenere u = u∞. In vicinanza alla parete, 
le particelle in contatto con la superficie stessa assumono velocità nulla. 
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Queste particelle ritardano il moto delle particelle adiacenti sino ad una distanza y=δ 
dalla superficie, distanza alla quale l'effetto descritto diviene trascurabile. Le diverse 
particelle di fluido in moto quindi a velocità diverse esercitano le une sulle altre uno 
sforzo tangenziale τ, che agisce in piani paralleli alla piastra. 
Al crescere della distanza dalla superficie considerata cresce la componente della 
velocità parallela alla superficie sino alla condizione data di u∞; al crescere della 
distanza dal bordo di ingresso, cresce lo spessore δ dello strato limite aumentando gli 
effetti della viscosità nel flusso. Viene definito come strato limite la regione nella quale 
si manifesta un gradiente di velocità rilevante, con uno sforzo tangenziale 
proporzionale al gradiente stesso; lo spessore locale δ dello strato limite è tale che 
risulta u(δ) = 0,99 u∞. La Figura 9.4 evidenzia lo sviluppo dello strato limite dinamico 
su di una lastra piana. 
Assumendo il fluido newtoniano, lo sforzo tangenziale alla superficie τs, si può 
determinare da: 
 
0xy
u
s
=∂
∂
µ=τ (9.9) 
essendo µ [kg/(m s)] la viscosità dinamica. 
 
 Figura 9.4: Strato limite dinamico su lastra piana 
 
 
9.3.2 Strato limite termico 
Come per lo strato limite dinamico, nelle vicinanze di una parete lambita da un fluido 
si manifesta uno strato limite termico nel caso vi sia differenza di temperatura tra 
parete e fluido. Si consideri una lastra piana isoterma (temperatura Tw) lambita 
all'ingresso da un fluido a temperatura T∞ < Tw: all'imbocco il profilo termico è 
uniforme essendo T(y) = T∞. Le particelle di fluido in contatto con la piastra assumono 
temperatura uguale a quella della piastra stessa raggiungendo con questa l'equilibrio 
termico. A loro volta queste particelle scambiano energia con le particelle degli strati 
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adiacenti sino allo spessore δt oltre il quale si verifica che la temperatura è pari a 
quella del fluido indisturbato T∞. In particolare lo spessore dello strato limite termico è 
quello per il quale risulta: 
 0,99
)T(T
T)(T
w
w =
−
−
∞ 
(9.10) 
Al crescere della distanza dal bordo di ingresso, cresce lo spessore δt dello strato limite 
aumentando gli effetti dello scambio termico nel flusso. E' interessante notare che, 
nello strato limite termico, per una distanza x qualsivoglia dal bordo di ingresso e per 
una superficie infinitesima dA, a distanza y = 0 dalla parete, può essere applicata la 
relazione di scambio termico conduttivo (calcolato con il postulato di Fourier). 
Indicando con λf conducibilità termica del fluido [W/ (m ⋅ K)] si ha: 
 
0y
f y
T
q"
=
−=
∂
∂λ (9.11) 
Per la verità un simile meccanismo di trasmissione dell’energia ha luogo anche quando 
il fluido è in moto laminare. Se il fluido è dunque contraddistinto da moto laminare lo 
scambio termico in direzione perpendicolare al moto del fluido avviene unicamente per 
conduzione. 
Una situazione drasticamente diversa, invece, è quello relativa al moto turbolento. In 
questo caso il meccanismo di conduzione del calore da particella a particella è 
potenziato dall’instaurarsi di innumerevoli vortici che favoriscono lo scambio di energia 
interna tra le diverse zone di fluido. 
 
 
Figura 9.5: Strato limite termico su lastra piana 
 
I casipratici in cui il fenomeno di convezione è contraddistinto solo da moto del fluido 
di tipo laminare sono tuttavia un’eccezione. Nella maggior parte dei casi, infatti, nel 
fenomeno di convezione sono compresenti entrambi i tipi di moto: il moto laminare 
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contraddistingue infatti zone di fluido prossime alla parete mentre il moto turbolento 
caratterizza zone di fluido che distano un po' di più dalla parete. Il passaggio da un 
tipo di moto all’altro avviene gradatamente cosicchè, in una zona di fluido intermedia 
alle due precedenti, si genera un tipo di moto misto. E’ chiaro poi a questo punto 
come moto del fluido e convezione sono fenomeni intimamente connessi e quindi 
nell'esaminare un qualsiasi problema di convezione è per prima cosa indispensabile 
precisare il regime di moto. 
 
 
9.4 LA DESCRIZIONE DELLA CONVEZIONE 
Si consideri un fluido a temperatura T∞ che si muove a velocità V lungo una superficie 
di area A e forma arbitraria. Tale superficie abbia una temperatura uniforme Tw 
diversa da T∞ 
Il flusso termico q” scambiato per convezione tra superficie e fluido in ogni punto della 
superficie considerata può essere espresso dalla relazione di Newton: 
 )TwT(h"q ∞−⋅= (9.12) 
in cui h è il coefficiente di scambio termico locale per convezione, [W/(m
2
K)]. 
 
 Te,ue,ve 
 
 
 
 
 Tw 
 
 ↑y 
 →x Te > Tw 
 
 
Figura 9.6: Scambio termico per convezione 
 
La potenza termica scambiata q dall'intera superficie A, poiché le condizioni di moto 
variano lungo la superficie stessa, sarà ottenuta da: 
 ∫∫ ⋅⋅−== ∞
A
w
A
dAh)T(TdAq"q (9.13) 
 
 
 
 
 
 
 
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ovvero, definendo un coefficiente di scambio termico per convezione medio h 
come: 
 ∫ ⋅⋅=
A
dAh
A
1
h (9.14) 
e quindi: 
 )T(TAhq w−⋅⋅= ∞ (9.15) 
In genere poi quando si parla di coefficiente di convezione nelle applicazioni pratiche si 
intende, anche senza specificare, il coefficiente medio. 
Noto il valore di h è possibile valutare il flusso di calore quindi la sua determinazione 
costituisce il problema fondamentale della convezione termica. Purtroppo dare un 
valore a h non è facile dal momento che esso dipende sia dalle proprietà del 
fluido (viscosità, densità, conduttività termica, calore specifico) sia dalla 
configurazione geometrica e dalle condizioni di moto. 
 
E' interessante notare che, nello strato limite termico, per una distanza x qualsivoglia 
dal bordo di ingresso e per una superficie infinitesima dA, a distanza y = 0 dalla 
parete, può essere applicata la relazione di scambio termico che uguaglia il flusso 
termico convettivo a quello conduttivo (calcolato con il postulato di Fourier). Indicando 
con λf conducibilità termica del fluido [W/ (m ⋅ K)] si ha: 
 
0y
fw y
T
)T(Thq"
=
∞ −=−⋅=
∂
∂λ (9.16) 
Alla superficie infatti, poiché non vi è moto del fluido, l'energia termica è trasferita per 
conduzione. Ne deriva che: 
 
)T(T
y
T
λ
h
w
0y
f
∞
=
−
−
=
∂
∂
 (9.17) 
 
che indica la forte influenza del gradiente di temperatura alla superficie di separazione 
fluido - parete sullo scambio termico convettivo. 
 
 
9.5 I REGIMI DI CONVEZIONE 
In generale si distingue una convezione naturale (free convection) quando non sono 
presenti cause esterne che provocano il moto del fluido, da una convezione forzata 
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(forced convection) quando invece è esterna la causa del moto (pompe, ventilatori, 
vento, maree...). 
Nello studio della convezione come è già stato detto l’obiettivo fondamentale è la 
valutazione del coefficiente di convezione. La tecnica adottata per tale valutazione 
consiste nell’indagine sperimentale dei diversi sistemi supportata dall’analisi 
adimensionale dell’insieme di grandezze fisiche che entrano in gioco nella descrizione 
del fenomeno. Questo consente di generalizzare i risultati di un numero limitato di 
esperimenti individuando insiemi di sistemi dal comportamento simile. In ogni caso si 
ottengono delle relazioni che legano tra di loro i seguenti parametri adimensionali: 
 
Numero di Reynolds: 
µ
ρ
=
dw
Re (9.18) 
Numero di Nusselt: 
f
Lh
Nu
λ
= (9.19) 
Numero di Prandtl: 
f
pc
Pr
λ
µ
= (9.20) 
Numero di Grashof: 
2
3
s
ν
L)TT(βg
Gr ∞−
= (9.21) 
 
 
Con: ρ = densità del fluido [kg/m3]; 
w = velocità media del fluido [m/s]; 
µ = viscosità dinamica [kg/(m · s)]; 
ν = viscosità cinematica [m2/ s] = µ / ρ; 
a = diffusività termica [m2/s]; 
λf = conducibilità termica del fluido [W/(m K)]; 
L = grandezza geometrica caratteristica [m]. 
 β = coefficiente di espansione termica, definito da: 
 
 p)T
ρ
(
ρ
1
β
∂
∂
−= 
TT
ρρ
ρ
1
β
−
−
−≈
∞
∞ 
T
1
β ≈ (9.22) 
 
 
CONVEZIONE FORZATA 
Molte applicazioni ingegneristiche riguardano scambi termici con fluidi il cui moto è 
provocato dall'azione di pompe, ventilatori, .… si parla in questo caso di convezione 
forzata e per una determinata geometria, si ricava: 
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 Nu = f (ReL,Pr) (9.23) 
Sono cioè importanti le forze di inerzia e le forze viscose. In definitiva, per una data 
geometria, il numero di Nusselt Nu deve essere funzione di Re e Pr e, nota tale 
funzione, dall’indagine sperimentale, anche per diversi fluidi con diversi valori di w ed 
L, è possibile determinare dal valore di Nusselt quello di h e quindi il flusso termico 
scambiato per convezione localmente. Ovviamente il tipo di funzione per lo stesso 
sistema sarà diverso a seconda che ci si trovi in condizioni di moto laminare o moto 
turbolento; condizioni individuabili attraverso il valore del numero di Reynolds. 
 
 
CONVEZIONE NATURALE 
Nella convezione naturale, il moto del fluido è dovuto alla presenza di forze di 
galleggiamento, cioè alla contemporanea presenza di un campo di forze di volume (es. 
gravitazionali) e al gradiente di densità del fluido. 
Le forze di inerzia e quelle viscose restano importanti, ma un ruolo più importante è 
giocato dalle forze di galleggiamento. 
Anche per la convezione naturale, può essere determinato il numero di Nusselt Nu in 
funzione di altri parametri adimensionali, che, in questo caso, sono Gr e Pr: 
 Nu = f (GrL,Pr) (9.24) 
 
Figura 9.7: La convezione naturale 
 
Poiché il numero di Rayleigh Ra è pari a: 
 
aν
L)TT(βg
PrGrRa
3
s ∞−
=⋅= (9.25) 
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è possibile scrivere anche: 
 Nu = f (RaL) (9.26) 
 
Anche per la convezione naturale il tipo di funzione per lo stesso sistema sarà diverso 
a seconda che ci si trovi in condizioni di moto laminare o moto turbolento; condizioni 
individuabili in questo caso attraverso il valore del numero di Rayleigh. Per pareti 
verticali piane e cilindriche, il passaggio a regime turbolento avviene per valori di Ra 
pari a 109. Anche per la convezione naturale, può essere determinato il numero di 
Nusselt Nu in funzione di altri parametri adimensionali, che, in questo caso, sono Gr e 
Pr: 
 Nu = f (GrL,Pr) (9.24) 
Poiché il numero di Rayleigh Ra è pari a: 
 
a
3L)TsT(g
PrGraR
ν
∞−β
=⋅= (9.25) 
è possibile scrivere anche: 
 Nu = f (RaL) (9.26) 
Anche per la convezione naturale il tipo di funzione per lo stesso sistema sarà diverso 
a seconda che ci si trovi in condizioni di moto laminare o moto turbolento; condizioni 
individuabili in questo caso attraverso il valore del numero di Rayleigh.Per pareti 
verticali piane e cilindriche, il passaggio a regime turbolento avviene per valori di Ra 
pari a 109. Si noti inoltre che il rapporto Gr/Re2 indica l'importanza che assumono le 
forze di galleggiamento rispetto a quelle di inerzia (effetto convezione forzata): 
 
2
L
2
0
s
Re
Gr
u
L)TT(βg
=
− ∞ (9.27) 
se Gr/Re2 <<1 gli effetti della convezione naturale possono essere trascurati. Invece 
se Gr/Re2 >>1 gli effetti della convezione forzata sono trascurabili rispetto 
all'importanza delle forze di galleggiamento. 
 
 
 
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Bibliografia 
A. Bejan, Convective Heat Transfer, John Wiley & Sons, Inc. 1993. 
F.P. Incropera, D.P. De Witt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, Third Edition, 
John Wiley & Sons, Inc. 1990. 
H. Schlichting, Boundary Layer theory, 4th Edition- Mc Graw Hill, New York, 1960. 
R.B. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, Transport Phenomena, Wiley, New York, 1966.