Schaum Transformadas de Laplace - Murray R. Spiegel

76 LA TRANSFORMADA 1!\J"VERSA DE LAPLACE [CAP. 2

1 - e-2:rrs

133. (a) Demo¡;trar quf! la función f(s) :::: --.-- es cero para infinitos valores complejos des. ¿Cuáles son estos

valores? (b) Hallar la transformarla inversa de Laplacc de f(s).

RP.~p. (a) s .:::: ±i, ±2i, ±3i, ... (b) F(t) ~ {~

o F(t) 'U(t- 211")

134. Calcular .('-t {In ( 8 + ~:_ + 1)} .

Resp. 1- Jo(f)

2

135. Demostrar que i u(S- u3)l/3 du ::::

'

136. Sea F(t) = t2 para todos los valores irracionales de t, y F( t) = t para todos los valores racionales de t. (a) Demostrar

que J:. IF(t)l = 2¡.~a. ·" > O. (b) Discutir el significado del resultado de la parte (a) en relación

con la unicidad de la transformada inversa de Laplace.

137. Muestre cómo el método de las fleries puede usarse para calcular (a) ..c- 1 11/ (s2 + 1}1, (b) .e- 1 1ln (1 + ljs)l,

(e)

.e-1 ita n-I nr~ll.

138. HaHar .e-1 {e-35- 2Vi }. Res p.

139. Demostrar que

i o

"' u sen tu d

---u

1 + u2

1

~~=~ e-lw-:n 'U(t- 3)

v•l'- ap

~ e-t, t >O.

f t-1/2 o< t < 1

140. Si F(t)::::: t-112, t >O y G(t)

lo <>1'

demostrar que

O<t<1

F(t)*G(t)

{: 2tan-l~i t>l

141. Demostrar que

142. Calcular Resp. t-l12f..¡;;. + et fer ...[i

~v/2

143. Demostrar que (a) sen (t sen2 e) de

J

"

(b)

irr/ 2 coa (t cos2 e) de

'

.¡. "n (t/2) J 0 (t/2)

.¡. co• (t/2} J 0 (t/2).

144. Supóngase que .e_- 1 :¡(~!: ...,. F(t) tiene período T >O. Demostrar que

.e-t if(s)(l- p-~T)i- F(t)siO<t< Tycerosit> T.

145. (a)

1 ',

{ 8 + 1 J

Demostrar que .e- 1 -,-- >

(b) Discuti1 la relación del resultado en (al y el del problema 127 .

•

CAP. 2]

LA TRAN~lfo'ORMADA INVERSA DE LAPLACE

77

146. ¿El desarrollo de Heaviside puede aplicarse a la función f( s) = lJ h cosh .~)?Explicar.

147. Demostrar que f,. J 0 (z2) dx

'

148. Demostrar que

1/4V..

t3 t5

(3 !)2 + (5 !)2

,,

{7!)2 + . -.

149. Demostrar que

..

(6!)2 + ...

150. Calcular .(-1 {--'-}· Resp. t-tn¡..¡; - et fce ( v'F)

l+Vi

151. Demostrar que

donde [t] denota el mayor entero menor o igual a t.

152. Demostrar que .e-l { ~ J 0 (.:a)}

,,

1 - (11)3 + (2!)3

111 (-l)"(t-n)"

n=O ~ n. '

i

\

" + ~

(3 !)3

•

Capítulo 3

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

CON COEFICIENTES CONSTANTES

La transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales

con coeficientes constantes. Supongamos, por ejemplo, que queremos resolver la ecuación diferencial

de segundo orden

d 2 Y

dY

dt' + "Tt + (3Y = F(t) o sea Y" + aY' + (3Y = F(t) (1}

donde a y {3 son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de frontera

Y(O) = A, Y'(O) = B (2)

donde A y B son constantes dadas. Tomando la transformada de La place a cada lado de ( 1)

y usando (2), obtenemos una ecuación algebraica para determinar J:.. !Y(t)l =y(.~)- La

solución requerida se obtiene al calcular la transformada inversa de Laplace de y(s). Este

método se. puede extender fácilmente a ecuaciones diferenciales de orden superior. Véanse

los problemas 1-8.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON COEFICIENTESIVARIABLES

La transformada de Laplace puede utilizarse también para resolver algunos tipos de ecuaciones

diferenciales ordinarias cuyos coeficientes son variables. Una ecuación especial en la

cual el método resulta particularmente útil es aquella en la cual cada uno de sus términos es

de la forma

tm Y'''(l) (.3)

cuya transformada de Laplace es

(4)

Véanse los teoremas 1-10 de la página 4 y 1-12 de la página 5.

Para los detalles de la solución véanse los problemas 9-11.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS SIMULTANEAS

La transformada de Laplace puede usarse también para resolver dos o más ecuaciones

diferenciales simultáneas. El procedimiento es esencialmente el mismo que el descrito anteriormente.

Véanse los problemas 12 y 13.

78

•

CAP. 3]

APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

79

APLICACIONES A LA MECANICA

Supongamos que una masa m está adherida

a un resorte flexible fijado a un punto O, y

la cual tiene la libertad de desplazarse sobre un

plano PQ sin rozamiento [véase la Fig. 3-1].

Si X(t ), o X simplemente, denota el desplazamiento

instantáneo de m, en el tiempo t, desde

su posición de equilibrio o de reposo, entonces

actuará sobre m una fuerza recuperadora -kX,

donde k es una constante que depende del resorte,

llamada la constante del resorte. Esto se

deduce de la ley de Hooke la cual establece experimentalmente

que la fuerza recuperadora

que actúa sobre un resorte es proporcional al

alargami~nto o extensión del resorte desde su

posición de equilibrio. De acuerdo con la ley

newtoniana que establece que la fuerza neta que

actúa sobre m es igual a la masa por la aceleración,

la ecuación del movimiento es

Po&ición de

( equilibrio

~Q 0

1

tc:t)l

1

1

1

..__X

'

~

(b)

Fig. 3-1

""Q

d'X

m dt' ~ -kX o mX"+kX ~O (5)

Si, adicionalmente, existe una fuerza amortiguadora proporcional a la velocidad instantánea

de m, la ecuación del movimiento es

d'X

mdff =

dX

-kX- ¡ldt

o mX" + {JX' + kX = O

donde la constante de proporcionalidad {3 se llama la c·ahstante de amortiguación.

Puede haber otra modificación cuando actúa sobre m una fuerza externa dada 1'(t) que

depende del tiempo. En tal caso la ecuación del movimiento será

d'X

m dt' -kX - fl ~7 + J'(t) o mX" + ¡JX' + kx ~ J'(!)

El desplazamiento X (t) puede conocerse utilizando la transformada de Laplace paré resolver

las ecuaciones (5), (6), o (7) bajo las correspondientes condiciones fisicas ini/iales.

Véanse los problemas 14, 15, 27 y 28.

(6]

?

APLICACIONES A LOS CffiCUITOS ELECTRICOS

Un circuito eléctrico simple (Fig. 3-2) consta

de los siguientes elementos de circuito conectados

en serie con un interruptor o llave K:

l. Un generador o batería que produce una fuerza

electromotriz o f.e.m. E (voltios).

2. Una resistencia R (ohmios).

3. Un inductor que tiene una inductancia L

(henrys).

4. l t,n condensador con capacitancia C (faradios).

Los .1lementos de un circuito se representan simbólicamente

como en la Fig. 3-2.

R

1

L

•

80 APLICACIO.NRS A LAS ECUACIONES DIFER::<::N CIALES (CAP. 3

Cuando se baja el interruptor o llave K, en tal forma que el circuito queda cerrado, fluirá

una carga (}(culombios) a las placas del condensador. La razón de tiempo de la carga del

nujo, dada por

~~ = 1, se llama la corriente y se mide en amperios cuando t se mide en

~egundos.

En la práctica puede haber circuitos eléctricos más complicados, como el que se muestra

en la Fig. 3-3.

Un problema importante es el determinar las cargas de los condensadores y las corrientes

en función del tiempo. Para hacer esto definimos la caída de potencial o caída de voltaje

a través de un elemento del circuito.

(a) Caída de voltaje a través de una resistencia = RI = R ~~

dl d'Q

(h) Caídadevoltajeatravésdeuninductor= Ld-t = Ldf!

(e) Caída de voltaje a través de un condensador = §

(d) Caída de voltaje a través de un generador ~ -Subida de voltaje ~ //

Las ecuaciones diferenciales se pueden encontrar utilizando las siguientes léyes de Kirchhoff.

Leyes de Kirchhoff

l. La suma algebraica de las corrientes que fluyen a través de un punto de unión [por

ejemplo A en la Fig. 3-3] es igual a cero.

2. La suma algebraica de las caídas de potencial, o caídas de voltaje, alrededor de cualquier

malla cerrada [tales como ABDFGHA o ABDFQPNMA de la Fig. 3-3] es igual a cero.

La aplicación de estas leyes en el circuito de la Fig. ::J-2 es particularmente fácil (en realidad,

la primera ley no es necesaria en este caso). Encontramos que la ecuación para determinar

Qes

d'Q dQ Q

Ldfi + Rdt + C E (8)

Al aplicar las leyes al circuito de la Fig. 3-3, aparecen dos ecuaciones simultáneas [véase el

problema 17].

•

CAP. 3] APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 81

Nótese la analogía entre las ecuaciones (7) y (8). Parece que la masa m corresponde a la

inductancia L, el desplazamiento X corresponde a la carga Q, el factor de amortiguación {3

a la resistencia R, la con:o;tante del resorte k al recíproco de la capacitancia 1/ C, y la fuerza

J' a la fuerza electromotriz E. En la práctica estas analogías son de gran utilidad.

APLICACIONES A LAS VIGAS

Supongamos que una viga cuyos extremos

están x = O y x = l coincide con el eje

x (Fig. 3-4). Supongamos que hay una carga

vertical W(x) por unidad de longitud que actúa

transversalmente sobre la viga. Entonces

el eje de la viga tiene una de flexión transversal

Y(x) en el punto x. la cual satisface la

ecuación tliferencial

d'Y W(ac)

dx' - -El~ 0 <X< l (9)

y

F;g. ·-·

X =l

Esta deflexión transversal se llama a veces la curva de de flexión o curva elástica. La cantidad

El se llama la rigidez de la flexión de la viga y la supondremos constante. [Realmente E

es el módulo de elasticidad de Young para esta viga e 1 es el momento de inercia de una

sección recta de la viga con relación al eje]. Las cantidades EJY"(x) y EIY',..(x) se llaman,

respectivamente, el momento fleclor y el esfuerzo secante en x. Nótese que en el eje Y se

elige como positivo el sentido hacia abajo, de tal manera que las deflexiones son positivas

hacia abajo.

Las condiciones de frontera asociadas a la ecuación diferencial (9) dependen de la manera

como esté apoyada la viga. Las más comunes son:

l. Empotrada: Y~ Y' ~ O

2. Articulada: Y~ Y" ~ O

3. Apoyo simple: Y" = Y'" =O

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

La transformada de Lap1ace es también de utilidad para resolver ciertos tipos de ecua·

ciones diferenciales parciales sujetas a ciertas condiciones de frontera; frecuentemente nos

referiremos a ellos con el nombre de problemas de frontera; en este capítulo trataremos algunos

problemas sencillos [véanse los problemas 22, 26 y 31]. En el capítulo 8 se hará una

discusión más completa de los problemas de frontera, ya que en este punto tendremos la ventaja

adicional de conocer la fórmula de inversión compleja vista en el capítulo 6 .

•

82

APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES [CAP. 3

Problemas resueltos

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON COEFICIENTES

CONSTANTES

l. Resolver Y"+ Y~ t, Y(O) ~ 1, Y'(O) ~ -2.

Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial y utilizando las condiciones

dadas, tendremos

.C {Y") + .C {Y}

~ .e {t), s2y - B Y(O) Y'(O) +y

••• - • + 2 + y 1

..

~

1

..-

~

Entonces

.e {Y}

1

+ s-2

y

s2(s2 + 1) s2 + 1

y y ~ -1 { 1 + 8

~

..-

~

..

.t:. 82 s2+1 s2! t}

~

1 1

2

s2 + 1

+ ¡¡2 + ' 1 s 2 + 1

3

+ •

s2 + i s2+ 1

t+cost- 3 sen t

Comprobación: Y = t + cos t - 3 sen t, Y' = 1 - sen t ~ 3 cos t, Y" "" - cos t + 3 sen t. Entonces

Y" + Y= t, Y(O) = 1, Y' (O) = -2, luego la función encontrada es la solución requerida.

Existe otro método, usando la integral de la convolución, en el problema 7; en tal caso se hace a = 1,

F(t) =t.

2. Resolver Y"- 3Y' + 2Y ~ 4e", Y(O) ~ -3, Y'(O) ~ 5 .

Tenemos que

.C {Y") - 3 .C {Y') + 2 .C {Y) ~ 4 .C {•"}

{o'¡¡ - s Y(O) - Y'(O)} - 3{'1/ - Y(O)} + 2y /=

{s2y+3s-5} ~ S{sy+3} +y/ ::::o~

4

~ :::::: s-2

(a2- 3s + 2)11 + 3s - 14

• •

~

<•'

3s + 2}(8 2)

-3s2 + 208 - 24

<•

1)(s 2)'

-7 4

'-1 + s-2 +

+

14-38

•'

38 + 2

4

(s~ 2)2

de manera que

Y

.e-• -- + -- +

-7 4

{ 8-l s~2 (8 ~ 2)2}

~ -7et + 4e2t + 4te2~

se puede comprobar que ésta es la solución .

•

CAP. 3) APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 83

3. Resolver Y'' + 2Y' + 5Y ~ e-• sen t, Y(O) ~ O, Y '(O) ~ l.

Tenemos que ,e{Y") + 2-({Y') + 5-({Y} .t:.{e-tsent}

{s 2 y - s Y(O) - Y'(O)) + 2{sy - Y(O)) + 5y 1

(s+1)2+1

{s 2 y - a(O)- 1} + 2{ay- 0} + 5y

s2+2s+2

(s2+2a+5)y- 1

y 1 1

s2 + 2s + 5 + (s2 + 2s + 2)(s2 + 2s + 5)

Entonces {por el problema 28, Pág. 60)

s2+2s+3

(s2 + 2a + 2)(82 + 2a + 5)

y -•{ a2+2s+3 l

.C. (8 2 + 2s + 2)(s2 + 2s + 5) J

1

ae-t(sent + sen2t)

4. Resolver Y"'- 3Y" + 3Y'- Y~ t'e', Y(O) = 1, Y'(O) = O, Y"(O) = -2.

Tenemos que .({Y"') - 3 .({Y") + 3 .e {Y') ·- ,e {Y}

)

{s'y- •' Y(O) - s Y'(O) - Y"(O)) - 3{s2y - s Y(O) - Y'(O)} + 3{sy- Y(O)) y -

Así, (s3- 3s2 + 3a - l)y - s2 + 3a -

y

s2-2a+l-s + __ 2_

(8 1)3 (a- 1) 6

(s-1)2- (s-1) -1 + 2

(s t):J (s- 1)6

y

5. Hallar la solución general de la ecuación diferencial del problema 4.

En este caso las condiciones iniciales son arbitrarias. Si suponemos que Y{O) =A, Y'(O) = B, Y"(O) = C, encontramos,

como en el problema 4, que

(s3y-As2-Bs-C)- 3(s2y-Aa-B) + 3(sy-A)

y

o sea que

y

As2 + (B- 3A)s + 3A - 38 + C + 2

(s 1)3 (s- 1)6

•

84 APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES [CAP. 3

Como A, By C son arbitrarias, también lo es el polinomio del numeradur del miembro derecho de la igualdad.

De esta manera podemos escribir

c1 c2 c3 + _._2_

• (s- 1):<1 + (s- 1)2 + s -1 (s -1)6

y trasponer términos para encontrar la ~olución general requerida

c 1 t 2

t5e!

11 2 et + c2tet + c3et + 60

donde las Clr. son constantes arbitrarias.

Se notará que una vez obtenida la solución general, es más fácil encontrar la solución particular ya que

nos evitamos la dificultad de determinar las constantes del desarrollo en fracciones parciales.

6. Resolver Y"+ 9Y ~ cos 2t si Y(O) ~ 1, Y(rr/2) ~ -l.

Como Y'(O) es desconocida, sea Y'(9) = c. Entonces

-<:{Y"} + 9 .e {Y)

.(. {cos2t}

s'y - sY(O) - Y'(O) + 9y

(~+9)y - s - e

y

•+e + •

s2 +9 (.. + 9)(•' + 4)

S e

s

+

2 + 9 s 2 + 9 5(s2--:-t--4) 5(s2 + 9)

+ ' •

~ ( 8 2~9) +

De manera que

y

4 e 1

scos3t + asen3t + gcos2t

1

1

\

\

Para determinar e, nótese que Y('ll'/2) = -1 de modo que -1 =

-c¡3- lf5 o~~ e

12f5. Entonces

y

4 4 1

5 cos3t + 5 sen3t + 5 cos2t

7. Resolver Y" +azy

Tenemos que

F(t), Y(O) ~ 1, Y'(O) ~ -2.

.e {Y"} + a' .e {Y} .e {F(t)}

s2y - s Y(O) Y'(O) + a'¡¡

s2y - s + 2 + a2y f(s)

/(•)

f(s)

de manera que

y

•- 2

s2+a2 +

f(s)

82+a,2

•

CAP. 3) APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 85

Entonces, usando el teorema de la convolución,

y

r s-2}

.e-lls2+a2 + _,{/(•) }

.(' 8 2+a2

cos at -

eos at -

2 sen at

+

F(t) • ~nat

• •

2 senat

+ -

'.f'

F(u) sen a(t- u) du

• . '

Nótese que en este caso realmente la transformaóón de La.place de F(t) no aparece en la solución final.

8. Hallar la solución general de Y" - a 2 Y = F(t).

Sea Y(O) =

e 1 , Y' (O) = c2. Tomando la transformada de Laplace, encontramos que

o sea

y

De manera que y

que es la solución general requerida.

,,

BC¡ + C 2

f(s)

s'l.- a2

+ s2- a~

c 1 cosh at + --- senh at + -

A cosh at + B ~enhat +

a

a 'f.' • o

u. '.f' '

F(u) senh a{t- u) du

- · F(u) senh a(t- u) du

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON COEFICIENTES VARIABLES

9. Resolver tY" +Y'+ 4tY = O, Y(O) = 3, Y'( O) = O.

o ''"

es decir,

Tenemos que -<: {tY") + -<:(Y') + -<:(4tY] O

- _d_ {s'y - , Y(O) - Y'( O)) + {•y · Y( O)) - 4 iJ!.

• •

dy

(s2 + 4) ds + sy o

o

Entonces

o

integrando In y + J In (s2 + 4) y

Invirtiendo los términos

y

Para determinar e obsérvese que Y(O)

eJ 0 = e= 3. De manera que

Y

3J 0 (2t)

•

86 APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

[CAP. 3

10. Resolver tY"+2Y'+tY =O, Y(O+) = 1, Y(~)= O.

Sea Y'(O+) =c. Tomando la transformada de Laplace en cada término

d

d

-do (o 2 y - • Y(O+) - Y'(O+)} + 2{sy - Y(O+)} - ;¡;Y o

o sea

-siy'-2By+1+2BV-2-y 1 =O

es decir,

o

y'

-1

,a+ 1

Integrando,

= -tan-• s + A

Como y ...,. O cuando .~"""' oo, debemos tener que A = vj2. Así,

Por el ejemplo siguiente al teorema 1-13. Pág. 5,

y

.e-+··-1 n

que satisface Y(1r) = O y es, entonces, la solución buscada.

lient

'

11. Resolver Y"- tY' + Y = 1, Y( O) = 1, Y'(O) = 2.

es decir,

o sea,

Tenemos que 1

.e {Y"} - .( {tY') + .e (Y} .e {1} =

B

•'Y- o Y(O) - Y'(O) + f.{sy- Y(O)} +y = !

... -o-2+su'+y+~.=

1

o

\

Entonces I'J/ 1 + (.S+2)11 = 8 + 2 +\~

dy ( 2)

do

•

o "'" -+ •+- 11

Un factor integrante es ef(s+t)d•= el'l•'+ 2 ln~ = s:le~ 11 , Entonces

integrando, y =

.!.e-1-i:Bi f( 1 +! + _..!_) s2 e'hsl ds

s2 8 82

= ~,-~A~~r• J (82 + 2s + 1) s'h.w• ds

= ~e- V.•• [se~_.~+ 2e~•· +e]

= 1 +

•

¡¡

2 + ••

!.·-~··

•

CAP. 3]


87

Para determinar e téngase en cuenta que, por el desarrollo en serie,

y ! + ~ + ~ (1 - ts2 + fs" - · · ·)

1 e+ 2

s + s2 - e(!- ts2 + ... )

Como ~-t {sk} = O, k = O, 1, 2, ... , al invertir obtenemos,

Y 1 + (e+ 2)t

Pero Y'(O) = 2 de tal suerte que e = O y así llegamos a la solución buscada

y = 1 + 2t


[~%

2X-3Y

12. Resolver

l

con las condiciones X (O) ~ 8, Y(O) ~ 3.

dY

Y-2X

dt

Tomando la tran~formada de Laplace tenemos que si .({X} = ::t:, 1:._ {Y} = y, entonces,

sx - 8 2;~; - 3y o séa (l) (s-2)x + 3y ::::: 8

sy - 3 y- 2x o sea (2) 2x + (.s - l)y 3

Resolviendo (1) y (2) simultáneamente,

8

3 .~ 11 Bs- 17 8s -17 5 3

• 82-Ss-4 (s + l)(s 4) S -f- 1 + ;- -4

¡· 2 8:11

8

¡·;2

3 3s -22 3s -22

y = s

¡•;2 •:11 2 -3s-4 (s + l)(s 4)

Entonces X C'(x) ~c--'__j-_.3c'<

y -(_,{y)

= 5e-t - 2e4t

X"+ Y'+ 3X

13. Resolver { Y"- 4X' + 3Y

Y(O) ~ 27, Y' (O) ~ -55.

15e-•

= 15 sen2t

con las ~ondiciones

X (O) ~ 35, X' (O)

-48,

Tomando la tran;;formada de Laplace, tendremos que

s2x - s(35) - (-48) + sy - 27 + 3x

s2y - s(27) - (-55) - 4{sx- 35} + 3y

15

'+ 1

30

g:! +4

•

88


[CAP. 3

o,..

(s2 + 3)x + sy

35s ~ 21 + ..J.!_

•+1

(11

-4sx + (s2 + 3)y

30

27s- 195 + 82

+ 4

(2)

Resolviendo (1) y (2) simultáneamente,

3Ó8 -

21 + ___!!__

o+1

•

30

278- 195 + g2 + 4

¡·~:. 3 .. :31

35s3 - 4Ss2 + 300s - 68 15(s2 + 3)

(•' + 1)(s2 + 9) + (• + 1)(s2 + 1)(s2 + 9)

80s 45 3 2s

s2+1- s2+9 + s+l + s2+4

ao.

(s2 + 1)(s2 + 4)(•' + 9)

s2+ 3

•

-4•

30

278-195 + s2+4

=

27s3- 56s2- 3s- 686 + 60s 30(s2 + 3)

(•' + 1)(s2 + 9) (8 + 1)(•' + 1)(•' + 9) + (•' + 1)(•' + 4)(•' + 9)

_3_ + _2_

s+l s2+4

Entonces

X

,¡:-1 {•)

30 eost- 15 sen3t + Se-t + 2 cos2t

y

,¡:-1 {y}

30 e08 3t - 60 sen t - se-t + sen 2t


14. Una partícula P de 2-gramos de masa se rrpleve sobre el eje X y es atraída hacia el origen

con una fuerza numéricamente igual a- 8X. Si está inicialty:ente en reposo en X = 10,

hallar su posición en cualquier tiempo posterior suponiepdo que (a) no actúan ot1as

fuerzas, (b) actúa una fuerza amortiguadora iguaL~ces su velocidad instantánea.

(a) Escojamos la dil'e(:ción positiva hacia la derecha

[véase la Fig. 3-51. Cuando X > O, la fuerza neta

es hacia la izqui.erda (es decir, es negativa) y estará

dada por -8X. Cuando X < O la fuerza neta

es hacia la derecha (es decir, positiva) y estará dada

por --8X. Entonces, en cualquier caso la fuerza

neta es -BX. Por la ley de Newton,

(!•.fusa) • (Aceleración)

d'X

2

1---- X ----------!

---+----------~-----X

o

p

= Fuerza neta

-ax

Flr. s-s

o sea

~; + 4X

o (11

•

CAP. 3]

APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 89

Las condiciones iniciales son:

Tomando la transformada de Laplace de (1), usando las condiciones (2) y (3) tenemos que, si x =

.t:{X},

s2:t: - lOs + 4x .::: O o

Entonces X ~ .t: _, {x) 10 cos2t

En la Fig. 3~6 se muestra la gráfica del movimiento. La amplitud (máximo desplazamiento desde

O) es 10. El periodo (tiempo para completar un ciclo) es '11'. La frecuencia {número de ciclos por segundo)

es 1(71".

X

X

Fig. 3-6 Fig. 3-7

(b) Cuando X > O y dX/dt > O, P está a la derecha y se mueve hacia la derecha. EntonCes la fuerza amortiguadora

está dirigida hacia la izquierda (es decir, es negativa) y su valor es -SdXjdL Análogamente,

cuando X < O y dX/dt < O, P está a la izquierda y se mueve hacia la izquierda de tal suerte que la

fuerza amortiguadora está dirigida hacia la derecha (es decir, es positiva) y está dada también por

-BdXJdt. La fuerza amortiguadora es también -8dXJdt para los casos X > O, dXjdt < O,

y X < O, dX/dt > O. Entonces

(Masa) (Aceleración) = Fuerza Neta

o sea

es decir,

d2X

2dt2 -8X - 8 dX

dt

d'X dX

4X

dt'!. + 4dt + o

(4)

bajo las condiciones iniciales (5) X(O) = 10, (6) X' (0) = O.

Tomando la transformada de Laplace de (4) y utilizando las condiciones (.5) y (6), tenemos

s2x - lOs + 4(sx- lO) + 4x o

o sea

X

lOs+ 40

s2+4s+4

Entonces

X

_,{!,Os ±--~l

"!._ (s + 2)2 r

J

10 .~:-• f_l_}· +

1• + 2

e' r _11)_(•~_2) + 20\_

1. (d 2) 2 J

20.t:-• ¡_,_¡

lis+ 21'1

loe-21 (1 + 2t)

El gráfico de X contra t se muestra en la figura 3-7. Nótese que el movimiento es no o~cilante.

partícula se aproxima a O pero nunca llega a alcanzarlo .

La

•

90 APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES [CAP. 3

15. Una partícula de masa m se mueve sobre el eje X y es atraída hacia el origen O con una

fuerza numéricamente igual a kx, k > O. También actúa una fuerza amortiguadora

igual a ¡JdXjdt, {3 > O. Discutir el movimiento; considerar todos los casos, suponiendo

que X(O) ~ X,, X'(O) ~ V o.

La ecuación del movimiento es

-kX -

dX

P-;u

o ...

donde a = f1/2m, w2 = k/m.

o

(1)

o,.,.

Al usar las condiciones iniciales, la transformada de Laplace de (1) da

•'x XoB - V 0 + 2a(sx- X 0 ) + w2:~: o

'

X

sX 0 + (V o+ 2aXo)

s2+2as+w2

(s +a)X0

(~t+a)2 + w2- a2

+

V o+ aX 0

(s+o:)2 + w2- a.i

Caso 1, ~a~2-a2

>O.

En este caso

X

.¡:-'(•)

El movimiento se llama oscilatorio amortiguado (véase la Fig, 3-8]. La partícula oscila alrededor de

O, y la magnitud de cada oscilación va haciéndose menor cada vez. El periodo de la ~ilación está dado por

2rr/VW2 - a2, y la frecuencia por V~>~ 2 - a 2 /2T. La cantidad (o)./2"17"(correspondiente al c-:a~ a = O, es decir,

sin amortiguación) se llama la frecuencia naturaL \

Caso .2. ¡,¡2 - a2 :;;::; O.

En este caso

X .e' {x) .("'7 1

{

X 0 V 0

+aX

-- + -"~-d' f

s+a (s+a

1

X 0

e-at + (Vo+ot.Ío)te-at

Aquí la particula no oscila indefinidamente alrededor de O sino que ~~proiima gradualmente a O sin

llegar a alcanzarlo. Este tipo de movimiento se llama movimiento criticament€- amortiguado, puesto que cualquier

disminución de la constante de amortiguación iJ producirá oscilaciones [véase la Fig_ 3-9J.

Caso 3, ¡,¡2-a2 <O.

En este caso

X ~~! {x} .e• { (s +a)X0 + V0 + aX0 }

(s + a)2 - (a2- w2) (8 + a)2 (a2 w2)

Xo cosh Va 2 -

w2 t +

V o+ aXo

--- ""nhya'-.,>t

Va2-c..~2

El mOvimiento se llama sobre-amortiguado y es no oscilatorio. La gráfica es semejante a la del movimiento

críticamente amortiguadn [véase la Fig. 3-10] .

•


X X X

t

Movimiento oscilatorio

amortiguado

Fig. 3-8

Movimiento críticamente

-amortiguado

Fig. 3-9

Movimiento sobreamortiguado

Fig. 3-10

APLICACIONES A LOS CIRCUITOS ELECTRICOS

16. Un inductor de 2 henrys, una resistencia

de 16 ohmios y Un condensador de 0,02

faradios se conectan en serie con una 2h

f.e.m. de E voltios. En t = O tanto la

carga del condensador como la corriente

del circuito valen cero. Encontrar la carga

y la corriente en cualquier tiempo

t > O si (a) E ~ 300 (voltios), (b) E ~

100 sen 3t (voltios).

16 ohmios

Fig.3-11

Sean Q e 1 respectivamente la carga y corriente instantáneas en el tiempo t

tenemos

di

Q

2 dt + 161 + 0,02 E

0,02 fd

,, L ' o ~ '1 ..

e)_ -\ 0. '<..-\ l '<.P.-~ v

"'""\

e_

Por las leyes di\, Kirchhoff

(!)

y como 1 = dQ/dt,

d 2 Q '

dQ

2dti ,--r- 16 dt + 50Q E

(2)

bajo las condi-ciones iniciales Q(O) O, /{O) = Q' (O) = O.

(a) Si E = 300, entonces (2) será

d'Q

dQ

dti + 8dt + 25Q 150

Entonces, tomando la transformada de Laplace encontramos que

{•'q - 'Q(O) - Q'(O)} + S{•q - Q(O) l + 25q

150

8

o

q

150 6 6s+ 48

s(s2 + 8s t· 25)

s2+8s+25

'

6 6(8 + 4) + 24

8 -\8 T 4)2 + ·9

6 6{• + 4)

(s + 4)2 + 9

Entonces Q 6 - 6e~4t cos 3t - Se-H sen 3t

l

dQ

"'

'

24

(s+4)2 + 9

•

(CAP. 3

92


y entonces 1 =

dQ 75 25

dt 62 (2cos3t + 3sen3t)- 52 e-4t(l7sen3t + 6eos3t)

( b) Si E = 100 sen 3t, entonces (2) es en este caso

d'Q dQ

dt2 + 8dt + 25Q = 50 sen3t

Tomando la transformada de Laplace encontramos que

150

1•' + 8B + 25)q

8 2 + 9

y

150

• (•' + 9)(•' + 8B + 25)

=

75 1 75 •

75 1 75

26 82+9- 52 s2+9 + 26 (s + 4) 2 + 9

+

•+•

52 (8 + 4.)2 + 9

Así que Q =

25

26 sen 3t 75

52 sen St + 25

26 e-·U sen3t + 75 e-·U coa 3t

52

= :: (2 sen St - 3 cos 3t) + :: e-4t (3 cos 3t + 2 sen 8t)

\, 1 Para grandes valores de t, los términos de Q o de 1 en que aparece e -4t son despreciables y se llaman

los términos transitorios o !aparte transitoria de lB solución. Los otros términos se llaman los términos permanentes

o la parte permanente de la solución.

17. Dada la malla eléctrica de la Fig. 3-12,

determinar las corrientes de las diferentes

ramas, si las corrientes iniciales valen

110 '-'Oitios

cero.

p

J

80 ohmiu~

La segunda ley de Kírchhoff [véase la Pág.

80] establece que la suma algebraica de las caídas

)

1

10 ohmios 2heney• I,

de voltaje o potencial alrededor de cualquier malla

N

K

cerrada es cero. Vamos a recorrer las mallas

KLMNK y JKNPJ en el sentido de las agujas del

20uhmiu" ~ 4 benry•

I,

reloj, tal como se muestra en la figura. Al recorrer M

L

estas mallas debemos considerar como positivas

las caídas de voltaje, cuando el recorrido es en un

sentido opuesto al de la corriente. U na subida del

Fi •• S.I!

voltaje se considera como una caída de voltaje con

signo opuesto.

Sea I la corriente en NPJK. En el nudo K esta corriente se divide Ir e 12 en tal forma que l = lt + 12.

Esto es equivalente a la primera ley de Kirchhoff [véase la Pág. 80].

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a las mallas KLMNK y JKNPJ tenemos, respectivamente,

o bien

-1011 -

l

2dt + 4dt + 2012 = o •

l

di,

30I - 110 +

-6!¡ -

di,

di,

2- + 1011 = o

dt

di, di,

+ 1012 o

dt + 2dt =

di,

+ 20!¡ + 1612 55

dt

bajo las condiciones J¡(O) = 12(0) =O .

•

CAP. 3]


93

Tomando la transformada de Laplace..del sistema Y utilizando las condiciones iniciales encontramos que

-5i 1 - {si 1 - 1¡(0)} + 2{si 2 - / 2 (0)} + 101 2 O

{si 1 - IdO)} + 20i 1 + 15i 2

55/s

o, .. (8 + 5)il - (28 + 10)i2 o

(s + 20)i 1 + 15i 2 55/s

Por la primera ecuación, it = 2iz, de modo que la segunda ecuación da

(28 + 55)i2

55

8

o

55 1 2

;., = s(2s +55) ;-2s+55

Entonces I,

1 1 1 +'1 2

= a- ae~ssttz

A LAS VIGAS

18. Una viga fija en sus extremos x = O y

x = l (Fig. 3-13) soporta una carga uniforme

W 0 por unidad de longitud. Hallar

la de flexión en cualquier punto.

La ecuación diferencial y las condiciones de

frontera son

w,

El

O<z<l (/)

Y(O) =O, Y"(O) =O, Y(l) =O, Y"(n =O (21

~#~t~U.il:ÉI) 2ii!Jíil:Él} ~~ !~ 'JI~f:s;:-·

y

Fig. 3-13

Tomando la transformada de Laplace en los dos miembros de (I) tenemos que, si y = y(B) = .({Y(~)}.

a4y - s3 Y(O) - s2 Y'(O) - a Y"(O) - Y"'(O)

Empleando en (2) las dos primeras condiciones y las condiciones desconocidas Y'(O) =

tramos que

Ct, Y'"(O) = c , 2

encon

e, e, w,

• •' + 8' + Els 5

Invirtiendo términos

w,

Eh

Y(x) + c 2

e,z

x3 + Wo x" c2xa Wox 4

3! El 4T e,x + 6 + 24El

De las dos últimas condiciones de (2) obtenemos

(3)

e,

Así, la deflexión buscada es

Y(x)

=

w,

24EI(l"x-•lx' + z')

w,

24E/ z (l- x)(l2 + l:e- ,x2)

•


(CAP. 3

19. Una viga voladiza [Fig. 3-14] asegurada

en el extremo x = O y libre en el

extremo x = l, soporta una carga W(x)

por unidad de longitud dada por

W(x) ~

Hallar su deflexión.

Wo 0 < x < l/2

{O

l/2<x<l

La ecuación diferencial y las condiciones de

frontera son

d'Y

dx'

W(x)

El

fll&U~[I!l .. ,,.....,

"

y

O<z<l

Flr.3·14

Y(O) = O, Y'(O) = O, Y"(!) = O, Y"'(!) = O

(J)

(21

Para poder aplicar las transformadas de Laplace, extendemos la definición de W(x) de la siguiente manera;

0 < X < l/2

X> l/2

En términos de la función unitaria ~:i~_l'/ W puede expresarse como

/ .

W(xl./~ W 0 (1l(x) - U(x- 1/2))

(.3)

(4)

Tomando las transformadas de Laplace de (1) tenemos que, si y= y(¡¡) = J:_ 1 Y(x) 1,

~y - s3 Y(O) - s2 Y'(O) - s Y"(O) - Y 111 (0)

W 0 {1 ~ e-sl/2}

El ,

De las dos primeras condiciones de la fórmula (2) y de las condiciones desconO<:idas Y"(O) = t: 1 ,

encontramos que

y

entonces

Invirtiendo los túminus obtenemo~

Ylx) =

+ Wo x4 Wo (x -l/2)4 'U( - 1/2)

ET 4! - El 4! X

Lo cual es equivalente a

Y(x)

O<x<l/2

w,

24El (x- l/2)4 X> l/2

Al utilizar la~

condiciones ,Y"(/)= O, Y'"(l) =O encontramos que

De manera que la deflexión requerida es

o sea

Y(x)

Y(x)

W

0 1~

C¡ = 8Ef'

W 0 l 2 W 0 1 w,

iBEI x 2 - f2Ei xa + 24Elx4

r

lV 0 l

1Gkfx 2 12Ei xa + 24i}/ "'"

x 4

W 0

12 w(ll Wo

16Eix 2 f2E/xa + 24Rl x.4

»'o

24Ei (x - l/2)41<(x - l/2)

O<x<l/2

w,

'iJJ;jj (x - l/2)1 l/2<x<l

•

CAP. 3J APLICACIONES A LAS BCUAC10NF.S DIFERENCIALES 95

20. Una viga tiene una carga concentrada P 0 que actúa en el punto x = a. Demostrar que

este tipo de carga puede representarse por W(x) = Po 8 (x - a) donde 8 es la función

delta de Dirac o función de impulso.

Considérese una carga uniforme W 0

por unidad

de longitud sobre la parte de la viga comprendida

entre a y a + f [Fig. 3-15]. Entonces la

carga total sobre esta parte de viga es

Wo[a+~-aJ = Wof

Como esta carga total es igual a Po, tendremos que

a. a+l!

Fig.3-15

W(x)

JPnl~

lO

a<x<a+f

en cualquier otra parte

Pero, como ya se ha establecido, la representación del límite cuando 1!-> O está dada por

W(x)

De esta manera el resultado queda demostrado.

P 0 S(x- a.)

21. Una viga tiene empotrados sus extre~mos

en x ~ O y x ~ l [Fig. 3-16)yÉn

el punto x = l/3 actúa, verticalmente

hacia abajo, una carga concentrada P 0 •

Hallar la deflexión resultante.

Por el problema 20, la carga concentrada en

x = lj3 puede representarse por Po .S(x - lj3)

donde .S es la función delta de Dirac o función de

impulso. Entonces, la ecuación diferencial de la

deflexión y sus correspondientes condiciones de

frontera serán:

d'Y

dx'

/-~; .1!. ¡:

y

Po

El •<•- liS)

P,

J,

Fig.3-I&

1

y i X

(/)

Y(O) =O, Y'(O) =O, Y(l) =O,

Y'(l) =O

(2)

Tomando transformadas de Laplace, si y =

.C. 1 Y(.r) 1 tendremos que,

s4y - s3 Y(O) - a2 Y'(O) - s Y"(O) - Y"'(O)

P,

El e-IB/3

(,7)

Si llamamos Y" (O) = c 1 y a Y"' (O) = c 2 , al usar las dos primeras condiciones de (2) encontramos que

e, Po e-!s/3

y '•

" + ;¡ + El----;¡-

Al invertir obtendremos

que equivale a,

Y(x)

Y(x)

C[X2

2!

+ c2x3

3! +

Po (z -l/3)3 'U(x _ liS)

El 3!

O<x<l/3

l/3<x<l

(4)

(,S)

De las dos últimas condiciones de (2) hallamos

-20P 0

e,

-27E/

•

96


[CAP. 3

Entonces la denexión requerida es

Y(•)

10P 0 :.:3 P 0

81El + GEl(• -!/a)'U(x-!/a)

o ''"

Y(z) =

{

2P 0 •'(31- 5x)

81El

2P 0

:t2(3l-5:.:) P 0

81EI + 6EI (•- l/ 3 )'

O<x<l/3

l/3<~<l


22. Dada cierta función U(x, t) definida para a~ x ~ b y t >O, hallar

(a) .e{~n = f.-.. aa~ dt, (b)\ .e{~~} = f ·-··~~ dt

suponiendo que U= U(x, ~) satisface las restriccion~ apropiadas.

; \

(a) Integrando por partes, ~~dremos que \

-~{~~} r r" ·.~ dt f • au

lim

at

P-"' 0

e-lit~ dt

Ji~.., { e-~t U(x, t) [ + s foP e-•t U(z, t) dt}

8 fo"" r•t U(x, t) dt - U(::c, 0)

= s u.(::c, s) - U(z, O)

au -

U(z,O)

donde u = u(::c,lt) = .r:_ {U(::c, t)}.

Hemos supuesto que U(x, t) satisface las restricciones del teorema 1-1, Pág. 2, cuando la consideramos

como función de t.

(b) Al utilizar la regla de diferenciación bajo el signo integral de Leibnitz, tendremos que

-d s· e-st U dt

dx

0

du

d.

23. En referencia al problema 22, demostrar que

(a)

.e{a;tn

d'u

(b) .e{~~} dx'

donde U,(x, O) = M aul

•~'

s' u(x, s) - s U(x, O) - U,(x, O)

y

u = u(x,s) = .e (U(x,t)}.

Sea V = iJU/at.

Entonces, como en la parte (al del problema 22, tenemos que

, .e {V} - V(z, O)

• [• .C {U} - U(x, 0)] - U,(z, O)

32u - s U(x, O) - Ut(x, O)

Nótese la semejam:a que hay entre los re~ultados de e~te problema y la parte (a) del problema 22 con los

tenrema8 1-6 y 1-9 de la Pág. 4. Las extensiones son fácilmente realizables .

•

CAP. 3]


97

24. Encontrar la solución de

a u

ax

si U es acotada para x > O, t > O.

2Ml + U,

at

U(x,O)

Tomando las transformadas de Laplace, con respecto a t, de las e<:uaciones diferenciales parciales dadas,

y usando el teorema 22, encontraremos

du

dx

2{au - U(x, O)} + u

o"'"

du

dx - (2s+ l)u (/)

por la condición de frontera dada. Obsérvese que la transformada de LB.place ha convertido una ecuación diferencial

parcial en una ecuación diferencial ordinaria (1). ~

Para resolver (7) multiplicamos sus dos miembros por el factor integran

Entonces (1) se puede escribir como ·

'¡

-12e-C2a+4l:o:

Integran'do, '" obtenemos

u e-C2s+llx _ _? ___ 6 -C2s+4l;~: + e

s+2

6

o sea u - - 6 -3x + ce<2s+th:

-+2

• f -(b+Od# -- .-(21+U:r:.

Ahora, como U(x, t) es acotada para x ..... O, debemos tener que u (x, s) debe ser acotada tamhit'm t:uando

x ->«l, de tal suerte que se debe tomar e= O. Entonces

u

_6_e-3x

d2

Así, tomando la transformada inversa encontramos que

U(x, t}

se-2t-3z

La cual, como puede comprobarse fácilmente, e!! la solución buscada.

a u

25. Resolver at

t >o.

a• u

= a:&.

U(x, O] 3 sen 2.x, U(O, t) O, U(!, t) o dondeO < x < 1,

Tomando la transformada de Laplace de la ecuación diferencial parcial, y usando los problemas 22 y

23, encontramos que

stt - U(x, O) o

d'u

(fX2- 8U

-3 sen 21rx (J)

donde u u(x, s) = .('IU(x, t)i. La solución general de (1) es

u

(2)

Tomando la transformada de Laplace de aquellas condiciones de fruntt'ra en que aparece r, tendremos

.( {U(O, t)) = u(O, s) =·O y .( {U(l, t)} = u(!, •1 = O (3)

•

98

APLlCACIONF.S A LAS BCUACIONES DlrERENCIALES [CAP. 3

Utilizando la primera condición [u(O, ~)

01 de (.:1} en (2) tendremos

o (4)

Utilizando la segunda condición [u{l, s) =

U] de (3) en (2) tendremos

o (5)

De (1) y (.5) encontramos que c 1

O de manera que (2) será

de la cual, calculando la inversa, obtenemos

u =

3

8 + 4 n-2 sen 21TX (61

Este problema tiene una interesante interpretación física. Si b.srderamos un sólido comprendido entre

\os planos x =O y x = l extendidos indefinidamente, la fórmula

a u

at

es la ecuació11 de condición d1• calor de este sólido, donde U= U(x, t) es la temperatura en cuaiquier plano x

y en cualquier tiempo t y k es una constante de difusión que depende del material del sólido. Las condiciones

de frontera U (O, t) - O y U(l, t) = O indican que las temperatura~ se mantienen a cero en x = O y x = 1,

en tanto que U(x, Ol = 3 sen 2li"X representa la temperatura inicial en cualquier parte cuando O< x < l. El

resultado (n M!rá entonces la temperatura en cualquier parte del sólido en cualquier tiempo t > O. En el capítulo

R se ilustran más aplicaciones.

(

(7)

au

a•u

26. Hallar la solución acotada de vt - ax'' X > o, t > o y tal que U(O, t) ~ 1, U(x, O) ~o.

Tomando la transformada de Laplacc d~ la ecuación diferencial parcial y la condición U(O, t) encontra~

mos, rt'Spedivamente, que

a-tt - U(x, O) o o (/)

y

u(O,s)

•

Oe (1) óbten-emQs que u= u(x, -~) """c 1 e'h;r: + c 2 c-VÍ;r:_ Como U(x, t) debe ser acotada cuando x -+oe, entonces

u{x, s) ""'" .f:. iU{x, t)i deberá serlo también cuando x .... oe. Entonces, al suponer que -../S> c 1 ,

; 1 será necesariamente cero, de tal manera que,

u(x, 8) (3)

(2)

De (2) y (Jj obtenemos que c2

1js de manera que

u(x, 8)

Utilizando el prohlema 43, Pág. 67, oblenemos

U(x,t)

'"' (-;,¡.)

En términos físicos., esto N!pre~ntaría la temperatura en cualquier punto de un sólido "semi-infinito"

:t > O cuya CQta x = Q se mantiene a temperatura unitaria y <:uye. temperatura inicial es cero {véase el

problem-a 2.'1].

•

CAP. 3]


99

PROBLEMAS V ARIOS

27.- Supongamos que en el problema 14, Pág. 88, actúa sobre la partícula una fuerza 'f (t)

y que no hay fuerza amortiguadora. (a) Hallar la posición de la partícula en cualquier

tiempo si 'f' (t) = Fo coswt. (b) Discutir el significado físico de los resultados.

(_t;~_}

Si se tiene en cuenta la fuerza externa .'FU), la ecuación del movimiento es

(1)

o sea 2X" + BX :n t) (2)

Como antes, las condiciones iniciales son

X(O) ~ 10, X'(O) o (3)

Si f(t) = F 0 cos wt, (2) toma la forma

2X" + SX Fn cos wt

Tomando la transformada de Lapiace y usando las condiciones (3), si hace~os x =

que,

2{s 2 x - s(lO) -O} + 8:r

(4)

J:..IX i encontramos

Entonces, si w2 # 4,

X

lOs

(F 0 /2)s

;2+4 + (s2 + 4)(s2 + w2)

o,.. Fo J R

2(J=----4) 182.; 4

de manera que

Si ~ =

X

4, (5) será de la forma

.('-1 {x} 10 cos2t +

y usando el problema 13, Pág. 53, obtendremos que

X

___,_¡

s2+wtj

(.S)

(6)

F.,

Z(w2. _ ) (cos 2t - 4

cos wt) (71

ÍOs (F 0 /2)s

s2-t-4 + (s2-+-4)2 (8)

X ..C --t {x} Fo

10 cos 2t + S t sen 2t (9)

(b)

Si w 2 = 4 o bien w = 2, es decir, si la frecuencia de la fuerza externa aplicada es igual a la frecuencia natural

del sistema, podemos observar en la fórmula (9) que las oscilaciones alrededor del punto de equilibrio

crecen indefinidamente. Este fenómeno se llama la resonancia y la frecuencia correspondiente a "'= 2

se llama la frecuencia resonante. En tal caso, si hay una partícula sujeta al resorte, el resorte se romperá_

28. Desarrollar el problema 27, ahora en los casos (a) 'f(t) = F 0

U(t- a), (b) 'f(t) F, 8(t).

(a) En este caso la ecuación del movimiento es [ecuación (2) del problema 27]

2X" + 8X F 0 'U(t- a)

donde X(O) 10, X'(O) O. Tomando transformadas de Laplace obtenemos que

8

•

y

entonce:;,


108

a2 + 4 +

10•

s2+4 +

F 0

e-as

2B(s2 + 4)

F 0 e-as{-'- }

8 8-82~4

10 cos 2t + lFo {1 - cos 2(t- a)}

{ 10 cos2t

si t > a

si t <a

Luego el desplazamiento de la partícula es el mismo que el del problema 27 hasta el tiempo t = a,

después del cual cambia.

(b)

En este caso la ecuación del movimiento es

2X" + SX ::o: F 0 8(t), X(O) ~ 10, X'(O) ~ O

Tomando la transformada de Laplace encontramos

2(s2x -108) +

o ""'

/s;-·,\:::o::

1

lOs \

Fo

Fo

8 2 + 4 't 2(s 2 + 4)

De manera que X 10 cos 2t + !Fosen 2t

Físicamente hablando, aplicar la fuerza externa F 0 8(t) es equivalente a aplicar una fuer2a muy

grande durante un tiempo muy corto, y no volver a aplicar fuerza alguna en ningún otro instante. El

efecto es el de producir un desplazamiento de mayor amplitud que el del problema 14. Esto puede verse

si escribimos (1) en la forma

X v'too + F5tts cos (2t- </>) (2)

(1)

donde

cos rf>

10

·/loo + Fij/16'

sen<j>

Fof4

o sea, tan</>

F of40, de modo que la amplitud es v'100 + Fij/16.

29. Sea Y= Yt (t) una solución de la ecuación

Y"(t) + P(t) Y'(t) + Q(t) Y(t)

Hallar la solución general de Y"(t) + P(t) Y'(t) + Q(t) Y(t) R(t).

La ecuación diferencial de la cual buscamos su solución general está dada por

Y" + PY' + QY R (J)

O

Como f =

Y 1

es una solución de esta ecuación con el miembro derecho igual a cero, tenemos que

(2)

Multiplicando la ecuación (I) por Y:, la (2) por Y y restando, obtenemos

Y 1

Y" ~ yy;• + P(Y 1 Y'~ YY~) RY, (3)

lo cual puede escribirse en la forma

~ (Y 1

Y'- YY;) + P(Y 1Y'- YY;) RY, (4)

•

CAP. 31

APLICACIONES A LAS "ECUACIONES DIFERENCIALES

101

Un f¡tclor integrante de esta ecuación es

r J·dr

,.

Al multiplicar a (4) por este factor lo podremos expresar como

d. { .f ""(Y Y' - YY')}.

dt e 1 1

(51

Entonces, integ:.-ando

o '""

donde c 1 es una constante de integración.

f • (P<II

RY 1 e· dt + c 1

e· (Pdr f RY fr·ma

1 e- t+

f P<lt

(6)

(7)

Dividiendo los dos miembros de (7) por Yf, podemos escrib{/"

. r p" r \

e . 1' RY , f' dr i\

--.,- ¡C +

Y¡ • \

e- .f 1' rlt

c,---

Yf

Integrando los dos miembros de (8) y multiplicando por Yt encontramos que, si c 2 es una constante de integración,

y

, - f Pdl , J - r l'rll , f }

c¡Y¡ 1 -'-·-,- dt + c2Y1 + Y 1 { ¡ ~ 1 RY1e Pdtdt dt

• Y 1 .J L l'r •

Esta es la solución general buscada. Para otro método véase el problema 103.

(8)

(9)

30. Hallar la solución general de (a) t Y"+ 2Y' + tY ~ O, (b) tY" + 2Y' + tY ~ ese t.

(a)

De acuerdo con el problema 10, una solución particular de la ecuación diferencial dada es

Y 1 (t)

wnl

Como dicha ecuación Wferencial puede escribirse en la forma (Il del problema 29, en este caso con

P ~ 2/1, Q ~ 1, R ~ o,

de la ecuación (9) del problema 29 puede observarse que la solución general es

y e~-~~- fe- jd,torlr sent

1 t sen2 t/f2 dt + c2-,-

sen t

sén f

c,--(-cott) 1

+ c 2 -t-

donde hemos escrito c 1 = -A, c2 R como constantes arbitrarias.

A eust + B sent

-------

1

(b)

Aquí usamos la ecuación (91 del problema 29, en este caso con

y encontramos que

P = 2/t., Q = 1, R .....: (ese t)/t

•

102

',

A·rLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES [CAP. 3

31. Resolver la ecuilción diferencial parcial

a' Y

4 ax' + Y

16x + 20 senx

bajo las condiciones

Y(O, t) = O, Y(rr, t) = 16rr, Y<(x, O) = O, Y(x, O) 16x + 12 sen2x - 8 sen3x

Turnando la transformada de Laplace encontramos que

d'y

s2y - sY(x,O) - Yt(:r,O)- 4dx 2 + Y

o sea, utilizando las condiciones dadas, que

--,-7n2z+

d'y 1 -4(s2 + l)x 5 sen .x

¡(s2+1)y

dx'

8

y(0,8) = o,

.,

Una solución particular de (2) es de la forma

ax

16z + 20 senz

y(W",s) = B

8 8

+ b senx + e sen2x + d sen&:

28 sen 3:r

Sustituyendo e igualando coeficientes de términos semejantes encontramos la solución particular

(l)

(2)

(3)

(4) ·,

Y,

16x + 20 sen x + 12s sen 2x _ 8s sen3x

s s(s 2 +5) s 2 +17 s2+37

(5)

La solución general de la ecuación (2) cuyo miembro derecho ha sido remplazado por cero [es decir, la

HoluciOn complementaria) es

y,

(6)

De manera que la solución general de (2) es

Y = Yp + Yc

(7)

Usando las condiciones (,3) en (7) encontrarnos que

o

De donde c1 = c 2 = O.

Así

y

16~ + 20 sen z + 128 sen 2z _ 88 sen 3x

s s(82+5) s2+17 s2+37

Entonces tomando la transformada inversa de Laplace encontramos la solución buscada

Y(x, t) 16~ + 4senz(l-cosV5t) + 12sen2xcosY17t- 8sen3zcosV3'ft

Problemas propuestos

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Resolver cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes usando transformadas de

Laplace y verificar las soluciones.

32. Y"(t) + 4Y(t) = 9t, Y(O) =O, Y'(O) = 7. Rew Y(t) 3t + 2 sen2t

33. Y"(t)- 3Y'(t) + 2Y(t) = 4t + 12e-•, Y(O) = 6, Y'(O) = -1.

Re~p.

Y(t) = 3et- 2e2t + 2t + 3 + 2rt

•

CAP. 3]


103

34. Y"(t) - 4Y'(t} + 5Y(t) = 125t', Y(O) = Y'(O) =O.

Re.w Y(t) = 25t2 + 40t + 22 + 2e2t (2 sen t - 11 cos t)

35. Y"(t) + Y(t) = 8 eost, Y(O) = 1, Y'(O) =-l.

Rew Y(t) =- cos t - 4--senT-:f>4t_cos t

.,

\

36. Y'"(t)- Y(t) = e', Y(O) =O, Y'(O) T O, Y"(O) = O.

Re.~p. Y(t) = 't~et + he-llat { 9 cos v; t + 5 ~ sen v; t} - tet

37. Y''(t) + 2Y"(t) + Y! ti = "'" t, Y(O) = Y'(O) ~ Y"IO) = Y'"(O) = O.

Resp. Y(t) = i{(3- t 2 ) sen t - 3t cos t}

38. Hallar la solución general de la ecuación diferencial de:

(a) problema 2, Pág. 82. (b) problema 3, Pág. 83. (e) problema 6, Pág. 84.

Res p. (a) Y c 1

et + c 2

e~t + 4téU (e) Y =

(b) Y

= e-t (c 1

sen 2t + c 2 eos 2t) + ;\-e-t sen t

1

cysen 3t + c 2 COS 3t + t COB 2t

1

39. Resolver Y"(t) + 9Y(t) = 18t si Y(O) = O, Y(v/2) ::::: O. Resp. Y(t) = 2t + rr sen St

40, Resolver Y 1 "(t) - 16Y(t) = 30 sen t si Y(O) =O, Y'(O) = 2, Y"('11") =O, Y"'('ll") = -18.

Res p. Y = 2(sen 2t - sen t)

41. Resolver Y"- 4Y' + 3Y = F(t) si Y(O) = 1, Y'(O) ::: O.

r Resp. Y ...o ~et - ~e~t + t (ea"- e") F(t- u) du

."

42. Resolver la ecuación diferencial

donde

Resp.

F(t) =

{

~1 O<t<1

O

t > 1

Y"+ 4Y

F(t), Y(O) ~ O, Y'(O) = 1

Y(t) ::: i sen 2t + !{cos (2t- 2) - cos 2t} para t > 1

y Y(t) ::: -?J sen 2t + !(1 - cos 2f) para t > 1

43. Resolver el problema 42 si: (a) F(t} = ti (t- 2), [función escalonada unitaria de Heaviside]; (b) F(t) = c'i(t),

[función delta de Di rae); (el F(t) = c'i (t - 2).

Re.~p (a) Y(t) ~ sen 2t si t < 2, !sen2t + -!{1 -- cos (2t- 4)} si f > 2

(b) Y(t) sen 2t, t >o

(e) Y(t) -~ sen 2t si t < 2, !{sen 2f +sen (2t- 4)}2 si t > 2

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINAIUAS CON COEFICIENTES VARIABLES

Resolver cada ecuación utilizando transformadas de Laplace y comprobar las soluciones.

44. Y" + t.Y' - Y ::::: O, Y(OJ =-O, Y'(O) ::::: l.

45. tY" + (1- 2t)Y'- 2Y ~ O, Y(O) = 1, Y'(O) = 2.

46. tY" + (t- 1)Y'- Y ::::: O, Y(O) ::: 5, Y(.,;,) = O. Resp. Y= 5c-t

47. Hallar La solución acotada de la ecuación

t2Y" + tY' + (t2 -l)Y

con la hipiltesis Y(l) 2. Resp. 2J (t)/J (1)

o

•


(CAP. 3


••• Resolver Y'+ 2Z' = t

con las condiciones Y(O) = 3, Y'(O) = -2, Z(O) = O.

{ Y"- Z = e-t

Res p.

49. Resolver

Resp.

50. Resolver

Y

= 2 + !t% + !e-t -jsent + !cost,

Y'- Z'- 2Y + 2Z = sen t

{ Y"+2Z'+Y =O

\\

·.

si Y(Ü) = Y'(O) = Z(O) \ = O.

Y = .¡-e-t + -Ae2t - ! cos t - f sen t + tte-t, Z

X' + 2Y" = e-t

{ X'+2X-Y=1

,¡ X(O) = Y(O) = Y'(O) = O.

Resp. X= t+e-t-e-(lt-e-t>t, Y::: l+e-t-be-at_ae-bt donde a.= }(2-Y§), b = !(2+\Í2)

51. Re•olvo< el p.oblema 49 con lao condkion" Y(O) = O, Y'(•) = 1, r~~---.

52. Resolver {tY + z + tZ' = (t- l)e-t

Y'- Z = e-1

Resp.

Y= J 0 (t), Z = -J 1 (t)- e-t

dado que Y(O) = 1, Z(O) == -1.

53. Resolver

Resp.

-3Y" + 3Z" = te-t- 3 cos t

dado que Y(O) = -1, Y'(O) = 2, Z(O) = 4, Z"(O) =O.

{ tY" - Z' = sen t

Y = j-t2 + ft- f- !e-t, Z = ft2 + i + !rt + tte-t +coa t

54. Hallar la solución general del sistema de ecuaciones del problema 49.

&sp. Y

= c 1 + c 2

sent + c 3 cost + .¡tt + }e-t

Z 1- c 2 sent- c~coat- .¡e-t


55. En referencia a la Fig. 3-1, Pág. 79, supóngase que sobre una masa m está actuando una fuerza 'f (t), r > O y

que no hay fuerzas amortiguadoras.

(a) Demostrar que si la masa parte del reposo a una distancia X = a del punto de equilibrio (X = O), entonces

se puede determinar el desplazamiento X en cualquier tiempo r > O de la ecuación del movimiento

mX" + kX = 1'(1), X(O) = a, X'(O) = O

donde las tildes denotan derivadas con respecto a t.

(b) Hallar X en cualquier tiempo si f(t) = F 0 (constante) para t > O.

(e) Hallar X en cualquier tiempo 'f(t) = F 0 e-ttt donde a> O.

Resp. (b)

(e)

X

X

a+: 0 (t-cos#t)

F,

a+--- (e-ttt- eos..¡¡¡¡;mt) +

mrt2 +k

aF,v'iñfk .r=::

ma!+k senvklmt

56. Desarrollar el problema 55 si 1'(t) = Fosen wt, considerando los dos siguientes casos: (a) w +..¡¡¡¡m, (b)

w =..¡¡¡¡m.. Discutir el significado flBico en cada caso.

67. Una partícula se mueve sobre una recta en tal forma que su desplazamiento X desde un punto fijo O, está dado

en cualquier tiempo t por

X"(t) + 4 X(t) + 6 X(t) = 80 •m6t

•


(a)

Si cuando

t >o.

t = O la partícula está en el reposo en X = O, hallar su d~lazamiento en cualquier tiempo

~/

(b) Hallar la amplitud, el período y la frecuencia del movimiento des,PÜés de un largo tiempo.

(e) En el resultado de (a) ¿cuál es el término transitorio y cuál es e/ término permanente'?

(d) ¿Es este movimiento sobreamortiguado, críticamente amortigufio o es oscilatorio amortiguado?

Resp. (a) X(t) =

2e-2t (cost + 7sent)-2(sen5t + cos5t)

( b) Amplitud = 2 v"Z, periodo = 2 vf5, frecuencia = 5/2 7T

(e) Término transitorio 2e-2t (cos t + 7 sen t); término permanente -2(sen 5t + cos 5t)

(d)

Es oscilatorio amortiguado.

58. Supóngase que, en t = O, la masa m de la Fig. 3-1, Pág. 79, está en reposo en su posición de equilibrio X = O.

Supóngase además que súbitamente se le aplica una fuerza que le comunica una velocidad instantánea Vo dirigida

hacia la derecha, fuerza que luego se quita. Demostrar que el desplazamiento de la masa de su posición de

equilibrio es en cualquier tiempo t > O,

(a)

(b)

si no hay fuerza amortiguadora

v,

-c-fW2m

donde

• > = ~~-!,

si hay una fuerza amortiguadora de magnitud tJX' ( t ), donde f1 < 2Vkiñ,.

59. Desarrollar el problema 55 si: (a) 1(t) = F 0

'U(t- T), [función escalonada unitaria de Heaviside] (b) :f(t)

= F 0

a (t- T) [función delta de Dirac). Discutir el significado físico en cada caso.

Resp. (a) X aF 0 cos y¡¡¡m t si t < T y

X aF 0 cosVkhñt + (Fofk){l e<nn/klm (t- T)} si t > T

(b) X aF 0 cos Vk!m t si t < T y

X

aF, ros Vkhñ t + (F,J.[kiñ) '''" Vkhñ (t- T) si t > T

60. Supóngase que, en t =O, la masa m de la Fig. 3-1, Pág. 79, está en reposo en su punto de equilibrio y que se

le aplica una fuerza F 0 3(t ), Hallar el desplazamiento en cualquier tiempo t > O si (a) el sistema no es amortiguado,

(b) el sistema es críticamente amortiguado. Discutir el significado físico en cada caso.

&sp. (a.)

F, .r.c=

~~ sen y k/m t,

,¡¡¡m

F,

(b) mt e-JJtl2m

tll. Desde la superficie de la Tierra se lanza hacia á'rriba una bola de masa m con una velocidad V o. Demostrar que

alcanza una altura máxima igual a V~ J2g donde g es la aceleración debid11 a la gravedad.

62. Una masa m se mueve sobre el eje x bajo la influencia de una fuerza que es proporcional a su rapidez instantánea

y de dirección opuesta a la dirección del movimiento. Suponiendo que cuando t = O la partícula está localizada

en X = a moviéndose hacia la derecha con una velocidad V 0 , hallar la posición en la cual la masa está

en reposo.

63. Una m<isa se mueve sobre el plano xy en tal forma que su posición (x, y) en cualquier tiempo está dada por

X" + k~ Y O, Y" + k~ X O

Si en el tiempo t = O la partícula sale del reposo en (a, b), hallar su posición en cualquier tiempo t > O.

Resp. X

ak,- bk,)

(

2 k 2

cosh Vk 1 k 2 t

•

106

APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES (CAP. 3

APLICACIONES A LOS CIRCUITOS ELECTRICOS

64. Se conectan en serie una resistencia de R ohmios y un condensador

de C faradios con un generador de E voltios [véase la

Fig, 3-17]. En t = O la carga del condensador es cero. Hallar

la carga y la corriente en cualquier tiempo t •> O si: (a) E = Eo.

constante. (b) E= E o e-at, a> O.

Resp. (a) Q = CEo(l - e-t/RC), 1 = (EofR)e-tiRC

r-t----{E)----,

e

(b) Q

CE 0 --- (e-at- e-tJRC),

1-aRC

CE0 (e-t!RC _ -at)

I = 1-aRC RC ae

ai a'#- 1/RC

Fir.S-17

65. Desarrolar el problema 64 en el caso en que E = Eo sen .,¡t y la carga del condensador sea Qo.

Q {

wEo }-URC Eo{blCOswt-(1/RC)senwt}

Resp. Oo + R(~o>2 + 1fR2C2) e - ]f w2 + 1fR2C2 ' 1

dQ/dt

66. Un inductor deL henrys y un condensador de C faradios están conectados en serie con un generador de E voltios.

En t = O la carga del condensador y la corriente del circuito son nulas. Hallar la carga del condensador en

cualquier tiempo t >O si: (a) E= EfJ constante; (b) E= Eoe-"t, a> O.

Rew (a) Q = CE 0 {1 - cos (t/VLC)}

(b)

Q

E, . r;r; aE ,VCJL . """

L(a 2 +l/LC){e-" 1 -cos(t/vLC)} + aZ+l/LCsen(t/vLC)

67. Desarrollar el problema 66en el caso E= Eo sen <oJt, discutiendo los casos (a) w -F 1/ vTC y (b) w = lj-..rt:C,

explicando el significado físico.

68. Desarrollar el problema 66 si E(t) es (al EfJ tdt ....-a) donde u(t- a) es la función unitaria escalonada de Heaviside,

(b) E 0

1i (t) donde S(t) es la función delta de Dirac.

Resp. (a) Q = O si t < a, y CEo{ 1- cos cz;)} si t >a

(b) Q = E 0 VCJL "'n (t/VLC)

69. Un inductor de 3 henrys está en serie con una resistencia de 30 ohmios y una f.e.m. de 150 voltios. Suponiendo

que en t = O la corriente es cero, hallar la corriente en cualquier tiempo t > O. Re.~p. 1 = 5(1- e-10!).

70. Resolver el problema 69 si la f.e.m. es 150 sen 20t. &sp. l = sen 20t - 2 cos 20t + 2e · tOt

71. Hallar la carga del condensador y la corriente del circuito

¡Fig .• 3-18] en cualquier tiempo después de cerrada la

llave en t = O. Supóngase que L, R, e, y E son constantes

y que la carga y .la corriente valen cero cuando"t = O.

Tratar todos los casos.

72. (a) Desarrollar el problema 71 si E = E o sen wt.

(b)

(e)

Demostrar que hay resonancia si ¡¡) ::::: _/'_L_l_C_-

2 -~-:-,,.

Discutir el caso R =O.

"\J

R

Fig. 3-18

73. Un circuito eléctrico consta de un inductor deL henrys en serie con un condensador de e faradios. En t = O se

aplica una f.c. m. dada por

O< t < T

E(t) =

0

t > T 0

Suponiendo que la corriente y la carga del condensador son nulas en r = O, hallar la carga en cualquier tiempo

t >o.

•

CAP. 3}


107

Resp. Q

y i/

i

si

VIC "" vk} t\>

T

74. En el circuito eléctrico de la Fig. 3-19 tenemos que:

E=500sent

Rt = 10 ohmios

R 2 = 10 ohmios

L = 1 henry

e= 0,01 faradio

Si la carga del condensador y las corrientes 1 1 e 1 2 son

nulas en t = O, hallar la carga del condensador en

cualquier tiempo t > O.

Resp. Q = sen lOt ~ 2 cos lOt+e-tOt(sen 10t+2 cos lOt)

e

Fig. 3-19

I,

R,

APLICACIONES A LAS VIGA_¡;;

75. Una viga sostenida en sus extremos x = O y ::e = l soporta una carga uniforme Wo por uni4ad de longitud. Demostrar

que la deflexión en cualquier punto es Y(<) ~

Wo x2(l- x)2

24EI

76. Desarrollar el problema 75 si la viga está empotrada en el extremo :e = O y articulada en el extremo x = l.

77, Una viga en voladizo, empotrada en x = O y libre en x =- l, soporta una carga uniforme W por unidad de

Wox2 •

longitud. Demostrar que la deflexión ea Y(x) = EI (z2- 4lx 24

+ 6P).

78. Una viga cuyo .. extremos están articulados en x = O y x = l tiene un11 carga dada por

Hallar la deflexión.

W(•)

{~.

O<::e<l/3

l/3<x<l

79. Una viga en voladizo, empotrada en x =O y

Demostrar que la deflexión está dada por Y(x)

libre en x = l, soporta

Pox2

GEl (3l ~ x).

una carga concentrada P 0 en x = l.

80. Desarrollar el problema 79 en el caso en que la carga esté en x = lj2.

81. Una viga tiene sus extremos articulados en x =O y x = l. Si en x = l/2 actúa verticalmente hacia abajo

una carga concentrada P 0 , demostrar Que la deflexión es

Y(x)

O<x<l/2

Para 1/2 < x < l, la deflexión se obtiene por simetría o rempla:r.ando x por l ~x.

82. Desarrollar el problema 81 para el caso en que la viga esté empotrada en sus extremo~.

83. Una viga tiene sus extremos articulados en x = O y x = l. En el punto x = lj3 actúa verticalmente hacia

abajo una carga concentrada P 0 • Demostrar que la deflexión está dada por

Y(x)

P 0

x(5l 2 - 9x2) P 0

SI E/ + 6El (<- l/3)' "U(•- 113)

•

1

!OH


[CAP. 3

84.

lma viga tiene su¡; extremos articulados en x = O y x = l. La viga s?porta una carga uniforme Wo por unidad

de longitud y tiene,- adem3s. una carga concentrada P 0 que act\fu en x = 1/2. (a) Hallar su deflexión.

(b) Discutir la forma en que puede obtener»e la solución de (a) d. partir de los problemas 18 y 81. Exolicar.

85.

Una viga cuyos extremos están empotrados en x = O y x ~ ! sopo~ta una carga W(x) por unidad de longitud

dada por

W(z)

y además una carga concentrada en x = 1/3.


au

rlzu

86. Resolver Tt = 2 ~,

{~ox 1

o < x duz

'

ll2<x<l

1

Hallar su d~flexión.

\

\ ·.

U(O, t) = O, U(5, t) = O, U(x, 0) i JO sen 4!r:~:.

87. Resolver el problema 86 si U(x, Ol = 10 sen 4JTX- 5 sen iivx.

Resp. U(x, t) = 10 e-32Tr't sen 4?r::r: - 5 e-72rr 1 t sen 61r::r:

88.

a• Y

Resolver ~

Rf'.~P- Y(::r:, t)

a'Y ::: 9 ax

2

, Y(O, t) =- O, Y(2, t) = O, Y(x, 0) ""' 2Q sen 21l'X- 10 sen 5ft'x.

20 sen 2TTX c:os 61Tt - lO sen &!r::r: cos l&!rt

89. Interpretar físicamente (a) el problema 86, (b) el problema 87, (e) el problema 88.

90. Resolver

¡¡¡ au ::: 3

a2u

ax 2

, U,.,(O, t) = O, U(TT/2, t) = O si:

(a) U(x, O) = 30 cos 5x, (b) U(x, 0) = 20 cos 3"X --5 cos 9x.

20 e-21t cos 3x - 5 e-z.t.st cos 9x

Resp. (a) 30 e-75~ cos 5:'1:, (&) U(::r:, t)

91. Hacer uha interpretación física del problema 90.

92. (a) Hallar la solución ?e ¡:¡a~::: ~x~ -4U, U(O, t) = O, U(IT, O

O, U(x, 0) -= 6 sen x- 4 sen 2x.

(b)

Dar una posible interpretación física de la solución.

Re.~p (a) U(x, t) = 6e-St sen x-4e-81 sen 2x

93. Resolver

a¡2 ¡:¡2y

= 16

iJ2Y

ax

2

, Yx{O, t) = 0, Y(3, t) ::: 0, Y(x, 0} ::: O, Yt(x, 0) = 12coS'I!':t' + 16 cos 3TTX- 8 cos

5JTX,

Re.~p. Y(x, t) = 12 cos 1TX sen4r.t + 16 cos 3JTX sen 121l't - 8 cos 61rX sen 201l't

94. Dar la solución acotada Y(x, t), O < x < 1, t > O del problema de contorno

R('.w Y(x, o= x + 1-e-t

aY

ax

aY

at

Y(x,O) = x

95. Resolver la ecuación

x>O,t>O

sujeta a las condiciones

Y(O, t) = 10 sen Zt, Y(x, O) = O, Y t (x, O) O, lim Y(x, t) o

·-- --·-------~~-----------"

•

CAP. 3]


109

PROBLEMAS VARIOS

96. Mostrar que la solución de la ecuación diferencial

Y"(t)l- k"- Y(t)

\

sometida a que Y(O)..,.., ay que Y'(O) = b,es:

F(t)

Y(f) a cosh kt + (b/kz senh kt + -¡;: 1 f' F(u) senh k(t- u) du

. '

97. Resolver yiv(tl + Y"'{l) = 2 sen l, Y( O)= Y'(O) =O, Y"(O) = 1, Y'"(O) .,.., -2.

R,•,p. Y = 0\f' - 2 + ,-' + "" t + co' t "·"\.

\ .

98. Hallar la solución general de la ecuación diferencial del probleffiiii/45.

Re~p. Y(t)

J . c-2t

c 1 e~H -,-dt + c 2 eu

99. Hallar la solución de la ecuación

tY"- (t+2)Y' + 3Y t- 1

la cual tiene transformada de Laplace y es tal que Y(O) = O.

100. ¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial del problema 99?

101. (a) Usando transformadas de Laplace demostrar que la solución de

(b)

d2Y

(ii2 + k2Y A cos <JJt, Y(O) = a, Y'(O) = ~

es Y(t) A (~os <JJt - cos kt) + ll: cos kt + ( ntk) sen kt.

(JJ2 k2 ,...

Dar una interpretación física a la parte (n) del problema.

X'+ Y' Y+ Z

102. Resolver para X: Y'+ Z' = X+ Z

{

X'+Z'=X+Y

siX(O) = 2, Y(O) = -3, Z(O) = 1.

¡,-,, {3 co' (y:i t/2) - zv'a "" (y'a t/21}

103. Desarrollar el problema 29 haciendo Y = VY 1. donde V es una nueva variable dependiente.

104. Es posible aplicar d método de las transformadas de La place para encontrar la solución general de

Explicar.

Y" + y ;;;: Se(' t

105. (a) Hallar la solución acotada de

(t- !)Y" + (5- 4t)Y' - 4Y O

talque Y(O) =O. (b) ¿Cuáleslasoluciónde(a)?

Resp. (a) Y::::: 3e4t,

•

110 APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFF.:RENCIALES

[CAP. 3

106. (a) Demostrar que l(t)

(b)

satisface la ecuación diferencial

dl_ 1

dt

Resolviendo la ecuación diferencial de {o), demostrar que

J(t)

! et fcer ..¡t

2

107. Sobre una partícula que se mueve en una recta (el eje x) actúa una fuer~ de repulsión que es proporcional a su

distancia instantánea de un punto fijo ()de la recta. Si se coloca la part~ula a una distancia a de O y se le comunica

una velocidad de magnitud V o dirigida hacia O, encontrar la ffii.nima distancia a que puede aproximarse

a O.

108. Si la bola del problema 61 encuentra una resistencia del~flTOporcional a su velocidad instantánea, demostrar

que la máxima altura que puede alcanzar es

~......._

donde k es una constante de proporcionalidad.

m

¡¡{kV0 + mo- kg)

109. En el circuito de la Fig. 3-18, Pág. 106, supóngase que la f.e.m. E es una función de t y que L, R, y C son constantes.

En el instante t = O en que se cierra la llave K, supóngase que la carga Q del condensador y la corriente 1

valen cero. Demostrar que si R2 < 4L,I C, entonces la corriente en cualquier tiempo t > O estará dada por

~2g-

--¡¡z

\

l(t)

donde a = VliLC R2/4L2.

~ it E(t- u) e-Ru/2L (cos au - __!!__sen au) du

l, o 2La

110. Desarrollar el problema 109 si (a) R2-;:::: 4L/C, (b) R2 > 4L/C.

111. Presentarlmalogíasmecánicascon; (a) el problema 64, (b) el problema 66, (e) el problema 71.

112. Dar una analogía eléctrica con (a) el problema 55,

(b) el problema 57.

1(t)

113. Dar una analogía mecánica con el problema 74 en

la cual aparezcan masas conectadas por resortes.

114. Una partícula de masa m se mueve sobre el eje x

bajo la influencia de una fuerza 'f(t ), tal como f..e

indica en la Fig. 3-20. Si la partícula parte del reposo

en t = O, determinar su posición y su velocidad

en cualquier tiempo t > O.

Fig. 3-20

T

115. Una viga empotrada en x =O y x = l soporta una carga concentrada P 0 en el punto x = (l, donde O< a < l.

Mostrar que la detlexión es

P 0 z2(l- a)2

Elf" {3al- (2a + l)x}

6

Y(•)

r

P 0 x2(l ~ a)2

BEJ[3 {Sal- (2a + l)x}

l

+ P 0 (x-a)3

6El

O<x<a

a<x<l

116. Desarrollar el problema

¡

lHi en el caso en que la viga esté empotrada en x =O y libre en x = l.

~;,;'; 2 (3a- <) O<:r<a.

Resp. Y(x) :::::

Poa2

6 EJ (3x- a) a<x<l

•

CAP. 3]


111

117. Una viga que está articulada en x

llar la deflexión.

Ú y X

1 soporta cargas concentradas P 0 en x

lj3 Y X 2lj3. H11-

118. Si una viga que soporta una carga W( x) por unidad de longitud reposa sobre un soporte elá.~tico, la ecuación diferencial

de su deflexión es,

d'Y

El dx 4 + kY W(x]

donde k se llama la constante elástica del soporte. Supóngase que dicha viga, empotrada en sus extremos x = O

y x = l, soporta una carga uniforme Wo por unidad de longitud. Demostrar que el momento tlector en x = O

est!i dado por

donde a = :¡k/4EI.

Wo (~nhal- senal·)··~--

2a senh al + sen al

119. Dos circuitos eléctricos, llamados primario y secundario,

están acoplados inductivamente como se

muestra en la Fig. 3-21.

(a)

Si M es la inductancia mutua, demostrar que

las corrientes 1t e 1?. están dadas por

E

= o

( b) Si las corrientes[¡ e 1 2 de los circuitos son nulas

en el tiempo t = O, demostrar que para

cualquier tiempo t > O estarán dadas por

I, =

EL2 ( e"'1t - e":l)

L 1 L 2 - M 2 « 1 11 2

Fi1. 3-21

E

+ R,

I,

donde O"l y a 2 son las raíces de la ecuación

120. Discutir el problema 119 en el caso Lt Lz""' M2.

•

Capítulo 4

ECUACIONES INTEGRALES

Ecuación integral es aquella que tiene

forma

Y(t)

/<'(t) + J' K(u, t) Y( u) du

'

donde F(t) y K(u. t) son conocidas, a y b son constantes dadas o funciones de t, y la función

Y(t) que aparece bajo el signo integral es la que se trata de determinar.

La función K (u, t) se Barna el núcleo d~ la ecuación integral. Si a, b, son constantes, la

ecuación se llama ecuación integral de Fredholm. Si a es constante y b = t, se llama ecuación

integral de Volterra.

Es posible transformar una ecuación diferencial lineal en una ecuación integral. Véanse

los problemas 1-3 y 25.

(1)

ECUACIONES INTEGRALES DE TIPO CONVOLUTORIO

Una ecuación integral de singular importancia por sus aplicaciones es

Y(t)

F(t) + .( K(t- u) Y( u) du

(2)

Esta ecuación es de tipo convolutorio y puede escribirse como

Y(t)

F(t) + K(t) • Y(t)

Tomando la transformada de Laplace a ambos lados y suponiendo que existen .,e lF(l )1

{(>)y ,CiK(t)i ~ k(s), encontramos que

y(s) = f(s) + k(s) y(s) o y(s) = ~L

1 - k(s)

La solución requerida puede encontrarse tomando inversas. Véanse los problemas 5 y 6.

112

•

CAP. 4) APLICACIONES A LAS ECUACIONES INTEGRALES Y DE DIFERENCIAS 113

ECUACION INTEGRAL DE ABEL. PROBLEMA DE TAUTOCRONA

Una importante ecuación integral de tipo convultorio es la ecuación integral de AbeL

í' Y(u) du

J, (t-u)•

G(t)

donde G ( t) es dada y a es una constante tal que O < a < l.

Una de las aplicaciones de la ecuación integral de Abel es la de determinar la forma que

debe tener un alambre sin rozamiento, en un plano vertical, para que una cuenta ensartada

a él llegue a su punto más bajo en el mismo tiempo T independientemente del sitio del alambre

en el cual se coloca la cuenta. Este problema se llama el problema de la tautócrona y, como

se mostrará más adelante, la forma del alambre es la de u~a cicloide {véanse los problemas

7-9]. \

ECUACIONES INTEGRO-DIFERENCIALES

Ecuación integro-diferencial es aquella en la cual se presentan derivadas de la función

incógnita Y(t). Por ejemplo /

Y"(t)

í' /

Y(t) + sent + J .. ,tos (t-u) Y(u) du

'1

es una ecuación integro-diferencial. La solución de dichas ecuaciones, sometidas a condiciones

iniciales dadas, frecuentemente puede obtenerse mediante transformadas de Laplace [véase

el problema 10].

\

1

(3)

(4)

ECUACIONES DE DIFERENCIAS

Una ecuación que relaciona la función Y(t) con una o más funciones Y(t- a). donde

a es una constante, se llama una ecuación de di/erencia-<t.

Ejemplo. Y(t)- 4 Y(t- 1) + 3 Y(t- 2) =

tes una ecuación de diferencias.

En múltiples aplicadones se puede formular una ecuación de diferencias de la cual pretendemos

que la función incógnita Y( t) resulte sometida a ciertas condiciones prescritas. La

determinación de esta función, es decir la solución de la ecuación de diferencias, frecuentemente

puede hacerse mediante el uso de la transformada de Laplace. Véase el problema 11.

Ciertas ecuaciones de diferencias en las cuales están relacionados los términos de la

sucesión a 0 , a 1 , a:h por ejemplo a,+Z -~- 5an+l + 6a, = O donde a 0 =O, y a 1 = 1, pueden

resolverse mediante transformadas de Laplace. Véanse los problemas 18, 19 y 24.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE DIFERENCIAS

Una ecuación diferencial de diferencias es una ecuación de diferencias en la cual se presentan

derivadas de la función Y(t). Por ejemplo,

Y'(t) Y(t -1) + 2t (5)

es una ecuación diferencial de diferencias. Véase el proOlema 12 .

•

114 APLICACIONES A LAS ECUACIONES INTfo:G"RALF.S Y DE DIFERENCIAS [CAP. 4

Es posible encontrar también ecuaciones integro-diferenciales de diferencias, las cuales

son ecuaciones diferenciales de diferencias en las cuales la función incógnita ap3.rece bajo

el signo integral.

ECUACIONES INTEGRALES

1. Transformar la ecuación\)

Y"(t) -

en una ecuación integral.

Método l.

Problemas resueltos

3Y'('t) + 2Y(t)

·,

4 sent, Y(O)

1

1, Y'(()) = -2

/

/.

/

Sea Y" (t) = V(f ). lJ¡;¡anclo el problema 2~, Pág. fi7, y laHondiciones Y'(O) == 2 y Y( O) = 1,

Y'(t) = ft V(u) du - 2,

Asi, la ecuacit'ln diferencial se convierte en

'

Y(t) ::: j•t (t-u) V(u) du - 2t + 1

o

V(t) - 3 .f V(u)du + 6

"

de ta cual obtenemos

Método 2.

+ 2 Jt (t-u) V(u) du

o

- 4t + 2 =

V(t) 4 sen t + 4t - 8 + Jt {3 - 2(t- u)} V(u) du

o

Integrando los dos miembros de la ecuación diferencial obtenemos

4 sen t

~( {Y"(u) - 3Y'(u) + 2Y(u)} du Jt 4senudu

o

o sea Y'(t) - Y'(O) - 3Y(t) + 3Y(O) + 2 r

Utilizando las condiciones Y'(O) = 2 y Y(Ol = 1,

Y(u) du 4-4cost

• o

Y'(t) - 3Y(t) + 2 S,' Y(u) du -1- 4cost

Integrando nuevamente de O a t obtenemos

Y(t) - Y({}) - 3 fot Y(u) du + 2 ~~ (t-u) Y(u.) du -t- 4sent

o sea i'(t) + J' {2(t- u) - 3} Y(u) du

'

1 - t - 4 sen t

•

CAP. 4] APLICACIONES A LAS ECUACIOJ\"I'~S INTEGRALES Y DE DIFERENCIAS ll5

2. Convertir la ecuación diferencial

Y"(t) + (1- t) Y'(t) + e-' Y(t) t:l - 5t, Y(O) -3, Y'(O) = 4

en una ecuación integral.

Método l.

Haciendo Y"(tJ = V(t) y usando Y'(O) = 4, Y(O) ..,., ~3 tenemos, como en el problema 1, método 1, que

Y'(t) = fut V(u) du + 4, Y(t) = j~t (t ~u) V(u) du + 4t - S

Asi, la ecuación diferencial se convierte en

V(t) + (1- t) .(t V(u) du, + 4(1- t) + e- 1 j~t (t-u) V(u) du + 4t e-t - ae-t t' ót

que puede escribirse

Método 2.

V(t)

t3- t- 4 + 3e--t- 4te-t + Jt {t-1-e-t(t-u)}V{u)du

o .

Siguiendo el método 2 del problema, al integrar los dos miembros de la ecuación diferencitü,obtenemos

j ., i' ('

·' ·¡

Y"(u) du + ,_ (1 -~u) Y'(u) du + J .. e- 11 Y(u) du = j (u3-5u)~~

o J.!._ 1}

Integrando por partes la segunda integral encontramos que

o 1

es decir,

Y'(t) -

Y'(O) + {11- u) Y. (u) 1' + J' Y(u] du f

/ o o _j

+ f' e-u Y(u) du

o

Y'(t) - Y'(O) + (1- t) Y(t) - Y(O] + i' Y(u) du + J' ,-" Y(u) du

o • o

o sea Y'(t) + (1- t) Y(t) + r Y(u)

• o

du + f' ,-"Y( u) du =

• o

" 4

5t2

2

,.

4

,,

4

+ 1

5t2

2

5t'

2

Otra integración de O a l nos da

Y(t) - Y(O) + [' (1- u) Y(u) du + J

lo cual puede escribirse como

,, f.'

(t-u:) Y(u) du +

• o • (j o

J .,

Y(t) +

• o

{1 + t - 2u + (t-u) ,-•¡ Y(u] du

(t-u) e-u Y(u) du

,,

20

=

3. Expresar como una ecuación integral la ecuación diferencial

Y"(t) - 4Y'"(t) + 6Y"(t) - 4Y'(t) + Y(t) 3 cos 2t

bajo las condiciones Y(O) = -1, Y'( O) = 4, Y"(O) = O, Y"'( O) = 2.

Método l.

Sea Y 1 v(t) = V(t). Entonces, como en los problemas 1 y 2,

Y"'{t) = Jt V(u) du + 2,

o

(t-u) 2

Y"(t) = J r' ..

o

(t-u) V(u) du + 2t

Y'(t]

J' - 2 ! V(u) du + t2 + 4, Y(t) 4t - 1

o

•

116

APLICACIONES A LAS ECUACIONES INTEGRALES Y DE DIFERENCIAS (CAP. 4

Sustituyendo la ecuación diferencial dada, ést.a se transforma en

V(t) ~ 25 - 16t + 4t' - tt' + 3 cos 2t + J' (4 - 6(t- u) + 2(t-u)'- !(t-u)'} V( u) du

•

Método 2.

Integrando sucesivamente de O a t, como en los segundos métodos de los problemas 1 y 2, obtenemos la

ecuación integral

Y(t) -f.' {4- 6(t- u) + 2(t- u)' -Jt(t- u)'} Y(u) du

19+ 81it'+5"+" 2

- 16 8t - -8- v 16 coa t

Tanto esta ecuación integral como las obtenidas en los problemas 1 y 2 son ecuaciones de Volterra; los límites

de integración son O y t. En general, este tipo de ecuación integral proviene de ecuaciones diferenciales

lineales en las cuales las condiciones se establecen sobre un solo punto. El problema 25 es ejemplo de

ecuación integral de Fredholm que proviene de ecuaciones diferenciales lineales en las cuales se dan condiciones

sobre dos puntos.

4. Convertir la ecuación integral

Y(t)

= 3t- 4- 2,.nt +J.' {(t-u)'-3(t-u)+2}Y(u)du

en una ecuación diferencial.

Mediante la regla de Leibnitz.

d fb(t)

¡¡¡ K(u, t) du

a<t)

~

f

b(O aK

aW

-du

iJt

db

+ K{b(t),t}dt

d4

K{<l(t), t) dt

(I)

Al derivar los dos miembros de la ecuación integral dada,

Y'{t) :::: 3 - 2 cos t + ~C 2(t- u) Y{u) du - 3 fot Y( u.) du + 2Y(t)

(2)

Una nueva derivación da,

Y"(t) 2 sen t + 2 Jt Y(u) du - 3Y(t) + 2Y'(t)

o

y una última derivación produce la ewación diferencial requerida

Y"'{t) :::: 2_cos t + 2 Y(t) - 3 Y'(t) + 2 Y"(t)

(.3)

(4)

o

Y"' - 2Y" + 3Y' - 2Y 2 ... t

Al hacer t = O en la ecuación diferencial dada y en las ecuaciones (2) y (3), obtenemos las condiciones iniciales

Y(O) ~ -4, Y'(O) ~ -7, Y"(O) ~ -2

Nótese que las condiciones iniciales están contenidas en la ecuación integral.

Es posible convertir cualquier ecuación diferencial lineal en una ecuación integral. Sin embargo, no toda

ecuación integral puede convertirse en una ecuación diferencial, por ejemplo,

Y(t) :::: cos t + it ln (u+ t) Y(u) dtt

. .

•

CAP. 4] APLICACIONES A LAS ECUACiONES I]';TEGRALES Y DE DH'I!:H.ENCIAS 117


5. Resolver la ecuación integral Y(t)

La ecuación integral puede expresarse en la forma

t' + J' Y(u) ""(t-u) du.

Y(t) t2 + Y(t) • sen t

Tomando la transformada de Laplace y usando el teorema de la convolución encontramos que, si 11:::: .(._{Y},

'

resolviendo,

"'

y ~+

y

8 2 + 1

2(s 2 + 1) 2

+ 2

y --.-,- ... ....

de manem que y

2(;~) + 2(~) t' + 1

12 ..

Esto puede comprobarse mediante sustitución directa en la ecuación integral.

6. Resolver la ecuación integral ir Y(u) Y(t- u) du 16 "" 4t.

Esta ecuación puede escribirse en la forma

Y(t) • Y(t)

16 se~ 4t

Tomando la transformada de Laplace obtenemos

64

{y(s)}2 :::: s2 + I6

'

Entonces Y(t) .e• {y(s)J

•(•)

±8

v's2 + 16

± 8J 0 (4t)

Tanto Y(t) = 8J 0 (4t) como

Y(t) = -8 J 0 (4t) son soluciones.

ECUACION INTEGRAL DE ABEL. PROBLEMA DE LA TAUTOCRONA

7. Resolver J' _ ~ du

o vt-u

1 + t + t'.

La ecuación puede expresarse corno

Y(t),. t- 112

1 + t + t2

Tomando la lrnn~furmada de Laplace encontramlls que

o

y

y

y 1'(1/2)

~

.e {1 + t + t')

1 {1 1 2}

r(ll2) 8 112 + sJI:! + 8 :;12

•

118

APLICACIONES A LAS I!;CUACIONES INTEGRALES Y DR DIFERENCIAR

[CAP. 4

Invirtiendo,

y

1 J t-112 tli~

----+--

1'(1/2) l 1'(1/2) 1'(3/2)

1 (t-l/~ -f- 2tll'2 + ~t:IIZ}

•

t;~~ (3 + 6t + 8t2)

Esta ecuación integral es un caso particular de la ecuación intf'gral de Abel.

8. Una cuenta está condicionada a moverse

sobre un alambre sin rozamiento el cual

está en un plano vertical. Si la partícula

parte del reposo desde cualquier punto del

alambre y cae por la influencia de la gravedad,

encontrar el tiempo de descenso

hasta el punto más bajo del alambre.

Supóngase que la cuenta tiene una masa m y

parte del reposo desde el punto P de coordenadas

(u, v), como se muestra en la Fig. 4-L Sea Q, de coordenadas

(x, y), un punto intermedio del alambre y

supongamos que el origen O es el punto más bajo del

alambre, Sea a la longitud del arco OQ. Del principio

de la conservación de energía tenemos:

Flr. 4-t

Energía potencial en P+ Energia cinética en P = Energía potencial en Q + Ener(1El cinética en Q.

!mov + O

donde dr~/dt es la rapidez instantánea de la partícula en Q. Entonces

2g(v -y)

utilizando el hecho de que f1 decrece cuando t crece,

d.

dt

- y2g(v y)

(1)

El tiempo total empleado por la cuenta para ir desde P hasta O está dado por

T

CT dt

.J,

C" -da

.J, -v-=2=g (C::v:::O-=Y=:-1 f

#u~ y)

Cuando se da la forma de la curva, la longitud del arco puede expresarse en función de y y encontramos

que

De esta manera (2) se transforma en

T

d•

= F(y)dy

1 (' F(y) dy

.¡2{¡.J, yv-y

En general, Tes función de v, es decir, del punto de partida.

(2)

(3)

(4)

9. Hallar la forma que debe tener el alambre del problema 8 para que el tiempo en alcanzar

el punto más bajo sea constante, es decir, independiente del punto de partida.

En este caso tenemos que hallar F(y) tal que

T

_1_ J'' F(y) dy

o vv-y

..f2ij

(1)

•

CAP. 4]

APLICACIONES A LAS ECUACIOKES INTEGRALES Y DE DIFERENCIAS

119

donde 1' es una constante. Esta ecuación integral de tipo convolutorio es un caso particular de la ecuación integral

de Abel [véase la Pág. 113) y puede escribirse

F(y) • 11 -112

(2)

Tomando la transformada de La place y considerando que ,e {F(y)} .::::. /(s), ,.e {y-112} ::: r(f)lal/2 = ..,¡;¡ 8 112,

tenemos

ffgr y;

-,- = f(s) al/2

La transformada inversa de La place está dada por

/(8) =

F(y)

=

Como

da Vdx2 + dy2

dy --d-.--

tenemos que

Si hacemos

(3) se puede escribir como 1 + ( ~i) 2

b

y

o

o

~! + (~:)'

b

dx

(iij

2gT2

--;;>

/

(3)

(4)

puesto que la pendiente debe ser positiva. Al integrar dedu~imos que

(5)

Haciendo y =

b sen2 fJ esta fórmula puede escribirse

f bcos20 •2b senfJcosfJdfJ +e

b sen2 fJ

2bf cos2fJdfJ +e

b j~ (1 + cos 28) dtJ + e

b

2"(28 +sen 21) + e

Así, las condiciones paramétricas de la curva requerida son

b

z-(261 + sen261) +e, y ::: b sen2 1

b

2(1-cos2B)

Como la curva debe pasar por el punto x = O, y ....,. O, deducimos que e O. Entonces, haciendo

las ecuaciones paramétricas son

b

a - 2 y 2e

:e = a(~+ sen.;.), y = a (1 - cos .¡.)

Esta es la ecuación paramétrica de una cicloide [véase la Fig. 4-2]. Para una constante dada 1', el alambre

tiene la forma de la curva que se muestra en lu figura. La cicloide es el lugar geométrico de un punto fijo

de una circunferencia que rueda soi:Jre una recta dada [véase el problema 44] .

•

120 APLICACIONE.S A LAS ECUACIONES INTI<.:GRALES Y DE DIFERE~CIAS

jCAP. 4

y

p

Fig.4-%


lO. Resolver Y'(t) + 5 .f' cos 2(t- u) Y(u) du

Esta ecuación puede escribirse

'

10 si Y( O) = 2.

Y'(t) + 5 cos 2t "' Y(t) lO

Tomando la transformada de Laplace encontramos que

10

8

o sea que

Entonces, por el problema 44, Pág. 67,

y

2s3 + 10s2+ 8s + 40

82(s2 + 9)

1

y 27 (24 +. 120t + 30 cos 3t + 50 sen 3t)

Nótese que al integrar de O a t y al usar la condición Y(O) =

vertirse en la ecuación integral

2, la ecuación integro~difercncial puede con·

1

Y(f) + 5.{ (t-u) cos2(t-u) Y(u) du 10t + 2

ECUACIONES DIFERENCIALES Y DE DIFERENCIAS

11. Resolver 3Y(t) - 4Y(t- 1) + Y(t- 2) = t si Y(t) = O para t < O.

Tomando la transformada de Laplace en ambos miembros obtenemos

3 .( {Y(t)} - 4 .( (Y(t- 1)} + dY(t- 2)} .( {t) (1)

Ahora, .( {Y(t- 1)}

J

.• e-st Y(t-1) dt

.'

f"" e-~(u.¡.o

,-. ·"

J

Y(u) du jhaciendo t

. _, u + 1]

e-~~ Y(u) du + e-~ ["' e-·~u Y(u) du

. ' . "

•

CAP. 4]

APLICACIONES A LAS ECUACIONES INTEGRALES Y DE DIFERENCIAS

121

. "

'<'O

y J: {Y(t- 2))

e-st Y(t- 2) dt

j

[haciendo l - u + 2]

e-2~ Y

e-su Y(u) du + e 2s S" e-.<u Y(~t) d1(

'

Como Y(u) ~ O cuando u < O, tendremos que

f " e-su Y(u) du ;;::: O

'

.f ._'.,

y e-su Y(u) du

1

Entonces {1) se transfonna en 3y - 4c-sy + e -2sy

;;¡

y, además, y

1 )_1__ 1 1

2•'tt- ,-. a-· .-·J

_1_ f-1 -- ~---'1'---c=l

2s 2 ll - e-s 3(1 e sf3) J

1 +--" 1 < ( 1) ,-M

1---

3s2 2 ,~ 1 3" s 2

.

i

Entonces

y

! + !_ ~ (1-}.,)(t-n)

3 2 n-1 3

donde {t] es el mayor entero menor o igual a t.

12. Resolver Y'(t) + Y(t - 1) ~ t' si Y(t) ~ O para t "'O.

Tomando la transformada de Laplace en los dos miembros obtenemos

o( {Y'(t)} + o( {Y(t- 1)}

21"

(1)

Ahora,

J: {Y'(t))

8 o( {Y) - Y(O)

8y -

o

'"

y .1:. {Y(t- 1)}

f<'O e-st Y(t- 1) dt

o

f"" e-s(u + ¡¡ Y(u) du

'

,-,

J .,

.. ,

[haciendo t =

u + 1 J

•

122 APLICACIONES A LAS ECUACIONES INTEGRALES Y DE DIFERENCIAS

[CAP. 4

como Y(u) = O para u :§E O, tenemos que Jo e-.ru Y(u) du

_, O. Entonces (1) puede f:scribirse

o

y

2

s3(B + e •)

Desarrollando en serie, tendremos que

y

2

2

=

Ahora =

(!-n)•+~

(n+ 3)!

{

o

tE; n

de otra manera

Asi, si lt] denota el mayor entero menor o igual a t, encontramos que

Y(t)

2 ~ (t-n)n+S

n=o (n + 3)!

(2)

13. En el problema 12 hallar (a) Y(4), (b) Y(~).

(a)

Como [4] = 4, tenemos que

Y(4) =

2 .i, (4-n)n+3

n=O (n+3)!

28,62(aprox.)

(b) Como [v] = 3, tenemos que

Y(•)

~ (11'-n)•d3

2 n=O (n+3)!

12,12 (aprox.)

14. Si F(t) r" para n ~ t < n + 1, n = O, 1, 2, 3, , calcular.¡: (F(t)).

,e{F(t)} = i" e-" F(t) dt

o

=

f' e-•t.,.Odt + f 2 e-strldt + .{ 3 e-•tr2dt +

o ' 2

1- ,-. (e-'-·-") ('_,.- ·-••)

---+r +r2

8 8 8

+ ...

=

1 - e-• 1

--8- • 1- re-•

1- e-•

s(l re ~)

•

CAP. 4]

APLICACIONES A LAS ECUACIONES INTEGRALES Y DE OIFERF.NCIAS

123

15.

Calcular .e-• { 1 - e-• )} .

s(l- re ~

Por el problema 14 tenemos que -e-• { 1 - ,-. }

s(l re -•)

Otro método.

F(t)

paran~ t < n+l.

Tenemos que

1 - e-s 1

--,-·1-re-·s

1- e-~

-- 8

-(1 +re-s+ r2e-2.! + · · ·)

= [ • • - .. J'(l) dt

• o ,/

donde F(t) = r" paran~ t < n + 1, n = O, 1, 2, 3,

f '

f'

e-strldt + e-~rtr2dt + ...

' 2

16.

Calcular .e-• {( 1 - e-•)e-•}.

s(1 re ')

Si .('-1 {/(8)} = F(t), entonces, por el teorema 2·4, Pág. 44,

Así, por el problema 15,

.e-• {(1- ,-•).-'}

s(l re 3 )

o, en forma equivalente

-e-• {(1- .-·)·-·}

s(l re 1 )

.{'-1 {e-s f(a)} t > 1

'< 1

F(t-1)

m para n :2 t-1 < n+ 1, n = 0,1,2,3,.,.

rJI-1 para n ;:::¡¡: t < n + 1, n = 1, 2, 3, ...

17. Sea Y(t) = a. para n ,;; t < n + 1 donde n ~ O, 1, 2,

y (b) ..CIY(t-, 2)1 en función de ..C (Y(t)) = y(s).

Calcular(a) ..C { Y(t + 1)}

(a)

Haciendo t + 1 = u tenemos que

.J:. {Y(t + 1)} = J," e-" Y(t + 1) dt e 8 f"'

es 5.., e-s,. Y(u) du - e 1 f

o

o

1

= es y(s) - e• f e-su a¡, du

o

usando el hecho de que Y(t) ~~ a 0 para O~ l < l.

1

e-&u Y(u) du

1

e-m. Y(u) du

ao es(l - e-s)

e• y(s} - -----

8

•

124

APLICACIONES A LAS ECUACIONBS INTEGRAI.F.S Y DE UIFERENCIAS CAP. 4]

(b)

Haciendo t + 2 "" u tenemos que

.( {Y(t + f 2)} • o

." e-•t Y(t + 2) dt

e2s [""e 3u Y(u) du

. '

f '

~ eU e-su a 1

du

'

usando el hecho de que Y(t) = a o pam O ~ t < 1 y que Y(t)

ot para 1 :;;:¡; t < _i

18. Supongamos que laft!, n = O, 1, 2, ... , denota la suceswn de términos constantes definidos

en forma recursiva por -la ecuación de diferencias

all+2 - 5an+l + 6an o. ao =O, at = 1

Hallar una fórmula para a,. , es decir, resolver la ecuación de diferencias para ar~.

Definamos la función

Entonces la fórmula recursiva se transforma en

Y(t) = art, n~t<n+l donde 1t = 0,1, 2, ...

Y(t + 2) - 5Y(t+ 1) + 6Y(t) = O (1)

Tomando la transformada de Laplace en (1) y usando los resultado!:i del problema 17 en los casos llo = 1,

a¡ = 1 encontramos que

e2sy(s) - e•(l ~e-s) - 5&'y(s) + 6y(8) O

8

o ,.,.

Entonces y(e)

e~(t- e-")

s(e~ 6e + 8 6)

(e"- 5•• + 6) y(o)

•'(1- ,-•) {-'-- 1 }

8

e 9 -3 es~2

1-·-·{

•'(1- ,-•) {.,-;:;;-d;l::;-----m}

8 (es 3)(es 2)

1

--. s- 1 - 3e-s -

Al invertir, por el problema 15, encontramos que

a,. ::::: 3,. - 2 .. , n ::::: O, 1, 2, .

Comprobación: Si a..,. = 3"' -

2"', entonce!> 4o =O, a 1 ::::: l. Además,

9 o 3" - 4 o 2" - 15 o 3" +· 10 o 2"' + 6 o 3" - 6 o 2" o

•

CAP. 4] APLICACIONES A LAS ECUACION"E:-1 INTEGRALES Y DE DIFERENCIAS 125

19. Resolver la ecuación de diferencias

a, 1 2 -- 5an t t + 6a, 4" a 0 =O, at = 1

La única diferencia entre este problema y cll8 es la presencia del término 4n en el miembro derecho. Escribimos

la ecuación en la forma

Y(t + 2) - 5Y(t + 1) + 6Y(t) F(t) w

donde Y(t)::::an, F(l):::4n panin~t<n+l, n:::0,1,2, ...

Tomando la transformada de Laplacc en los dos miembros de (1), si encontramos que y(s) = .e_ {Y(t)}.

Luego

e2s y(s) ~

1- e-s

s(l 4e 8 )

y(8)

1 - ,-. [

' )1

1

3•

F.ntnnces invirt.iendo y usando los tt'sultados del problema 15 encontramos que

Y(t) = a,

(2)

20. Hallar a 5 en el problema 19.

Método l. De la ::<olución (2) del problema 19 tenemos:

Método 2. De la ecuación diferencial dada en el problema 19 tenemos que, paran = O,

como aa=o, a.t = 1

6

Si n ::: 1, a3 - 5a 2 + 6a. 1 ...., 4 de manera que

28

Si n = 2, a 4 - 5a 3 + 6lt:2 = 16 o sea

a, 16 + 5a 3 - 6a 2 ::: 16 + 5(28) - 6(6) 120

Finalmente, si n = 3, a 5 - 5a 4 + 6a 3

= 64, de modo que

., 64 + 5a 4 - 6a 3 = 64 + 5(120) - 6(28) 496

•

126 APLICACIONES A LAS ECUACIONES INTEGRALES Y DE DIFERENCIAH

{CAP. 4

PROBLEMAS V ARIOS

21. Resolver la ecuación integral

Y(t)

Esta ecuación se puede expresar en la forma

= i sen 2t + J' Y(u) Y(t- u) du

o

Y(t)

t "n2t + Y(!)' Y(t)

Tomando la transformada de Laplace y usando el teorema de la convolución encontramos que

y(s) s2 !- 4 + {y(s)}2 o {y(s)}' - y(s) + - 1 - = o

s2 + 4

Resolviendo obtenemos

y(s)

1

¡¡ ±

y(s)

, __

~~1

4 1 ±

1 •

s2 + 4

¡¡ 2ys2+4

!(v•'H + •)

2

v•'+4

y y(s) 1(v .. +4-•)

~ v•' + 4

Mediante (.2') hallamos la solución

(1)

(2)

Y(t)

~-1 { !(v'8'+4- ')} = J,(2t)

2 "'l/s2 + 4

(3)

El resultado (1) puede expre!>arse como

y(o) = - !(v'8'+4-. - 2)

2 Vs2 + 4

1 - ! (v'8'+4 - ')

2 v'8'+4

De manera que una segunda solución será

Y(t) a(t) - J, (2t)

(41

donde ~(t) es la función delta de Dirac.

La solución (3) es continua y acotada para t ?: O.

22. Calcular .e i F(t) 1 si F( t) n,n~t<n+l,n

o, 1, 2, 3, ..

Tenemos que

~ {F(t)} i"' e-stF(t)dt

o

f ' .

e-rt (1} dt + i e-rt (2) dt + · · ·

' 2

e-s(l...=-__!_-~) (1 + 2e-s + 3e-2.t + .te-31 + · · ·)

•

•

CAP. 4]

APLICACIONES A LAS ECUACiONES INTEGRALES Y DE DIFERENCIAS

127

Ahora, como para lx 1 < 1,

l+z+re2+z3+···

al derivar tenemos que

1+2x+3x'+···

Six=e-•,

1

1-x

1

(1- z)Z

1

De manera que

.( {F(t)}

s(l-e•)

1

'

23.

Hallar .e•{ s(l .-. re ')}

en los casos (a) r ,.1, ( b) r l.

(a)

Por la fórmula del binomio,

s(l

re •)

~ + re-2• + r2e-2e + .. ,

• • •

= U(t-1) + rU(t-2) + ,..U(!-3) + ···

.-• }

Affi F(t) "'

re •)

k•l

~ ....

(1)

si t e; 1, y toma el valor O si t < l.

Si n :ii t < n + 1, en el caso en que r .,. 1, (1) toma la forma

r+rl+···+,..

r(r• -1)

---;:-=-¡--

(2)

(b) Sir= 1 encontramos que F(t) = n, n ;§ii t < n +l. Esto coincide con el problema 22.

24. Resolver la ecuación de diferencias

La ecuación dada se puede escribir

a.u - 7a.au + toa. = 16n, 4(1=6, at=2

Y(t + 2) - 7Y(t + 1) + 10Y(t) = F(t)

(1)

donde Y( t) = a , F(t) = 16n para n ;;:;¡¡ t < n + 1, n = O, 1, 2,.

Usando los problemas 17 y 22 encontramos que la transformada de Laplace de (1) es

... v(o) - <'(1 - .-•)(6<' + 2) - 7e' •<•1 + 42••(1 - .-•) + 10y(o)

• •

•

128 APLICACIONES A LAS ECUACIONB$ " INTEGRALES Y DE DIFERENCIAS

[CAP. 4

Entonces

y(s)

e~(l - e- 8 )(6e 8 + 2)

11(e8 5)(e8 2)

1 - ,-•) { 6e• + 2 }

e' (--,- (es 5)(e8 - 2)

( 1-•-'){ ,. }

42 --,- (e3- 5)(es- 2)

+

16{

8

1 }

(e 8 - l)(e 5 - 5)(e 8 - 2)

42(1- ,-.) {__6/3__-

9 es- 5

2/3 \

es- 2 J

+ ~{e~~l + e 14 ~ 3 5- e!~ 3 2}

14/3 }

1- 2e s

~){ 7o,-•

( s 1 5e

_(!_/3)e-s _

1 - se-~

Ahora mediante los problemas 14 y 22 encontramos que para n ~ 1 se tiene que

••

4·2"-3•5"+4n+5

25. Si .\ es una constante, expresar la ecuación diferencial

como una ecuación integral.

Y"(t) + A Y(t) o, Y(O) = O, Y(l) ~-O

Método J.

Sea Y" ( t) = V( t); si Y' (O) = e encontramos que

. "

Y'(t) :::: (

Como Y(l) .., U, tendremos que

1

V(u) tlu + e, Y(t)

1

{

."

(t-u) V(u) du + ct

(1)

j" (1 -u) V(u) du

"

+ e

o

f' (u -1) V(u) du

" ."

•

CAP. 4]

APLICACIONES A LAS ECUACIONES Il'iTEGRALES Y DE DIFERENCIAS

129

Mediante (1),

Y(t)

Lo cual puede exponerse

donde K(t, u) = {<t- 1 ' u

(u-1) t

o .,.

1

J' (t-u) V(u) du + J (tu-t) V(u)du

'

'

Jt (t-u) V(u) du + Jt (tu- t) V(u) du + J

1.(tu- t) V(u) du

' ' '

= ft (t-l)u V(u) du

'

Y(t)

u<t

u>t

Ast, la ecuación integral requerida es

Método 2.

1

+ J

'

J

'

(u -1) t V( u) du

1

K(t, u) V(u) du

[Nótese que 'K(i, u) = K(u, t), es decir, que K(t, u) es simétrico

l.

V(t) + >. J' K(t, u) V(u) du

O

'

1

V(t) -X J K(t, u} V(u) du

Integrando los dos miembros de la ecuación diferencial dada, entre O y t, encontramos que

'

Y'(t) - Y'(O) + >. f' Y(u) du = O

'

Otra integración entre O y t nos da

Como Y(O) = O,

(1) será

Y(t)- Y(O)- Y'(O)t + >.f

'

0

(t-u) Y(u)du

Y(t) Y'(O)t - A it (t-u) Y(u) du

'

Haciendo t = 1 y usando el ht>cho de que Y( 1) = O, de (2) deducimos que

o

(1)

(2)

Así, (2) se transforma en

Y(t)

donde K(t, u)

j ,,

X

'

Y'(O)

(t- tu) Y(u) du

A. it (t- tu) Y(u) du +

'

A it u(l-t) Y(u) du

'

-A. J' K(t,u) Y(u) du

'

~ {(1-l)u

(u -1) t

u<t

u>t

>. J' (1- u) Y( u) du

o

:\ ft (t-u) Y(u) du

. '

A J 1 (t- tu) Y(u) du

'

+ A f 1 t(l -u) Y(u) du

'

A ft (t-u) Y(u) du

'

Las ecuaciones integrales que hemos obtenido son ejemplos de la ecuación integral de Fredholm con núcleo

simétrico.

•

130

APLICACIONES A LAH ECUACIONES INTEGRALES Y UE DIFERENCIAS


[CAP. 4

ECUACIONF.~

INTEGRALES

Convertir cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales en U\ra ecuación integral.

'

26. Y"(t) + 2Y'(I) · 8Y(t) o 5I' - 3t, Y(O) e -2, Y'( O) ~ 3.

Resp. V(t) r 1· {2-

' "

o

8t + 8tt) Hu) d11 .:;;,_ 5t2 + 21 t -- 22, V(t) -= Y"(t)_

Y(t) + r (2- St+ Bu) Y(u) dn = -2- t + 5t4/12 - t3

' "

27. 2Y"(t) - 3Y'(t) - 2Y(t) = 4e-t +- 2 cos t, Y(O) ~ 4, Y'(O) ~ -1.

Re.~p. 2V(t) + r (2u- 2t- 3) V( u) du = 4r 1 + 2 C'OS t T 5- 2t, V(t) -o:- Y"(t)

. "

o 2Y{t) + r (2u-2t-3)

' o

Y(u) du -== 6 -- lOt + 4e- t- 2 cost

28. Y'"(t) + SY(t) = 3>;en t + 2 cos t,

Y(O) ~O, Y'(O) ~ -1, Y"(O) ~ 2.

Resp. V(t) + 4 j~ 1 (t ·- u)2 V(u) dn "" 3 sen t + 2 cos t - 4t2 + 4t, V(t) = Y'"(t)

0

"

Y(t) + 4 J 1 (t- u)2 Y(u) du ..:: 5t2/2 + t -· 3 + 3 cos t - 2 sen t

"

29. Y"(t) + cos t Y(t} = e t, Y(O) = -2, Y'(O) -::-: O.

RN;p. V(f) +- r (t-u)costV(n)du = c-tr+ 2cost, V(t) ~ Y"(t)

r

'"

o Y(t) + H ~u) cos n Y(u) du :::: t - 3 + e r

' o

30. Y"(t) - t Y'(t) + t' Y(t) ~ 1 + t, Y(O) ~ 4, Y"(O) ~ 2.

Re.w V(t) + Jt (t3 ~ t- ufl) V(u) du :::: 1 + 3t - 4t2 - 2t3, V(t) :::: Y"(t)

"

o Y(t) - r

(t-

2lt + tu2- u:!) Y(u) du = fl/2 + t3/6 + 2t +- 4

. "

31. Y''(t) - 2t Y"(t) + (1 -- t') Y(t) ~ 1 + 4t - 2t' + t', Y(O) ~ 1, Y'(O) ~O, Y"(O) ~ -2, Y'"(O) ~O.

Resp.

V(t) + r {f¡{t-u}~(l-t2)-2t(t-u)}V(~t)du = O,

o

' "

Y(t) -

r {2u(t- u) + 2(t- u)2 + f¡(t- u):~ (1- u2)} Y(u) d~.t

."

V(t) ~ y''(t)

Convertir cada una de 4ts siguientes ecuaciones integrales en una ecuación diferencial

con condiciones asociadas.

32. Y(t) :::: 5 cos t + Jr {t-u) Y(t') d!t

"

Re~·p. Y"(t)- Y(t) = -5 sen t, Y(O) :::: 5, Y'(O) ::::O

•

CAP. 4]

APLICACIONES A LAS ECUACIONES INTEGRALF.S Y DE DIFERENCIAS

33. Y(t) = t2- St + 4-3 i

1

o

(t-u)2 Y(u) du

Re.<p. Y"'(t) + 6 Y(t) = O, Y(O) = 4, Y'(O) = -3, Y"(O) = 2

131

34. Y(t) + i' {(t-u)'+ 4(t-u)- S) Y(u) du = rt

'

fW,p Y'"(t) - 3 Y"(t) + 4 Y'(t) + 2 Y(t) = _,-<, Y(O)= 1, Y'(O) = 2, Y"(O) =

35. Y(t) - J1

(t-u.) sec t Y(u) du = t

o

Resp. Y"(t) - 2 tan t Y'(t) - (1 + sec t) Y(t) -t- 2 tant, Y(O) = O, Y'(O) = 11

'\

36. Y(t) + it (t2+4t-ut-u-2) Y(u) du = O

'

Rew Y"'(t) + (3t- 2) Y"(t) + (t + 10) Y'(t) + Y(t) o, Y(O) = O, Y'(O) = O, Y"(O) = O


37. Resolver Y(t) = t + 2 f.t coa (t-u) Y(u) du.

Resp. Y(t) t + '

2 + 2(t- l)et

38. (a) Demostrar que la ecuación_ integral

tiene comn solución Y(t) =

Y(t)

i (sen t + senh t).

t + ! ['(t-u)' Y(u) du

. '

(b)

¿La t".olución obtenida en (a) es única? Explil'ar.

39. Hallar la solución continua de la ecuación diferencial r

Resp. Y(t) = 1

Y( u) Y(t- u) du

• o

2 Y(t) + t- 2 .

40. Demostrar que la única solución de la ecuación i ntegntl f t }'(u) sen (t -u) du = Y( t) es la trivial Y( t) = O.

'

41. Discutir las soluciones de la ecuación integral r Y(u) G(t- u) du Y(t).

• o

ECUACION INTEGRAL DE ABEL Y PROBLEMA DE LA TAUTOCRONA

42. Resolver la ecuación integral

1 Y(u)

[

l --du =Y,.

'"o~

Rew Y(t) = t

43. Demostrar que la solucil'm de la ecuación integral

i ' Y(u) d

o (t- u)113 u

t(l + t) es

3

.;; t113 (at + 2).

4

•

132 APLICACIONES A LAS ECUACIONBH INTEGRALES Y DE DIFERENCIAS

[CAP. 4

44. Una circunferencia de radio a [Fig. 4-3] rueda

sobre el eje .x. Demostrar que un punto fijo O' de

dicha circunferencia, originalmente en contacto

con la recta en O, describe la cicloide

x = a.(~~ sen~).

que se muestra a trazos en la Fig. 4-3.

y = a.(l- coa</>)

y

45. Demostrar que la curva del problema de la tautócrona,

Pág. 118, es una cicloide y discutir sus rela

Jaciones con la curva del problema 44.

Fljr. 4-S

46. Demustrar que el tiempo empleado por la cuenta de los problemas 8 y 9 para rodar desde el punto más alto P

del alambre hasta el más bajo O [punto más bajo de la cicloide] es 'll"..¡c;:¡q.

47. Si O < a < 1, demostrar que la solución de

f ' Y(u)

0

--- du = F(t ), suponiendo que F(O)

(t-u)«

O, es

Y(t)

~~e F 1 (u) (t- u)o:-1 du

' o

48. Discutir las soluciones de la ecuación integral del problema 47 si F(O) +O. Ilustrar sus observaciones considerando

(t Y(u) du

1 + t

) 0

{t u)ll2


49. Resolver ft Y(u) coa (t-u) du = Y'(t) si Y{O) l.

o

Resp. Y(t) = 1 + }t 1

50. Resolver [ t Y 1 (u) Y(t- u) du = 24f3 si Y(O) = O •

• o

Resp. Y(t) = ± l6t312fl[ii

51. (a) Demostrar que la ecuación integral del problema 49 puede expresarse como la ecuación integral

(b) Resolver la ecuación integral de la parte (a).

1 + í t (t-u) Y(tt) cos: (t-u) du Y(t)

o

52. Resolver f' Y"(u) Y'(t-u) du = Y'(t)- Y(t) ,¡ Y(O)

o

Resp. Y(t) = O

Y'(O) O.

ECUACIONES DIFERENCIALES Y DE DIFERENCIAS

53. Resolver Y(t)- 3Y(t- 1) + 2Y(t- 2) = 1 si Y(t) = O, t < O.

Re.w. Y(t) = 2[tJ+2- [t]- 3

•

CAP. 4]


133

54. Demostrar que la solución de Y' ( t) 2Y(t-1) + t si Y(t) = O,t <O es

Y(t)

~ 2"(t- n)n+2

n=-0 (n+2)!

55. Resolver Y"(t) -- Y(t- 1) F(t) donde Y{t)

Re.~p.

Y(t)

2 ~ (t- n)~n+3

n=O (2n+3)!

F(t)

O, Y'(t)

{~.

=Oparat~Oy

t~O

t >o

56. Resolver 3Y(t)-5Y(t- 1) + 2Y(t- 2) = F(t)

'"

Resp. Y(t) ~ {1- (f)fi+>)(t- n)'

n=O

F(t)

si Y(t) =

O, t < O, y

{ o t <o

t 2 t > o

57, Resolver las ecuaciones de diferencia

(a) 3an+2- 5n 11 +I + 24 11 = O si a 0 = 1, a. 1 =O.

(b) an+2 + 2an+ 1- 3a. 11 = O si tto = O, a¡ = l.

Rew (o) 3(2/3)• - 2, (b) !{1 - (-3)"}

58. Los número.~ de Fibonac:ci se definen por la relación a 11 + 2

= ~+t + ~ donde ao = O, a¡

cular los primeros diez números de Fibonacci. (b) Hallar una fórmula para a 11

•

Resp. (a) O, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 18, 21, 84 (b) a. = V a

~5 {(1+2V5)"- ( 1 :::2V5)"}

l. (a) Cal-

59. Resolver la ecuación a.a+2- 4an+l + 4a., o donde ao=l, a¡=4. 2•(n + 1)

60. Resolver la ecuación an+2- 2""n-tt + 2an O donde a 0 =0, a 1 =1.

Resp. a,. = {(1 + i) 11 - (1- 1-)"}/2i

61. (a) Resolver ~+a-2U-n+.2-a....+t+2a.,. =O si tz.o=O, a¡=l, ~=1. (b) Hallara10.

Resp. (a) a,. = !{2"- (-1)"}, (b) a 10 = 341

62. (a) Mostrar cómo se puede obtener un¡¡ ~olución de a,.+ 2 - 6a,.+ 1 + 8a,. = O suponiendo que a,. r"

donde re~ una constante desconocida. (b) Usando este método resolver los problemas 57-61.

PROBLEMAS VARIOS

63. Demostrar que la ecuación diferencial no lineal

Y"(t) + {Y(t)}'

puede expresarse como la ecuación integral

64. Resolver f r Y( u) Y(t- u) du

'

.r Y(t) + (t- u){Y(u)}' du

"

Resp. Y(t) = t o Y(t¡ 2&{t) - t

tscnt,

2Y(t) + it' - 2t.

Y(O) = 1, Y'(O) = -1

3- t- 2coat- t~ent

•

134


[CAP. 4

65. Expresar como ecuación integral a

Resp. V(t) :::: 2~r + 1 - 2t + 3 cos t - sen t + f t (t-u) V(u) du, donde V(t) = Y 11 (t)

. '

66. H.esolver Y(t) t + ft Y(u) J 1 (t-u) du.

• o

Re.w

Y(t)

!(t'+ 1) J' J 0 (u) du + ttJ 0 (t)- tt•J1(t)

o

67. Encontrar una función G(x) tal que ix G(u) G(:z- u) du

o

Re.~p.

G(x) = ~ 4 sen x

8(sen w -

:z cos z).

68.

Resolver

Resp.

t Y(u) Y(t-u) du

• fo

Y<t>

= J¡(t)- ~C Jo<u>-du

o

t + 2Y(t).

Y(t) = 2B(t)- J 1 (t) + J' J 0 (u)du

o

69. 'Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes, usando los métodos de la transformada de Laplace.

(a) lln+2- 5an+t + 2n + 1, a

6a11

0 =O, a 1 =l.

(b) an+2 + 4an+ 1 - 5a11 24n - S, a0 = 3, a 1 = -5.

Resp. (a) a 11 ::::: t· 3 11 - 5 • 2" + n + ~ (b) rtn 2-n2 - 4n + 2 + (-5)n

70. Resolver (a) a 11

+ 2

+ 2an+t +a,. = n + 2, a 0 =O, a 1 =O.

(b) a,¡+ 2 - 6an+t +San = zn, a 0 .. = O, a 1 =O.

(a) a,. = !(3n- 1)(-1)" + l(n + 1)

72. (a) Mostrar cómo puede obtenerse una solución particular del problema 69 (a) suponiendo que a,. =A- Bn

donde A y B son constantes desconocidas. (b) Usando el resultado de la parte (a) y el método del problema 62,

mostrar cómo puede obtenerse la solución del problema 69(a ). (e) ¿Cómo pueden utilizarse los métodos indicados

en las parles (a) y (b) para poder hallar solucione~ de los problemas 69(b), 70(a) y 71'?

73. Hallar todas las funciones continuas que satisfagan

Resp. F(t) = -2e-t

74. Demostrar que la ecuación diferencial no lineal

Y"(t) + 2Y'(t) = Y'(t),

puede expresarse mediante las ecuaciones integrales

Y(t)

.( (2t- 2) Y(u) du + r

1

J .,

uF(u) cos(t-u) du :::: te-! - sen t.

'

• '

Y(O) = O, Y(l) = O

1 1

2t Y( u) du + J

o

K(t, u) ya( u) du

donde

Y(t)

K(t,u)

·~( (2-2t)e 2 <u-tlY(u)du

= {•(t-1)

t(u -1)

u<t

u>t

- f 1 2te2<u-t) Y(u) du + J'l e-Zt K(t, u) Y3(u) du

. ' '

•

CAP. 4]


135

75. Resolver para Y(i): 8Y(~ -12Y(t-1) + 4Y(t-2) = F(t) donde Y(t)

O para t < O y

F(t)

t <o

t>O

Re~p.

Y(t)

76. Si p{Y,_,(t) - Y. (t)}

n 1,2¡3, ...

-P Y 0 (t)

donde Yn(O) =O paran = 1, 2, 3, , Yo (0) = 1 y {3 es una constante, hallar Y 11

(t).

Rew Y 11 (t)

77. Desarrollar el problema 76 en el caso en que la primera ecuación se remplace por

n:::: 1,2,3, ...

donde f3t, {32, iJs,

, son constantes.

78. Demostrar directamente la propiedad tautocrónica de la cicloide.

79. El problema de la baristócrona consiste en hallar la forma que debe tener un alambre sin rozamiento, en un

plano vertical, como se muestra en la figura 4-1 de la Pág. 118, para que una cuenta colocada en P ruede hasta

O er1 el tiempo más corto posible. La solución de e¡;.te problema es una cicloide como la de la figura 4-2 de la

Pág. 120. Demostrar esta propiedad comparándola: (a) con una línea recta y (b) con una parábola que una

los puntos O y P.

SO.

Hallar la forma que debe tener un alambre en un plano vertical para que una cuenta colocada en él, descienda

al punto más bajo en un tiempo proporcional a la componente vertical de su distancia con el punto más bajo.

Resp. x=a(l-cos36J), Y=~asen 2 6

•

Capítulo 5

SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOS

Debido a que no existe número real x alguno que satisfaga la ecuación polinomial .t 2 +

1 = O, es necesario considerar el sistema de los números complejos.

Se puede considerar que un número complejo tiene la forma a + bi donde a y b son

números reales llamados las partes real o imaginaria, e i = '"/-=I se llama la unidad imaginaáa.

Dos números complejos a + bi y e + di son iguales si y sólo si a = e y b = d. Podemos

considerar al conjunto de los números reales como un subconjunto del conjunto de los núme

!OS complejos, en el caso e~ que b = O. El complejo O + Oi corresponde al real O

El valor absoluto o módulo de a + bi se define como la + bil = Va 2 + b 2 • El conjugado

complejo de a + bi está definido por a - bi. El conjugado complejo del número complejo

z se denota por z o por z*.

Al desarrollar las operaciones entre números complejos podemos operar como en el álgebra

de los números reales, remplazando a i 2 por -1 cada vez que aparezca. En lo números complejos

no están definidas las desigualdades.

Desde el punto de vista axiomático es más ventajoso considerar que un número complejo

es un par ordenado (a, b) de números reales donde a y b obedecen a ciertas reglas operacionales

que, como se verá a su debido tiempo, son equivalentes a las que acabamos de enunciar.

Por ejemplo, definimos (a, b) + (e, d) ~ la+ e, b + d), (a, b)(c, d) ~ (ac- bd, ac +be),

m(a, b) ~ (ma, mb), etc. Observamos que (a, b) ~ a(l, O) + b(O, l) y lo asociamos con

a + bi, donde i es el símbolo para {0, 1).

FORMA POLAR DE LOS NUMEROS COMPLF,JOS

Si se toman escalas reales sobre dos ejes mutuamente perpendiculares X'OX y Y'()Y

(los ejes x y y), como en la figura 5-1, podemos localizar cualquier punto del plano determinado

por dichas rectas mediante parejas ordenadas (x, y) de números reales llamados las coordenadas

de dichos puntos, los cuales se denotan por P, Q, R, S y Ten la Fig. 5-1.

y

y

P(3,4)

. Q(-3, 3) P(•,y)

'

r

x· •

1 o

T(2,5. O)

•

X

•

X' o • X

-1

R(~2,5, -1,5), _,

Y'

-·

Fl1. 5·1

'8(2, -2)

136

Y'

Flr.5·2

•

CAP. 5] TEORIA DE VARIABLE c'h,MPLF..JA 137

Como un número complejo x + iy puede considerarse como un par ordenado (x, y), podemos

entonces representar tales números por puntos del plano xy que se llama plano complejo

o diagrama de Argand. En la Fig. 5-2 vemos que

x = -rcos8, y= -rsenO (1)

donde r = v' x 2 + y2 1 x + iy 1 y el ángulo () que forma la línea O P con la semirrecta positiva

del eje x se llama la amplitud o el argumento. Se deduce que

z X + iy (2)

que se llama la forma polar del número complejo, r y O se llaman las coordenadas polares. A

veces es conveniente escribir cis 6 en vez de cos 8 + i sen &.

OPERACIONES EN LA FORMA POLAR. TEOREMA DE DE MOIVRE

Si Z¡ = XI + iyl = T¡ (cos el + i sen8¡) y

se puede demostrar que

z,

z,

r,

- (cos (O,- 0 2 ) + i sen(O,- O,))

r,

z" (r(cosO + isenO))" ~ r"(cosn9 + isenn9)

(3)

(4)

(5)

donde n es cualquier número real. La ecuación (5) se llama el teorema de De Moivre.

En términos de la fórmula de Euler

e 16

cos& + isenO

podemos escribir (3), (4) y (5) en las sugestivas formas

(6)

z,

z,

z" (re")"

(7)

(8)

RAICES DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

Si n es un entero positivo, usando el teorema de De Moivre tenemos que

ziin

o, en forma equivalente,

z11n

{r(cosO + isenO)p 1 n

r ""{ cos (9---

+ 2k···)

n

+ isen(8+n2k71'")} k= o, 1,2,8 •...

(9)

(JO)

de donde se deduce que hay n valores diferentes para z 111 '. Es posible extender este resultado

al caso zmtn.

•

138 TEOHlA DE VARIABLE COMPLEJA [CAP. S

FUNCIONES

Si a cada elemento z, variable, de un conjunto de complejos se le hace corresponder uno o

varios valores de una variable w, se dice que w está relacionado con la variable compleja z, y

escribimos w = /(z).

Una relación es una función si a cada valor de z le corresponde solamente un valor de w;

de otra manera se dice que la relación es multívoca o plurívoca. En general, podemos escribir

w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y), donde u y v son funciones reales de x y de y.

Ejemplo. w = z2 = (::t + iy)2 = x2 - y2 + 2ixy-.,.:=_ _ _u + iu de manera que u(r,y) = x2- y2,

v(x, y) = 2xy. Estas son llamadas respectivamente la parte real e imaginaria de w = z2.

A menos que se especifique lo contrario, supondremos siempre que f(z) es una función.

Una relación multívoca puede considerarse como una colección de funciones.

LIMITES Y CONTINUIDAD

Las definiciones de límite y continuidad en las funciones de variable compleja son análogas

a las de funciones de variable real. Se dice que l es el límite de f(z) cuando z tiende a

z 0 si, dado cualquier~: >0, existe un 8 >0 tal que \ f(z)- l\ <E siempre que 0< z- z 0 1 < 3.

Análogamente, se dice que f(z) es continua en z 0 si, dado cualquier ~: > O, existe algún

8 > O tal que 1 f(z) - f(zoll < • cuando lz- z, 1 < 8. En otras palabras. [(z) es continua en

z, si lim f(z) ~ f(zo).

:~~:-~.

DERIVADAS

Si /(z) es una función definida en alguna región del plano z, la derivada de /(z) se denota

por f' (z) y se define como

lim !(z + Az) - f(z)

(ll)

11~-fl ~z

siempre y cuando exista el límite independientemente de la manera como az -+O. Si existe

el límite (11) en z = z 0 entonces, se dice, f(z) es deriuable en z 0 • Si dicho límite existe para

todo z tal que] z - Zrl\ < S para algún S> O, entonces f(z) se llama analítica en zo. Si el

límite existe para todos los elementos z de una región '1{, f(z) se llama analítica en 'R... Para

que f(z) sea analítica, debe ser una función continua; sin embargo, la recíproca no siempre es

cierta.

Las funciones elementales de variable compleja se definen como extensiones naturales

de las có"rreSPondientes de variable reaL Cuan-do existe un desarrollo en serie para una función

de variable real f(x), podemos usar la serie Como definición, simplemente remplazando a

x por z.

z1

Ejemplo l. Definimos senz = z

7! +

z2 z4 z6

cosz ~ 1 -2!+ 4!-6! t De estas dos relaciones se deduce que e~ = ex+iu =

e"" (cos y + i sen y), y otras relaciones.

Ejemplo 2. Si a y b son números complejos, ab se define como e bino . Como e21<1Ti= 1, se deduce que e lB=

eí(9+2k1rl , y definimos ln z = ln(rei9) = ln r j i( 9 + 2k'IT). Tenernoo; entonces que ln z

eo; una relación multívoca y las varias funciones de las cuales se compone esta relación se llaman

sus ramificucio1U!.~.

•

CAP. 5] TEORIA DE VARIABLE COMPLEJA 139

Las reglas de la derivación de las funciones de variable compleja son muy parecidas a

d

d

las de variable real, por ejemplo: dz (z") ~ nz"- 1 , dz (senz) = cosz, etc.

ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN

Una condición necesaria y suficiente para que w = f(x) = u(x,y) + iv(x,y) sea ana·

lítica en una región 'R. es que u y v satisfagan las eci:.tae-Wnes de Cauchy-Riemann

iJu

ax

av

iiy'

au

ay

av

ax

(12]

[Véase el problema 12.] Si las derivadas parciales de (12) son continuas en '1{. las ecuacionés

son condiciones suficientes para que /(z) sea analítica en 'R..

Si existen y son continuas las derivadas segundas de u y v con respecto a x y y, al derivar

(12) encontramos que

o, o (13]

De manera que las partes real e imaginaria satisfacen la ecuación de Laplace en dos dimensiones.

Las funciones que satisfacen la ecuación de Laplace se llaman fum:iones armónicas.

INTEGRALES DE LINEA

Sean C una curva en el plano xy que une los puntos (xt, y 1 ) y (x2, y 2 ) y, P y Q fun~

ciones de x y y. La integral

J Pdx t Qdy

e

o

se llama una integral de línea a lo largo de la curva C. Esto es una generalización de la in4

tegral del cálculo elemental a las curvas. Como en el caso del cálculo elemental, se pueden

definir como el límite de una suma.

Dos importantes propiedades de las integrales de línea son:

l.

2. Si (xs, Ys) es cualquier otro punto de C, entonces

Si C es una curva simple cerrada (no se corta con ella misma en parte alguna) como en

la Fig. 5-3, la integral de línea a lo largo de C, recorrida en el sentido positivo o contrario al

reloj, se denota por

f. Pdx + Qdy

e

Para evaluación de integrales de línea, véase el problt!ma 15 .

•

140

'l'EO RIA DE VAHIABI_,...tr./Í;OMPLEJA

/

TEOREMA DE GRE~;N EN EL PLANO (

Sea C una curva cerrada simple que encierra

una región 'f{ [véase la Fig. 5-a]. ::-;upongamos

que P, Q y sus derivadas parciales primeras <'On respecto

a x y y son continuas en Cf?.. y C. Se tiene entonces

que

. f Pdx

¡ Qdy

e

este resultado se llama el teorema de Creen en el plano.

•

Fig.5-3

¡r.AP. ,'j

•

INTEGRALES

Si f(x) es una función definida y continua en una región '1{, definimos la integral de

f(x) a lo largo de algún camino C en '-1\ desde un punto z1 = Xt + iyt hasta un punto

z~ = xz + ryz como

J f(z)dz s····"•' (u+ iv)(dx '- idy) s"'····· udx vdy + is····"•' vdx + udy

e ( r,.H 1 (.r,, ~, l <lp!J, l

1

Según esta definición, el concepto de integral de una función de variable compleja puede hacerse

depender del de integral de línea. Una definición alternativa basada en el límite de

una suma, como en el caso de las funciones de variable real se formulará oportunamente, y

se demostrará su equivalencia con la anterior·.

Las reglas de la integración compleja son análogas a la de la integración real; un importante

resultado es el siguiente:

dB ML (14)

r

!J /(z) dz:

! (.'

MJ

donde M es una cota superior de 1

M, y Les la longitud del camino

C.

J !f(z)l 'dzl

e

f(z)l en C, es decir, 1

f(z)l :;:;;

TEOREMA DE CAUCHY

Sea Cuna curva cerrada simple. Si f(z) es analítica en una región y en su contorno C,

entonces

j' f(z) dz o

e

Este resultado se llama el teorema de Cauchy. [Véase el problema 19.}

Dicho de otra manera, (1.5) es equivalente a la afirmación: El valor de

(15)

J'' f(z) dz

,,

es independiente del camino que une a z 1 con z 2 • El valor de dichas integrales H F(zz) -

F(z, ) donde F' (z) ~ f(z).

V l!:jemplo. Como {(z) = 2z es analítica en todas parte~ tenemos que. para cualquier curva cerrada C,

f' 2zdz -:-: O

'('

Además, j·'" 2z dz -

2i

,, "'

1

l~i

:::: (1 + i) 2 - (21)2

2i + 4

•

CAP. 5]

____ .. -

TEORIA DE VARIABLE co-MPLEJA

1

141

FORMULAS INTEGRALES DE CAUCHY

Si /(z) es analítica dentro y sobre una curva simple cerrada C y a es un punto interior

a e, entonces

f(a) = __!_, ,C f(z) dz

21TtJ'cz-a

donde C se recorre en el sentido positivo (contra~io al de las agujas del reloj).

Además, la n-ésima derivada de f(z) en z = a está dada por

f''' (a)

_":_!_ ,C f(z) dz

27Ti :!e (z a)n+l

Estas son las llamadas fórmulas integrale<; de Cauchy. Esta fórmula es notable ya que

si se conocen los valores de /(z) en un contorno C, se conocerán también dentro de la región

acotada· por C; además es posible calcular las diversas derivadas de /(z) dentro de la región.

Se deduce que si para una función de variable compleja existe su primera derivada, entonces

existirán todas las derivadas de diferentes órdenes. Naturalmente, esto no es necesariamente

cierto en las funciones de variable real.

SERIES DE TAYLOR

Sea f(z) analítica en un círculo de centro en z = a. Entonces para todos los puntos z del

círculo la representación de f(z) en serie de Taylor está dada por

[Véase el problema 29.]

f(z) f(a) + f'(a)(z- a) + !'~(~) (z- a)' + f'~\a) (z- a)' + .. · (18)

PUNTOS SINGULARES

Punto singular de una función f(z) es un valor de z en el cual f(z) deja de ser analítica.

Si f(z) es analítica en todas las partes de alguna región, excepto en un punto interior z = a,

a es una singularidad aislada de /(z).

VEjemp1o. Si f(z) = (z! S) 2

, entonces z = 3es una singularidad aislada de {(z).

(16)

(17)

POLOS

Si f(z) (z ~z~)ll, cp(a) -F O, donde cp(z) es analítica en una región que contiene a

z = a y si n es un entero positivo, entonces f(z) tiene una singularidad .'\islada en z = a

el cual se llama polo de orden n. Si n = 1, el polo se llama polo .'>imple; si n = 2 se llama

polo doble, etc.

V Ejemplo l. f(z) = (z _S): (z + 1

) tiene dos singularidades; un polo de orden 2 o polo doble en z = 3

y un polo simple o de orCen 1 en z =-l.

1 / Ejemplo 2. {(z) =

3z -1

z 2 + 4

(z + ~:)(z ':_ 2

, 1

tiene dos polos simples en z = ± 2i.

Una función puede tener otros tipos de singularidades. Por ejemplo f(z) = vZ tiene

senz

un punto de ramificación en z = O [véase el problema 45 ]. La función f(z)

z

. sinz

tiene una singularidad en z = O. Sin embargo, como hm -- es finito, a esta singulari

..,... o z

dad la llamamos singularidad evitable.

•

142 TEORIA DE VARIABLE COMPLF ... JA [CAP. 5

SERIES DE LAURENT

Si /(z) tiene un polo de orden n en z = a y es analítica en cualquier otro punto de algún

círculo de C de centro en a, entonces (z- a)" f(z) es analítica en todos los puntos de C y tiene

serie de Taylor alrededor de z = a de manera que

f(z) ~ + ~~_!_____ + · · · + -~ + ao + at(z-a) + a2(z-a) 2 + · · ·

(z~a)" (z~a¡•-l z~a

Esta se llama .<;erie de Laurent para f(z). La parte ao + a 1 (z -a) + a 2 (z - a) 2 + se

llama parte analítica, en tanto que el resto, consistente de potencias-'d;e inversos de z - a

se llama la parte principal. Más generalmente diremos que las series Í a.(z ~a)' son

k=-..o

series de Laurent en las cuales los términos con k < O constituyen la parte principal. Una

función analítica en una región comprendida entre dos circunferencias concéntricas de

centro en z =a puede desarrollarse siempre en serie de Laurent [véase el problema 119).

De la serie de Laurent de una función f(z) es posible definir varios tipos de singularidades.

Por ejemplo, cuando la parte principal de una serie de Laurent tiene un número finito de

términos y a -n #O en tanto que a-,.,- 1, a-n- 2, • • • son todos nulos, entonces z = a es

un polo de orden n. Si la parte principal tiene infinitos términos, z = a se llama una singularidad

esencial o un polo de orden infinito.

Ejemplo. La función eiiz =

1 1

1 + z + 2

! 22

+ · · · tiene una singularidad esencial en z =-- O.

(19)

RESIDUOS

Los coeficientes de (19) se pueden obtener de la manera acostumbrada escribiendo los

coeficientes para la serie de Taylor correspd'n.dientes a (z -a)" f(z). En otros desarrollos el

coeficiente a- 1

, llamado residuo de f(z) en el polo z = a, es de considerable importancia. Puede

hallarse por la fórmula

1 d"-l

a '

!~n.! (n 1 )! dz,_, ((z ~a)" f(z)) (20)

donde n es el orden del polo. Para polos simples, el cálculo del residuo es particularmente

simple puesto que se reduce a

U-¡ lim (z ~a) f(z) (21)

z-a

TEOREMA DE LOS RESIDUOS

Si {(z) es analítica en una región CJ{ excepto en un polo de orden n en z a y si C es

cualquier curva cerrada simple en CJ{ y contiene a z = a, entonces f(z) tiene la forma (19).

Integrando (19) y usando el hecho de que

,( dz

3c(z~a)•

[véase el problema 21], se deduce que

ro

sin,.cl

lzr.i sin= 1

(22)

fl(z)dz

27Tia-I

(23)

e-s decir, la integral de f(z) alrededor de un camino cerrado que encierra un solo f'llo de f(z)

es 27r i por el residuo en el polo.

•

[CAP. 5 TEORIA DE VARlABLE COMPLEJA 143

Más generalmente, tenemos el importante

Teorema. Si f(z) es analítica dentro y en la frontera C de una región '1{, excepto en

un número finito de polos a, b, e,. dentro de CJ{ cuyos residuos son respectivamente a-1,

h-1, C-¡,- . . , entonces

f /(z) dz 2'JJ"i(a-• + b-• + C-t + · · ·) (24)

es decir, la integral de f(z) es 2.,.i por la suma de los residuos de {(z) en los polos encerrados

por C. El teorema de Cauchy y las fórmulas integrales son casos especiales dt este resultado

que se llama el teorema de los residuos. ..--

EV ALUACION DE INTEGRALES DEFINIDAS

El cálculo de algunas integrales puede llevarse a cabo mediante el uso del teorema de los

residuos cuando sean apropiados la función /(z} y el cam:no o contorno C; la elección de este

puede exigir mucho ingenio. Los siguientes tipos son los más comunes en la práctica.

l. f"' F(x) dx, F(x) es una función par.

'

2. f

Considérese f, F(z) dz a lo largo de un contorno C que consiste de un segmento

del eje x desde -R hasta + R y la semicircunferencia sobre el eje x que tenga el segmento

como diámetro. Hágase R -+oo. (Véanse los problemas 37 y 38.]

2

,.G(sen O, cos O)dtJ, si G es una función r~cional de sen IJy cos IJ.

' z-z-1 z+z-t

Sea z = ei 9 . Entonces sen (J = 2r cos (J = --- y dz ie 18 diJ

2

o dO = dzjiz. La integral dada es equivalente a f. F(z)dz donde C es la circ

cunferencia unitaria con centro en el origen. [Véanse los problemas 39 y 40.]

3. J"' F(x) {cosmx} dx, si F(x) es una función racional.

_ senmx

00

Aquí consideramos

el de la parte l. [Véase el problema 42.]

f. F(z)eim;¡ dz donde Ces un contorno del mismo tipo que

e

4. Otras integn'.les en las cuales se escogen contornos particulares para cada caso.

[Véanse los problemas 43, 46.]

•

144

--~ TEORIA DE VARIAHLR COMPLF,..TA

[CAP. 5

NUMEROS COMPLEJOS

l. Desarrollar las operaciones indicadas.

(a) (4- 2i) t {-6 + 5i)

(b) (-7 + 3i)- (2- 4i)

Problemas resueltos

4 - 2i- 6 + Si = 4- 6 -1 (-2 + 5)i

-7 + 3i - 2 + 4i = -9 + 7i

-2 + 3i

(e) (3- 2i)(l + 31) = 3(1 + 3i) - 2i(1 + 31) = 3 + 9i - 2i - 6i2 = 3 + 9i - 2i + 6 9 + 7i

-5 +Si

(d) 4-aC

-5 t5i 4+3i - (-5+5i)(4+3l)

4- 3i • 4 + 3i - - 16-9{2- ~

-35 +Si

_2_5_

5(-7+i) = -7 + .!.i

25 5 5

i- 1 + (i2}(i) + (i2)2 + (i 2 f!i

. -l+i ----

i 1-i i-i2

ITi"t-i = t-i2

-20- 15i + 20i + 15i2

16 + 9

i-1-i+l+i

l+i

itl = .!_+_!i

-2- 2 2

lfl 13- 4il '4 + 3il ~ y(3)2 + 1 4) 2 v'\4)2 + (3) 2 ~ (5)(5) ~ 25

tul ltlai - t ~ ai 1 1

1 - 3i 1 + 3i 1 ¡-6i 1

= 1-9i2- ¡=--9i2, ,.... lo =

3

5

2. Si Zt y z 2

son complejos, demostrar que IZtZ21

3. Resolver za - 2z - 4 = O.

Las raíces racionales posibles son ::!:.1,

ción dada puede escribirse como (z - 2) (:z2

±2, ±4. romprobamos que z = 2 es una raíz; entonces la ecua

+ 2z + 2) = O. Las soluciones de la ecuación cuadrática az2 -f

-b::!::~ ; para a = 1, b ,.., 2, e =

bz

2 esto da z """

1 e = O son z = --- a. . 2

-z-~::: __ 2 ___ R -2~2i .

~ -2-- ~ -1 :+-: L

-2±~

2

El conjunto de soluciones es 2, -1 + i, -1-i.

FORMA POLAR DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

4. Expresar en forma polar (a) 3 -r 3i, (b)- 1 --i- \./37, (e)- 1, (d)- 2-2 v!""37. [Véase

la Fig. 5-4.]

(a) Amplitud 8 = 45" = 71"/4 radianes. Módulo r = Va2 + 32 ::::: a../2. Entonces,

3 + 3i r(cos fJ + i sen 11) 3v'2(cosrr/4 + isenrr/4) .;:::: av'2cisrr/4

aV2 e11"1/4

(b) Amplitud 1 = 120'' = 271"/3 radianes. Módulo r = /c-1)2 + (,},3)2 = v'4 =2. Entonces

-1 ..:.. V3 i ::::: 2(cos 2:rr/3 + i sen 2:rr/3) 2 cis 2tr/3

•


• • •

'

' Vi

.... tsoo -zVi

• -1 • --_-!-,-+--'--. •

(a) (b) (e) (d)

Fl1.5-4

(e) Amplitud 1 = 180o = rradianes. Módulo r = V(-1)2 +- (0)2 =l. Entonces

-1 l(cos 1r + i sen '11'") eis :v

(d) Amplitud (J = 240'' = 41T /8 radianes. Módulo r =.J(-2)2 + (-2'Jjj2 4. Entonces

-2 - 2V3 4(cos 4r/3 + i sen 4.,/S)

5. Calcular (a) (-1 + y'3t) 10 , (b) (-1 + i)'".

(a) Por el problema 4{b) y el teorema de De Moivrc,

[2(cos 2r/3 + i sen 2:r/3))10

2lO(cos 20,./3 + i sen 20sr/3)

1024[cos (2v/3 + h) + i sen (2•/3 + 6r)]

1o2•<-t + tV3¡¡

-s12 + s12V3 •

1024(cos 2-u/3 + i sen2:v/3)

(b)-1 + i =:: ...;2(cos135° + isen135°) = V2[cos"(l35° + k•360°) + isen(135° + k~360"))

Entonces

•

(-1 + i)l' 3 (y'2p 1a[cos(135" + 3

k•360")

Los resultados para k = O, 1, 2, sor,

V'2 (ros45° + i sen46°),

V2" (co$ 165" + i sen 165°),

V'2(cos 285° + i sen 285°)

+ isenC35° +

3 k•360")]

Los resultados para k= 3, 4, 5, 6, 7, son repeticiones de

éstos. Estas raíces complejas se representan geométricamente en el

plano complejo por los puntos P 1 , P 2 , P 3 de la circunferencia de la

Fig. 5-5.

6. Determinar el lugar geométrico de

(a) 1•-21 = 3, (b) 1•-21 = 1•+41, (e) 1•-31 + lz+31 = 10.

(a) Método l. lz-21 = lx+iy-21 = lx-2+iyl = ./(x 2)2 +Y2-3osea(x-2)2+y2=9,

que es una circunferencia de radio 3 con centro en (2, 0).

Método 2. lz- 21 es la distancia entre los nluneros complejos z = x + iy y 2 + Oi. Si esta distancia

es siempre 3, el lugar geométrico es la circunferencia de radio 3 con centro en 2 + Oi o (2, 0) .

•

!46

TEORIA DE VARIA'Il!~

COMPL~JA

[CAP. 5

(bl Método 1 . .r t iy- 2! ~= ¡x + iy + 41 n ..[(X- 2)~ -f- y2 ::...: V(x+ 4) 2 + y 2 . Elrvando ~,¡cuadrado

encontramos que r = -1, lo cual r~presenta una línea recta.

Método 2. El lugar geométrico es tal que las distancias desde rualquiem de sus puntos a b, 0) y a

( --4, O) son iguales. Entunres, dichu lugar geométrico es la perpendieular media del segmento que une a

(2, O) con (-4. 0), o sea x = -l.

(e) Método l. El Lugar geométrico está dado por v'(x--~+ 7 + ~ - 3) -;- y 2 = 10 o

-.-· (r -- 3) + y2 = lO -- .J(x + 3) 2 + y2. Elevando al cuadrado y simplifieando, 2fi + 3x """'

2

+ 'Y

2

5,/(.r + 3)2 + y 2. :r-.;uevamente devando al cuadrado v simplificando obtenemos x

. .. . . ~u

es una ehpse con semJ-ejes mayor y menor de longitudes f> y 4.

1

l, que

Método 2. El lugar geométrico buscado es tul que la suma de las distancias de cualquiera de sus puntos

a (3, O) y (-3, O) l~S 10. Así, el lugar geométrico es una elipse euyos focos son (· 3, 0) y (3, 0) y cuyo eje

mayor tiene longitud 10.

7. Determinar la región del plano z definida por

(a) lzl <l.

Es el interior de un circulo de radio 1. Véase la Fig. 5-6(a).

( b) 1 < ¡z + 2il ,;; 2.

lz + 2il es la distancia de z a 2i, de tal manera que lz + 2il =- 1 es una circunferencia de radio2y

centro en -2i. Así, 1 < lz -- zil ::::: 2 representa la región exterior a lz- 2il = 1 pero interior n ~abre

lz-2il """2. Véase la Fig. f1-6(b).

(e)

r:/3 ;:;:,: arg z ~ r./2.

Obsérvese que si z = re16 , entonces arg z - fJ. La región buscada e:-; la parte infinita del plano comprendida

entre las rectas fJ = or/3 y fJ::::: ;r/2, incluidas dichas rectas. Véase la Fig. fi.fi(c).

y

•

•

~

•

11

•

•

[al

(b)

Fig. 5-&

(')

8. Expresar cada función en la forma u (x, y) + iv (x, y), con u y u reales:

(a) z-', (b) 1/(1- z), (e) e", (d) In z.

(x + iy)3 = x·~ + 3x2(iy) + 3:r(iy)2 + (iu)-3 ~ z3 + 3ix2y- 3xyZ- iy3

;e:! -

3xy2 + i(3x2y- y-~)

Entonces u(x,y) ,;;:;: ~3..,., 3xy2, v(x,y) = 3x'ly- ya,

(6\ w ---

t=--z

_.__

1 ___ .-1 '-- x+ iy

1-x--iy I·--:t+iy

1:--x+iy

(i ~·x)l<!t+--y,2

•

CAP. 5] TEORIA DE VARIABLI!; COMPLEJA 147

(e) e3~:::: e3(x+iu>:::: e3xe3i!l = e3x(cGS3y + isen3y) y u e3x cos 3y, v

(d) lnz In (reill) = In r + itl In Vz2 + y2 + i tan-t y/z y

u ! In (x2 + y2), v = tan-t y/x

l'ótese que In z es una relación multívoca (en este caso a un valor le corresponden infinitos) puesto

que 6 puede incrementarse en cualqnier múltiplo de 2~r. J!;J valor principal del logaritmo se define como

aquel en el cual O S 8 < 2r. y se llama la rama prin('Ípal de In z.

9.

Demostrar que (a)

(b)

sen (x + iy)

cos (x +iy)

senx coshy + icosxsenhy

COSX COSh y

-i sen X senh y.

Utilizando las fórmnlas ei:•=cosz+isenz, e-;~ cosz-isenz, obtenemos

6

senz

;z _ 6 -fz

cos z

2i

entonces

6

sen z sen (x + iy)

itx+iy)- 6 -i(x+i:~~l

___ 6 _ ;x-:~~ 2_i 6__ -ir+:~~

_

2i

1

2 i{e-!1(cosx + isenx)- eY(cosx- isenx)}

( e•+e-•\

(senx) ----/

2

f eY- 6-11)

+ i(cos x) \-- 2

-- sen x cosh y + i cos x senhy

Análogamente,

cos z

cos (x + iy)

,, + ,-,)

(cos x) (----

2

elt;~:+iyl

+ e-Hx+i¡¡)

2

~{e-!l(cosx + iscnx) + ell(cosz i sen x)}

( ,,-,-.)

- i(RenX) \-- 2

-- cos x cosh y - i sen x senh JI

DERIVADAS. ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN

10. Si Z es el conjugado de z, demostrar que no existe tz Z en ninguna parte.

Por definición lim f(z + .lz)- f(z) si dicho límite existe independientemente de la

.u-o Az

tiende a cero. Entonces

manera como .lz = .lx + i tJ.y

Si .6.}'

d -

-z

dz

O, el Hf9ilees

lim z+Az-Z

Az

a~-o

lim x+iy+.lx+i.lJJ

A.:r-o

Ax + iAy

Lloit-0

iy + Ax- iAy- (x-iu)

Ax + iAy

1.

x + iu

1' Ax-t&y

.J~o tJ.x + i&y

a11-o

Si t:.x .,. O, el límite eR

; ,¡• - V~

lim -:t &y

a11-o 1 Ay

= -1.

·Esta~ dos· formas de buscar límites mUestran que el lfmite deM!ad~ depende 'de la rtilinétR -<:omd 6:z -+ O,

de tal suerte que la derivada no existe, es decir, que z en todas partes es no analítica .

•

148 TEORIA DE VARIABLE COMPLEJA (CAP. 5

11. (a) Si w ~ f(z)

(a) Método 1.

dw

a,

l+z

dw

1-z• hallar dz· (b) Determinar en qué parte w es ttQ, analítica.

]. + (z+ll.z)

lim 1- (z+az)

ll.z-+0

Az

2

ll.z)(l

2

(l- z) 2

con z .,t. 1, independientemente de la manera como l 4¡¡: - O.

\

Método 2.

de un cociente,

Si z -¡;. 1 se pueden aplicar las reglas usuale~ de la derivación. Así, por la regla de la derivada

d

(1 - z) dz (1 + z}

(1

d

- (1 + z) dz (1- z)

•)'

(1- ,¡¡¡¡ - (1 + •)(-1)

(1 z)2

(b) La función es analítica en todas partes excepto en z

la función es no analítica en z = l.

1, punto en el cual la derivada no existe; es decir,

12. Demostrar que una condición necesaria para que w = f(z) ~ u(x, y) + i v(x, y) sea

ilv

analítica en una región es que satisfaga las ecuaciones de Cauchy.R.iemann :: ==

ilu ilV

&y - Ux en dicha región.

Como j(z) = f(x + iy) ::::: u(a:, y) + iv(x,y), tenemos que

Entonces

f(z. + Az) f[x + ax + i(y + ..ly)] u(x+ .lx, y+ Ay) + iv(z + .l.z, y+ .l.y)

lim /(z + Az) - /(z.)

a:r .... o .:lz

..,_ .

t·

lim u(x + Ax, y

.1!.1 .... 0

.:ly) - u(x, y) + i{v(x + ax, y+ Ay) - v(x, y)}

Ax + i!iy

Si tJ.y

O, el límite requerido es

lim u(x + 6x, y) - u(x, y)

4J:-o 6x

+ 1

{v{x+Ax,y)

••

au .av

ax + tax

Si tl.x

O, el límite requerido es

l'

6;:!!"o

u(a:,y+6y)- u(z,y)

i6y

!_au+av

i a 11 ay

Si existe la derivada, estos límites deben coincidir, esto es,

,_

ñu .ñv

ñx + ñx

1 ñu ñv

i ay + ñy

_ ñv ñv a u

entonces se tendrá que :: - ñy y

ñx ñy

-iau + av

ay ay

Recíprocamente, podemos demostrar que si las primeras derivadas parciales d.9 u y v con respecto a x Y Y

son continuas en una región, entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann constituyen una condición suficiente

para que f(z) sea analítica allí.

13. (a/ Si f(z) = u(x, y) + i v(x, y) es analítica en una región 'R, demostrar que las familias

de curvas paramétricas u(x, y) = e, y v(x, y)= c2 son familias ortogonales. (b) Ilustrar

este resultado con {(z) = z 2 •

(a) Consideremos dos elementos particulares de estas fttmiHas u(x, yl = u 0 , v(x, y) =

en el punto (x 0 , y 0 ).

uo que se intersectan

•

CAP. 5]

TEORIA DE VARIABLE COMPLEJA

149

Como du

dy

O, tl'nemos que dx

dy

Además, como dv ::::: vr dx + v 11

dy = O, dx

Cuando calculamos en (x 0 , y 0 ), esto rt'

presenta respectivamente las pendientes de

las dos curvas en su punto de intersección.

v,

"

Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann,

ur-= v,, Uy = -vr, y cl

1

producto de las pendientes

en el punto (x 0 , Yo) es igual a

-1

-·

de tal suerte que dos elementos cualesquiera

de las respectivas familias son ortogonales;

así que las dos familias son ortogonales.

(b) Si f(z) = z2 entoncefl u = x2 - y2, v = 2xy.

Las gráficas de algunos elementos de x2 -

y 2 = C 1, 2xy = C 2 se muestran en la Fig.

5-7.

Fig.S-7

14. En aerodinámica y mecamca de los fluidos las funciones cp y .P en f(z) = 4> + i 1/1,

donde f(z) es analítica, se llaman respectivamente el potencial de velocidad y la función

de flujo. Si .¡. ~ x' + 4x - y 2 + 2y, (a) calcular f y (b) hallar f(z].

(a) Por las eeuaciones de Cauchy-H.iemann,

a"' a.¡, a.¡,

ax • fJy' ax

Entonces

(/)

2x + 4

(2)

2y- 2

Método 1. Integrando (1), ,¡;

2xy + 4y + F(x).

Integrando (2), .¡,

2;cy- 2;c + G(y).

Estas funcjones son idénticas si F(x) = -2x te, G(y) = 4y +e donde e es una constante real. Así.,

f = 2xy + 4y - 2x 1 c.

Método 2.

Integrando (1), Y, = 2xy t 4y 1 F(x). Entonce!:', !:iustituyendo en (2), 2y + F'(x)

F'(x) = -2 y F(x) = -2x + c. Entonces + - 2xy + 4y- 2x + c.

2y-2osca

(h) De (a),

f(') x2 + 4x - y2 + 2y + i(2xy 1- 4y- 2x + e)

(x 2 - y~-+ 2ixy) + 4(x + iy) - 2i(x + iy) + ir

donde c 1 es una eonstante imaginaria pura.

z2 + 4z - 2iz f- c 1

z+Z

Esto puede realizarse tamhién al ob!;crvar que z = x -+- iy, z = x- iy de manera que x - 2

-

y z ~ z. Al sustituir se obtiene el resultado; los término!; que contienen z desaparecen .

•

liill TEORIA ng VARIABLE COMPLEJA [CAP. 5

INTEGRALES DE LINEA

'

(I,ZJ

15. Calcular (x'-y)dx + (y'+x)dy a lo largo de: (a) El ljegrnento recÚlíneo que

f(0, 1)

va de (O, 1) a (1, 2). (b) Los segmentos rectilíneos de (O, 1) a (1, 1) y de (1, 1) n (1, 2).

(e) La parábola x ~ t, y ~ t' + L

(a) La ecuación del segmento que une (O, 1) con {1, 2) en d plano .l.J es y = x + l. Kntonccs dy - dx Y 1::~ inU!

gral de linea :será entonces

S' {~ 2 -(ll:+l)>d:r + {(x+l)2+:r.}d::t

x=O

j .• (2x2 + 2;~;) dx

o

6/3

( b) A lo largo del segmento rectilíneo que va de (O, 1) a (1, 1), y = 1, dy = O y la intt:!gral de línea es

1

J (;¡:2- 1) dx + (1 + z)(O)

-2/3

;r:=O

A lo largo del segmento rectilíneo de (1, 1) a (1, 2), x = 1, dx = O y la integral de línea es

f

2

~: (1- y)(O) + (y2 + 1) dy

(y2+ l)dy 10/3

1 1

El valor buscado es entonces -2/3 + 10/3

8/3.

(<) Como t = O en (O, 1) y t = 1 en (1, 2), la integral de línea es

J' {t2-(t2+l)}dt + {(t2+1)2+t}2tdt

t=O

i' (2t5+ 4t3 + 2t2+ 2t-1) dt

o

2

TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO

16. Demostrar el teorema de Green en el plano para

el caso en que C sea una curva cerrada simple

con la propiedad de que cualquier recta paralela

a cualquiera de los ejes coordenados la corta a lo

más en dos puntos.

Sean y = Y1 (x) la ecuación de la curva AEB y y =

Y2(x) la de AFB {véase la Fig. 5-8}. Si ~es la región

encerrada por C, tenemos

tf ~= dz dy ~:a [~: 2 ::( 1 % 1 ~~ dy J dz

Fic.5..a

f' (P(•, Y,)- P(•, Y 1 )j d•

. '

- fb P(z, Y 1

) d:t - io P(:t, Y 2

) dz

• b

-f Pdz

e

Entonces (1)

Análo~me.T)te se;an x =. XJ {y) .Y x. = X.2 (y) las ,e_c~.aciones de la.s curvaS; EAF y ERF respectivamente.

Entonces

•

CAP. 5)

TEORIA DR VARIABLE COMPLEJA

1 \

r'_ [fx,,,, -Q J

JN ~X dX dy f [Q(X 2 ,y]- Q(X.,y]J ~y

•-e .I=X¡(!I)

' /

+ f' Q(X 2 , y] dy

'

151

Entonces (2)

Sumando (1) y (2),

f. Pdx_ + Qdy

e

ff (

'1(

~~ _ aP)

v"' ay dz dy.

La genemlización a otras curvas cerradas simples puede hacerse fácilmente.

17. Comprobar el teorema de Green en el plano

para

f (2xy-x')dx + (x+y')dy

donde Ces la curva cerrada de la región comprendida

por y = x 2 y yz = x.

Las curvas planas y = x2 y y 2 = x se inter;;ed~n

en (O, O) y en (1, ll. La dirección positiva para recorrer

C es la que muestra la Fig. 5-9.

A lo largo de y = x 2 la integral de línea es

Fig.5-9

i~o {(2x)(x 2 ) -

x 2 } dx

+ {z + (x2)2} d(x2)

7/6

A lo largo de y 2 = x la integral de linea es igual a

~:l {2(y2)(y)- (y2)2} d(y2) + {y2 + y2} dy

-17/15

La integral de línea buscada vale ::= 7/6- 17/15 = 1/30.

f.f (~~

"

-- aP) dx dy rs

&y

{-"- (x +y') - _a_ (2xy- x')} dx dy

J~ ax ,Jy

<){

JJ (1- 2x) dx dy

'1(

= {~o (y- 2xy) l:z2 dx j ,¡

1 ,¡-;

f J. • (1 - 2x) dy dx

x=O u=.r2

0

(x112- 2x312- x2 + 2x3) dx

1/30

Luego queda comprobado el teorema de Green.

INTEGRALES, TEOREMA DE CAUCHY, FORMULAS INTEGRALES DE CAUCIIY

s2

18. Calcular +4i z 2 dz

l+í

(a) a lo largo de la parábola x = t, y = t 2 donde 1 2 t ~ 2,

(b) a lo largo del segmento rectilíneo que une a 1 + i con 2 + 4i,

(e) a lo largo de los segmentos de!:>de 1 + i hasta 2 + i y luego de ahí a 2 + 4i .

•

152

TEORIA DE VARIABLE COMPLEJA [CAP. 5

tenemos que

f •2 t-~i z2 dz

• 1"'•

Método 1.

(a 1

(b)

f "·" (x _.__

• fl.\)

(1,4)

f(1,1)

iy)2 (llx + i dy)

(x2- y2) dx -

2xy (ly

j''~,-1! (xZ -

•l.l!

f(1, L•

.-

1

i2,4J

y2 + 2ixy)(tlx + i dy)

t- i 2xydx + (x2--y2)dy

Los puntos (1, 1) y {2, 4) corresponden a t = 1 y 1 = 2 resp~ctiva~~ntc_.Jililtonces las integrales de línea serán;

~:l {(t2-t4)df- 2(f.)(t2)2tdt} + if~l {2(t)(t2)dt + (t2-t;4)(2t)dt} 86 - 6i

El segmento que une (1, 1) y (2, 4) tiene como ecuación y- 1

4-1

2 _ (x-1) oseay=3x-2. Encon-

1

tramos entonces que

f ' ::t=t {[x2-(3x-2)2jdx- 2x(3x-2)3dx}

+ i {:

1

{2x(3x- 2) dx + [x2- (3:t- 2)2]3 d:t'} _836- 6i

'

(e)

Desde 1 + i hasta 2 + i [o sea, de (1, 1) a (2, 1)], y= 1, dy ='0, y tendremos _que

~ + 3i

3

De 2 + i hasta 2 + 4i [de (2, 1) a (2, 4)], x = 2, dx =O y tendremos que

~: 1 ~4y dy + i ~: 1 (4 ~ y2) dy -30 - 91

Sumando, (~ + 3i) + (-30- 9i)

86 .

- 3

- at.

Método 2.

Las integrales de línea son independientes del camino {véase el problema 19]; vimos así cómo coincidieron

los valores de las partes (a), (b) y (e). En tal caso la integral puede calcularse directamente como

en variable real, como sigue:

J

•2+4i

z 2 dz

l"-i

~12+1i

3 l+i

(1 + i)S

~.~

86

- 3

- ei

19. (a) Demostrar el teorema de Cauchy: Si f(z) es analítica dentro y en la frontera de una

(b)

región encerrada por una curva cerrada simple C, entonces f. /(z)dz = O.

Bajo estas condiciones demostrar que

une P 1 y P 2 •

rp·

J., /(z) dz es independiente del camino que

P,

e

(a)

Por el teorema de Green,

J.' (u + iv)(dx + i dy)

.re

J.' udz- vdy ~

ff(- av- ¡¡u) dx dy,

.:re . Ux Ny

donde 1{ es la región acotada por C.f

"'

,. vdx + udy

e

•

CAP. 5J


¡

153

Como /(z) es analítica, (lu av dv Ou (problema 12), de t.al manera que las integrales

flx dy' ilx fly

valen cero; entonces i j(z) dz = O. Hemos supuesto en este prnce~o de derivación (lo mismo para

las derivadas parciales) que las funciones son continuas.

(b)

Consideremos dos caminos cualesquiera de P 1 a P 2 [véase la Fig/.;í':lO}---Ft'lf el teorema de Cauchy,

Entonces

J

P¡AP2

o sea .f f(z) dz

P 1 AP 2

f

P¡AP 2 RP¡

f(z) dz

f(z) dz

+ J f(z) dz

l'•BP1

f f(z) dz

P~BP 1

e~ decir, que integral a lo largo de P¡ AP2 (camino 1) = integral a

lo largo de P 1 BP2 (camino 2), de tal suerte que la integral es

independiente del camino que une a P¡ con P2.

Esto explica el resultado del problema IR, ya que f(z) = z 2

es analítica.

o

o

20. Si f(z) es analítica dentro y en la frontera de una

región acotada por dos curvas cerradas C 1 y C 2

[véase la Fig. 5-11], demostrar que

f f(z) dz f f(z) dz

e, e~

Con~tn:yamos, como en la Fig. 5-11, un segmento AB

(llamado corte de cntce) que conecta un punto en Ct con •

uno cle C 2 [véase la Fig. 5-lq. Pnr el teorema de Cauchy

(problema 19),

f f(z) dz. o

AQPABRSTliA

! puesto que {(2) es analítica tanto en la región sombreada como en su frontera. Entonces

J f(z) dz + J f(z) dz + f(z) dz +

J f f(z) dz

AQPA

AB

BRSTR

BA

Fic. s-n

o

(JI

Pero f /(z) dz

AB

J f(•)dz.

BA

Entonc;es, por (1)

J f(z) dz

A.QPA

J f(z) dz

BRSTB

J f(z) dz

BTSRB

es decir,

~ f(z) dz

'

~· /(z) dz

• e,

Obsérvese que f(z) no necesita ser analítka dtmtro de la curva C 2 .

21. (a) Demostrar que

¡: dz

J'c(z-a)•

=

si n = 1

si n = 2, 3,4,

donde C es una curva

cerrada simple que encierra una regi~n de la cual z = a es un punto interior_

(b) ¿Cuál es el valor de la integral sin = O, -1, -2, -3,. ?

•

154 TEORJA DE VARIABLE COMPLEJA

[CAP. 5

(a) Sea C 1 uns circunferencia de radio y centro en z = a

[véase la Fig. 5-12]. Como (z- a)-n es analítica dentro

y sobre la frontera. de la región comprendida entre C y

C 1

, por el problema 20 te~os que

,( dz

Yc (*-a)"

Para calcular esta U.lti~~ integral nótese que sobre

C 1 ocurre que lz -al =~o z ~-a= *'ef6 y dz = itefBd8.

La integral será igual a

·-·

'

-'- . f'"

cO-nUB d8

• o

211

Si n = 1, la integral sera i i di = 21Ti.

_i_ e0-n)ill¡2•

*'n-t (1- n)i o

Flg. 5-12

o Si n oF- 1

(b) Paran = O, -1, -2, el integrando es 1, (z- a), (z- a) 2 , Y es analítica dentro de toda la región

acotada por C 1 incluyendo z = a. Entonces, por el teorema de Cauchy, la integral es cero.

22. Calcular i z ~ 3

donde Ces (a) la circunferencia 1 z l = 1, (b) la circunferencia 1 z+i 1 = 4.

(a) Como z = 3 no es punto interior a 1~1 = 1, la integral es cero (problema 19).

(b) Como z = 3 es interior a ]~ + il = 4, la integral es igual a 2"JTi (problema 21).

23. Si f(z) es analítica dentro y sobre la frontera de la región acotada por una curva cerrada

simple C v a es cualquier punto dentro de la región, demostrar que

f(a) • 2~i { !~~ dz

De acuerdo con el problema 20 y la figura del problema 21 tenemos

,( _jjz)_ dz

Yc z-a

,( _L(i)_ dz

jcl z- a

Haciendo z- a = !ei!l, la última integral se convierte en i Jn r" /(a.+ tel9) dB. Pero, como f(z) es anuHtica,

entonces es continua. Así,

O

y el resultado es inmediato.

(''

iJ f(a)dl

0

21ri !(a)

24. Calcular (a) { ~~:dz, (b) _{ z(:~l)dz donde Ces la circunferencialz-11 = 3.

(a)

(b)

. 1 fCOBZJ_

Como z = :1r esta adentro -- --~ =

' 2:vi e z-r

problema 23. Entonces .( cos z dz = -2"JTi,

Yc z-'11"

1.' ,, d

.'fe z(z+l) z

, ...

1.',,(1 __ 1 )d•

Yc z z+l

2'1TieO - 2"11"ie-1

por el problema 23, ya que, z = O y z -= -1 son puntos interiores .

-1 haciendo f(z) coszya

.( !:. dz

Yc z

2'1Ti(l- e-1)

,( ~dz

Ycz+1

reo el

•

CAP. 51

TEORIA DE VARlABf.E COMPLEJA

!55

~~- Calcular 5z'-3z+2az

(• 1)'

donde Ces una curva cerrada simple que encierra a z

l.

Método 1.

Por la fórmula integri,l de Cauchy, rnl (a)

Si n = 2 y f(z) = 5z - 3z + 2,\~.~tonces {" (ll - 10. Así

10

2! ,t' 5z2 - 3z ':+'&

;::: 2:Ti J;. (z 1)3 d~

lOrri

Método 2. 5z - 3z + 2 = 5(z 1) + 7(z -1) + 4. Entonces,

,¡,· 5z 2 -3z+2

.'fe (z 1)~ dz

por el prublema 21.

,( 5(z- 1)2 + 7(z- 1) + 4 dz

.re (z t)~

f • dz

5 ,. '-1 +

lO:ri

7 ,Í.~ dz _._ 4

"'~ dz

J; (z- 1)~ ' J'c (z -Ifl

5{2 ... i) + 7(0) + 4(0)

SERIES Y SINGULARIDADES

26. Determinar los valores de z para los cuales converge cada una de las serie!q dadas.

(a)

El n-ésimo termino

••

,.

n22n'

Entonces

l . 1 Urrt

'm -

ti

•~· u,. 1

~~

2

SegUn el criterio de la razón tenemos que la serie converge :-;j 1 z 1 < 2 y diverge si 1 z 1 > 2. Cuando

1 z 1 = 2 el criterio de la razón no !>e puede aplicar.

que

S~ e~1hargo, la serie de lo,; valores <lhsolutos n~l \ n:~., 1 =

71 ~ 1

~: 1 ;,. converge si lz 1 = 2 puesto

~

2

converge.

n=l n

Así, la serie converge (absolutamente) para 1 z 1 ::::; 2, es decir. en t!xlos los pun!.os del círculo y la

circunferencia 1 z 1 = 2.

"' (~l¡n-1 z2n-1 z3 z5

-lb)~-----·: --:::: z~-+-~

,.= 1 (2n~l¡! 3! 5!

'

lim ~

,. .... L,

1

""' n,. '1

Tenemos que

lim 1 _L-:-_1)~'--~~" +-1 • __ (~1_1_=--!ll 1

n-+>:: (2n+l¡! (-1)" lz:?n 1

_,, 1

lim ---

, .... "' 1 2n(2n + 1)

o

Entonces la serie, que representa sen z, t:tHl~·erge para todos los valores de z

(cJ ~

(z-·i)"

n=l 3"

Tenemos que lim 1 -- ""'' 1

...... RO

1

11,

iz~ i

3

La serie converge si 1 z i 1 < :3 y divPrge ~i 1 z- i 1 >:J.

Si 1 z- i 1 = 3, entonces z- i = :~e 16 y la serie se con\'iert.c en

el término no tiende a cero cuando n-..:•o.

~ ,.,in9_ Es! a serie diverg-e ya que

,..,¡

Así, la serie cunverge lh~ntro del círculo pero no en la circunferencia Z • i 1 :3 .

•

!56

TKORIA O~ VARIABl.E COMPLEJA

JCAP_ 5

27. Demostrar que st Í a .. ~" es absolutamente convergente para lzl ~'R.. entonces ef"'

ot=O

uniformemente convergente pa.-a e~tos. valores de z.

Las de[iniciones, tE'Orl"mll~ v demm;l raci'unes de 1~::. serie;:; de nU.men•~ complejos .::on ~milog:ts 9 las !a!ri("!i

de números reales • \ .-

-'

En particular. :se dice que una Heric :S '

ti•(2) es ab-~rJiitam('"'~ r· .. nn•fJ?("ntif' eu uno. re~iOn 'R., cuand6

oo=O ·

~

i ju 11

(z)l COTIV@rgl" en '1{. Podemos demostrar hlmbién que si

•u.(!t)! P>: ~OTI\li'~UIP en 'Jt. entuu·

• ...,o

.. =o

ce:s también lo es i r1 11

{.~). es dedr, que una st"rito ahsolutamente curncrgt"nle es cr.nvergentl'.

11=0

.

Además, una serie ~ \u,(z)! convergente a una función suma S(zl en una n>gión it se di(_"t" que es

•=0

uniformemente convergtonle en 'R_ si para cualquier t

> O se puede hallar un X tal que

l s.(z) - S(z) j < ([ para todo • > N

donde N depende solamente de f

y no de la ele<-ción particular de z en 'l(. y donde

s.(z)

uo(z) + u 1 (z) + · · · + x.(z}

Un criterio importante para la convergencia uniforme es el siguiente: Si para todo z en ~ podemos

encontrar constantes M R tales que

]a,.(1:)1 ~ M., • = 0,1, 2, ... y converge

entonces i a.(z) converge uniformemente en 9(. Este se llama el criterio d~

•=0

Weier·•lra'f-~.

En este problema particular tenemos que

\a,z"\ ,¡ \&,\R' = M. • = 0,1,2, --·

Como por hipótesis i Mw converge, del criterio de Weierstrass se deduce que

·=•

rormemente para lzl ~R.

:I •.z• converge uni

•=0

..

(a) (z+1)3'

28. Localizar en e) plano z todas las singularidades para cada función; si las hay, decir de

qué tipo son •

z = -1 es un polo de orden 3.

(b)

(e)

2zS-z+l , 4 es un polo de orden 2 (polo doble); z i y z 1 -- 21 son

(2 4.)! (z 1)(z 1 + 2i)-

polos de orden 1 (polos simples).

sen m.z

z2+2z+ 2

, a .P.O.

Comoz!:- 2z _._ 2 =

-•, ..r<=s -·2 ± 2i -

O cuando z = --- =

2 --.--- = -1 ± 1,

podemos e-scribir z2 -+- 2z - 2 = ~z - (-1 + l!=!z - (-1 - 1): = (z - 1 - i)(z ~ 1 - iJ.

La función tiene dos polos simples; z = -1 ....... i y z = -1 - i.

(dl

1- cosz

z

es una singularidad evitable.

z = O pai"E're ser una singularidad; sin embal'}!o. como o, esta

•

CAP. 5]

TEORIA DE VARIABLE COMPI.I<:O.JA

157

Otro método.

Como

1 - cos ..

z

t)1-

z '

... ) ~

z

2'

· · ·, \.·emos que

z =

O es una singularidad evitable.

(e) e-tJ(:f;-tJr 1 1 + 1

= - (z-112 2!(z

1

,,. ' \

F.sta es una serie de Laurent en la cual "la parte principal tiene un númeflJ infinito de térmínm; no

nulos. Entonces z = 1 es una sirlfluloridad pseru·ial.

en &.

F.sta funcíón no tiene !'llngularidad finita. Sin embargo, haciendo z = 1 (u, ohtemO!oi e 11 • que

tiene una singularidad esencial en u = O. Concluimos que z = o& es una -singularidad e~ncial de e:f;.

En general, cuando queremos determinar la naturaleza de una posible singularidad de flzJ en

z =o&, hacemos z = 1/u y examinamos el compt>rtamiento de la nueva rum·ión en u = O.

29. Si /(z) es analítica en el círculo y la circunferencia de radio R y centro en a, y sí a + h

es cualquier punto dentro de C. probar el teorema de Taylor:

/(a+ h)

!(a) + h f'(a) + ;; f"(a)

h'

+ 3! /"'(a) + ...

Por la rórmula integml de Cauchy (problema 21J, tenemos que

f(a + h)

_1 .( f(z)dz

2:::-i J',. z-a-h

fl)

Dividiendo,

1

z a h

1

(z a) [1 h/(z a)]

_l_f,+_h_+_!::__+ ... +

(z-a) l (Z-if} (z-a~

~+ h"+l !

(z - a 11 7(z,--a 7 )•;.,.(z....:._a_ 7 h 7 ) J

(2)

Sustituyendo (21 en (]) y usando las fórmulas integrales de Cauchy tenemos que

f(a + h) _1_ .( f(z) dz + _h__ .( f(z) dz + . . . + h"_ .( f(z) dz R

2:-i .'1;. z- a 2;-i J;_. (z- a)2 2;-i J;_. (z a)"+ 1 + "

/(a) + h rCa) + ~/"(a) + · · · + !; /("''(a) + R"

donde

h•-' .( f(z) dz

2;-{ J;.. (z o.)"'+ t (z a h)

Ahora si z está sobre C,

/(z) 1 ;o¡

1 z • h

y teniendo en cuenta que la longitud de Ces 2rR obtenemos,

M y lz -al = R, al utilizar la fórmula (/4t de la pág. 140

Cuando "_,. oo, IR.!-+ O.

Entonces R • ..,. O y el resultado es inme-diato.

Si f(z) es analítica en una región anular r 1 :S :z-aj ::::i '"2• l"Jdemos generalizar la serie de Ta}·lor

a la serie de Laurent [véase el problema 1191. En algunos caS(tS ('lomo el que muestra el pmblema 30, la seríe

de Laurent puede obtenerse mediante la conriCida serie de Taylor .

•

!58 TEORIA DE VARIABLE COMPLEJA [CAP_ fl

30. Hallar la serie de Laurent alrededor de la singularidad indicada para cada una de la"

siguientes funciones. Identificar el tipo de singularidad y determinar la región de convergencia

de cada serie.

(o 1

,.

z :::: l. Sea Entonces 1

(z -1)2; ' - 1 u. ' ~ ~

+u

,. et +v ,.

-'- {1

(z -1)2 --;¡,--

··-

+ u

u'

u'

' + ' + e +

(z -1)2 z-1 2T

__ e(z 3_!_ -1)

y

+ u'

2! + 'tts 3f+ u• ¡y+

+

e(z -1)2

_4_! _ + ...

'"}

z =

1 en un polo de orden 2 o polo doble.

La serie converge para todos los valores de z #- l.

(b) z cos!; z =O.

'

1

z cos-

'

z = O es una ~ingu.laridad esencial.

La serie converge para todo z .,:- O.

1

z-ffi+4!z3

6! zS + ...

(e) sen z

z-'lT;

Sea z-v:::: u. Entonces z :::: u+ 'lT y

sen(u+.,)

u

-1 + u2

3!

u'

ST+

sen u

u

-1 + (z-¡r)2 _3_!_

(z-;r)4.

"5! + ...

z - r es una singularidad evitable

La serie converge para todos !os valores de z.

(d) (z + l~z + 2) ; z :::: -l.

' (z + l)(z + 2)

Sea z-+- 1 =u. Entonces

u-1

u(u + 1)

u-1 (1-u+u2-u3+u4- .. ·)

u

_! + 2 - 2u + 2u2 - zua + · · ·

u

1

- z + 1

+ 2 - 2(z + 1) + 2(z + 1)2 - · · ·

z =

-1 es un polo de ordf:'n 1 o polo ~imple

La serie converge para todo z tal que O < 1 z + 11 < l.

1

(e) z(z+2)3; z:::: 0,-2.

Caso 1. z =

O. Usando el teorema del binomio,

1

~

z(z + 2) 3 _!_ ~ 1 + (-3) (~) + (-3)(-4) (~)' + (-3)(-4)(-5) ('~)'' + ... l

8z l 2 2! 2 3! \2 J

z =

_!_,_ ~ + 3 - _!_z2 + ,,,

8z 16 16 2 32

O es un polo dv orden 1 o pnlo ~imple.

La serie converge para O ¡,¡ < 2.

•

CAP. 5] TEORIA DF.. VARIABU!: COMPLE.JA 159

Caso 2. z = -2. Sea z + 2 = u. F..nt.onces

1

1

z(z +

- _1_{ 1 +" +

2)3 2u3(1 u/2)

1 1 1 1

- 2u3 - 4u2 - BU - 16 - 32 u

2u3 2 (u)' 2+<1¡+2+···

(u:\' (")' }

1

1 1 1

-2(z+2)3 - 4(z+2)2 - 8(z+2}

z ~ -2 es un pulo de orden 3.

La serie converge para O < 1 z + 21 < 2.

1

16

-'-(z+2)

32

RESIDUOS Y TEOREMA DE LOS RESIDUOS

31. Si f(z) es analítica en todas partes, dentro y en la frontera de una reg10n limitada por

una curva cerrada simple C salvo en z = a, el cual es un polo de orden n tal que

!(z) ~ + a-•+• + ... + a, + a,(z-a) + a,(z-a)' +

(z-a)• (z-a)•

donde U-n# O, demostrar que

(a) f f(z)dz = 2,ia-•

e

• 1 dn-1

(b)a_, = hm( -l)'d·-•{(z-a)"f(z)).

z-+n n . z

(a) Usando el problema 21, al integrar tenemos que

.f f(z) dz

e

2!Tia_ 1

Como el único término que permancc<~ es a_ 1 , lo llamamos el residuo de f(z.) en el polo z = a.

(b) Al multiplicar por (z -

a)n ohtenemm; la serie de Taylor.

(z- a)n /(z) a_n + a-~~.+ 1 (z-a) + ··· + a._ 1 (z-a)"'-t + ···

Tomando la (n -

1)-ésima derivada a ambos lados y haciendo que z-+ a, obtenemos

(n -1)1 a_,

de donde se concluye el resultado.

dn-!

lim d n-t {(z-a)n/(z)}

~-+a Z

32. Determinar los residuos de cada función en los polos que se indican.

z2 . •

(a) (z _ 2

)(z 2

+ 1

) ; z = 2, t, -t. Estos son polos simples. Entonces:

22

El residuo en z. = 2 es lim (•-2) {

}

z-+2 {z- 2)(z2 + 1)

4

¡¡·

El residuo en z i es lim (z-t){ z' }

z-+i (z 2){z t)(z + i)

(i

i'

2)(2•)

1- 2i

10

F..\ residuo en z -i es lim. (z+t){( z' } i' 1 + 2i

z .... -1 z 2)(z t)(z + t) (-i- 2)(-2•) 10

=

=

•

160

TEORIA DE VARIABLE COMPLEJA [CAP. 5

1

(b) z(z+2)3; z:::::0,-2.

z. - O es un polo simple, z = -2 P.>: un polo de nrrlen :l Entonce:s:

El residuo en z = O es

lim z. __ 1 --- 81

..,_.o z(z + 2P

El residuo en z = -2 es lim -21, dd'J\.(z + 2)' • ( +1 2)'}

z--~·z

:zz

lim ! ~( 1 )

~--~ 2 dz 2 z

lim ! (·\).

z ... - z 2 ::!

Obsérvese que estos residuos pueden nbtenero;c también de lm> coeficiente!-\ de l/2 y lf(z + 2)

en las respectivas serie~ de Laurent [véase el problema 30(~!l].

1

•

zezt

(e) (z _ a}2;

z :::: 3, es un polo de urden 2 o polo doble. Entonces:

. ' 1

El residuo es !~~:z t (z-3)2 • (zz~"'3 r~f

lim (en + zfed)

% .... ::1

(d)

z = 5l'l'", es un polo de orden l. Entonces:

El residuo es lim (z- Srr) • cos z

z-s.r senz

( lim - 1 -) (-1)

z .... s,.. cosz

(-1)(-1) 1

Aquí hemos aplicado la regla de L'Hospital que, como puede demostrarse, es válida en variable compleja.

33. Si f(z) e.; analítica dentro y en la fróntera de la reg10n comprendida por una curva

cerrada simple, excepto en algunos polos interiores a, b, e, demostrar que

f {(z) dz = 2 i lsuma de los residuos de f(z) en los polos a, b, e, etc.l

e

Véase la Fig. 5-13.

Por un razonamiento similar al del problema 2{)

(es decir, mediante la construcción de cortes de cruce

desde C hasta C 1 , C 2 , C3, etc.), tenemos que

.~ f(z)dz f /(z) dz

'e,

Para el polo a,

/(z)

Fig.5·1S

Entonces en el problema :U,

f. f(z) dz

e,

Análogamente, para el polo b,

/(:l)

b_,

--+

(z- b)n

de manera que

~- f(z) a.

e,

Al continuar de esta manera vemos que

f. f(z) dz

e

2n-i b_,

2r.i (suma de \o;; residuos).

•

CAP. 5]

TEORIA DE VARIAB[¡E COMPLF...JA

161

34. Calcular ,C

jc (z

l)(z + 3)'

donde e _es dada por (a) lzl ~ 3/2,

(b) 1 z 1

10.

El residuo en el polo simple z = 1 es !~ { (z- 1) (z _ ~~: + S) 2 }

' f6

El residuo en el polo doble z =

-3 es

(z- l)ez- ez

lim

z-+-3 (z 1)2

(a)

Como lzl

3/2 encierra solamente el polo z = 1,

(b) Como lzl

la integral requerida = 2vi ( {"6)

1rie

8

10 encierra los polos z = 1 y z = -3.

la integral requerida = 211'"i (fs- 5 ~; 3 )

'iTi(e- 5e- 8 )

8

EVALUACION DE INTEGRALES DEFINIDAS

s· 1 M .

35. 1 1/(z) ;'i R' para z ~ Re", donde k > 1 y M

son constantes, demostrar que Jim r f(z) dz = o

R-.oo Jr

donde T es el arco semicircular de radio R que

se muestra en la Fig_ 5-14.

Por el resultado (14) de la Pág. 140 tenemos que

" f 1/(•)lld•l

r

puesto que la longitud del arco L

lim 1 ( f(•) do 1

R-.. Jr

M

R'-•vR

vR. Entonces

o

de modo que

lim f /(z) dz

R-.. r

36. Demostrar que, si z ~ Re", lf(z)l ;'i :,. k> 1 si /(z) ~

1 : z4 . o

Si z = ReiiJ, 1/(z)! = 11 + ~4e4iiJ 1 :;;¡;¡ IR 4 e 4 i~l _ 1 = R4 ~ 1 ~ ~ si R es suficientemente

grande (digamos por ejemplo R > 2) para que M = 2, k - 4.

Observese que se ha utilizado la desigualdad lz 1 + z 2 1 ?;;: lzd - lz 2

1 donde z 1

= R4 e4iil y .t 2 =l.

37. Calcular J:oo x 4~ 1

-

Considere fc z4 ~ 1

,

donde C es el contorno cerrado del problema 35 consistente del segmento rectilíneo

de -R a R y la semicircunferencia r, y el recorrido en el sentido positi~·o.

Como z 4 + 1 = O cuando z; = e"il 4 , e 3 ri1 4 , e:t'" 1 ", e 1 " 14 , estos son polos simples de lj(z 4 -.- 1).

Solamente los polose'll"i/4 ye31ril4est.án dentro de la región. Usando la regla de !..'Hospital,

•

1&2

TEORTA DE VARIAHU: COMPLEJA

[CAP. 5

Kesiduo en e'·i-'t

1

4' :h-iil

lim -({Z

~-e:l,.>l-1-:

! 1

,-!lr.iN

.¡

As~

(/{ dx:

(2)

l'S decir.

.J n Xi-1

Tumando el límite cuando R ->Oo en los dos miembros de (2) y mando los resultados del problema 36

1enemos que

Como

.r

dx

38. Demostrar que 1:

x4 _¡ 1

(x'

j •H

Ji m

1/ -• r _ R

dx

_;. 1 1

dx

x4 + 1'

+ 1)' (x' + 2x + 2)

• ..¡?.

la integral requerida vale -¡--

(J)

¡

Los polo~ de (z2 + 1)2 (z2 + 2z + 2) encerrádos por el contorno C del problema M son z

2 y z """"" -1 + i de orden 1.

i de orden

El residuo en z - i es \

. d r 1 ··)"' z2

nn - l z- r - ---·----- - ----- · 1 >

,. .... ,(lz, (z+i)2(z-i)2(z2-t-2z+2)_;

9i-12

100

El residuo en z

1 +- i es.

i)(z + 1 + i)

Entonces

J.'

z~ dz

.~- (z2 + 1)2 (z2 + 2z 1 2)

2 .J9i-12 3-4;!

;rl 1.----¡ijj)- + -~ r

o

J ~

z2 d:z

+ . 1' (z2 + 1 )2 ('e,,;(". +~2~,~+~2~)

h

50

Tomando el límite cuando R _..<X> y observando que la segunda in~gral tiende a cero por el problema

3.5, obtenemos el resultado requerido.

39. Calcular (~"" dO

Jo 5 +á senO·

::;ea z e;B. Entonces sen8

z- z-1

-- 2

-i- dz ::::o ie; 8 dB = iz d6 de manera que

J: dzliz

.1; -----'~( ' "----:-e, \

5 + 3 -_-2-:-;

¡_·

2 "'

fr 3z2 + lO:"z 3

donde Ces la cir<:unferenc:ia de radio unidad con ccntrn en el origen, como :;e mue~tra en la Fi¡¡:. 5-lft .

•

CAP. ó]

Loo; polo¡; de

3 z 2 + ¡Oiz __ 3

'

TEORIA DR VARIABLE COMPLEJA

son los puln~ o;imples

-lOi ..... V-100 + 36

6

-lOi +Si

6

-3i, -i/3.

Solamente i/3 está en la región interior a C.

Residuo en -i/3

de J.'Hospital.

l1m . ( z +-')( 2 -

~--u:.~ 3 3z2+10u:

•

Entonces

2

•

lim -~

z .... --i/:}6Z T 10t

es el valor requerido.

•

1

'

\i. ",, ¡lOr la regla

4 t ',,

i " 3

40. Demostrar que

cos 8 dO

0

5-4cos(;l

-.-

z + z-1 cos

Si z:;:::: e•B, cos 6

36

2•

___ cos

Entonces

36 de

o 5---4coso

i

donde e es el contorno del problema 39.

12

::: e3W + e -3i9

2

.t 5

(z3 + z-3)/2 dz

' + , ') iz

(

-4 --.-

za + z-3

-- 2

-- , dz :::: iz de.

1 ,( z6+1

- 2i ~ z3(2z l)(z

El integrando tiene un polo de orden 3 en z = O y un polo simple z -! en la región encerrada por C.

2 ) dz

El residuo en z =

O es

El residuo en z = ! "

Entonces

mostrar.

-t~

z3(2z

{ z"+ 1

lim (z- !> · z3(2z l)(z

2-1/2

2)}

z"+l 1 ·{21 65}

2 ) dz - 2i(2 '1Tt) 8 - 24

l)(z

21

s·

65

-;¡¡·

= • como " quería

i2

d•~

41. Si if(z)\ "' ::, para z

R;', donde k > O y M son constantes, demostrar que

lim r e;m. f(z) dz

R_,.,Jr

donde r es el arco semicircular del contorno del problema 35 y m es una constante

positiva.

f eimz f(z) dz

r

Entonces 1 ~rr eimReiB f(ReiB) iRlli6 de] ~ .( "leimReil1 f(ReiB) iReilll de

o

.(rr lelmRens6- mR,~nl) f(Re;9) iReiBl d8

f"" e· mRsenll lf(Reill)l R diJ

"

M [e

. "

;;§¡ Rk-l e--mRsen9d(J

2M i-.r/2 e-mR sen fJ de

Rk-1

"

•

164

TEORIA DE VARIABLE COMPLEJA LCAP. 5

Ahora, sen fJ ~ 28/rr para O ~ 6 :2: u/2 (véase el problema 3, Cap. 7), Entonces la última integral

es menor o igual a

--

2M 1'"'

e-:!mR/.1/lT de

Rk-J

"

Cuando R --> oo esto se aproxima a cero puesto que m y k son positivos. Así queda probado el resultado

requerido.

42.

Demostrar que i"" cos mx dx

o x 2 + 1

Considérese

--dz

f eimz donde

e z2+ 1

El integrando tiene polos simples en z =

El residuo en z

i es

m>O.

e es el conturno del problema 35.

± i pero únicamente z

,-m

2i .

i está encerrado por C.

o,..

Entonces

J: elmz dz

.1'c z2 + 1

R

S

+ --dz

1' z2 + 1

eim;¡:

'+ 1 dx

-R X f einoz

R cosmx d + ·fH senmx d

es decir

f -R x2+f X t -R x2+1 X f.

de manera que

¡rC-m

+ -·-- e•m~ dz

l' z 2 + 1

2SR cos mx dx + j' --~ dz

0 x2+1 rz2+1 ?re-m

Tomando el lim R -... o y usando el probleÍna 41 para demostrar que la integral a lo largo de 1' tiende

a cero, obtenemos el resultado buscado.

.., senx dx

43. Demostrar que

i

' X

El método del problema 42 nos lleva a considerar

la integral de eiz¡z a lo largo del contorno

del problema 35. Sin embargo, como z = O pertenece

a la trayectoria de integración y como no

se puede integrar sobre un camino que pase por

una singularidad, debemos modificar dicho contorno

para que no pase por z = O cambiándolo

por el contorno C' o sea el ABDEFUHJA, que se

muestra en la Fig. 5-16.

o

o bien

Comoz =O está por fuera de C', tenemos que

f '" -d,

e '

o

f rei:r.dx+

-R X Í

HJA

. ,,, f" ,,, f "'

• ---;-dz + r ----¡;- dx + z dz

lWEF'G

Remplazando x por -x en la primera integral, al combinar ésta con la tercera, obtenemos

R ei•- e-ü dx +

f

• ' X J

·fR senx d

2> --X

' X

HJA

eiz dz +

'

-J

RJA

J . "" -dz

lWEVG '

f ,,,

-dz

z

BDEF'G

o

o

•


Hacemos que r--> O y R -+ OQ. Por el problema 41, la segunda integral de la derecha tiende a cero y con

la primera ocurre que

o eireil.l .

- lim -.-

i

11

ire•ll d9

r.i

, ..... o rr re'

puesto que podemos turnar límite bajo el signo integral.

Tenemos entonces que

lim 2ij' R sen~ dx

,_,

R-oo , X

o

("" senx dx

J\1 X

PROBLEMAS VARIOS

44. Consideremos una transformación del plano z (plano xy) en el plano w (plano uu) definida

por w = z2, consideremos también el triángulo del plano z cuyos vértices son

A(2, 1), B(4, 1), C(4, 3). (a) Demostrar que la imagen o aplicación de este triángulo

es un triángulo curvilíneo del plano uv. (b) Hallar los ángulos de este triángulo curvilíneo

y compararlos con los del triángulo original.

(a) Como w = z2, tenemos que u= .r2 - y2, v = 2.ry son las ecuaciones de tmno;formación; entonces el

punto A(2, 1) del plano xy se aplica en el punto A'(3, 4) del plano uv (obsi!rvense la~ figuras). Análogamente,

los puntos By C se aplican en B' y C' respectivamente. Los segmentos rectilíneos A C, BC, AB,

del triángulo ABC se aplican en ]os segmentos parabólicos A' C', B' C', A' C' del triángulo curvilíneo A 'B' C'

con las ecuaciones que hay escritas en las partes (a) y (b) de la Fig. 5-17.

V C' (7,24.)

•

(a)

Jl=l (4,1)

•

(b)

u

Flc. 5·17

(b) Lapendientedelatangent"Jalacurvav2 =4(l+u)en(3,4)es m- dvl - "1 - 1

1 - du-<~. 4 )- v ( 3 , 4

¡- 2-

La pendiente de la tangente a la curva u2 = 2u + 1 en (3, 4) es m 2 3.

En A' el ángulo 6 entre las dos curvas está dado por

3-!

1+(311!1

l.

y (j :- r./4

Análogamente, podemos ver que el ángulo entre A'C' y B'C' es rr/4, en tanto que el ángulo entre

A' B' y B' C' es 1fj2. Resulta entonces que los ángulos del triángulo curvilíneo son iguales a los correspondientes

del triángulo original. En general, si w = f(z) es una transformaáón tal que f(z) es analítica, el

ángulo entre dos curvas del plano z que se intersectan en z = zo tiene la misma magnitud y sentido

(orientación) que el ángulo entre las imágenes de las dos curvas, siempre que f' (zo) #-O. Esta se llama la

propiedad conforme de las funciones analíticas y por esta razón la transformación w = f(z) se llama una

tran.~formación conforme o aplicación conforme

•

166

TEORJA DE VARIABLE COMPLEJA [CAP. 5

45. Consideramos la transformación del plano z en el plano tJ..' definida por w = v'Z. Un

punto se mueve sobre la circunferencia 1 z 1 =- 1 en sentido positivo. Demostrar que cuando

el punto ha regresado por primera vez a su posición de partida, su imagen aún no ha

regresado, pero cuando ha llegado por segunda vez, su imagen regresa por primera vez

a su posición de partlda.

Sea z =ew. Entonces w = ,/Z= r.i61'2. Supongamos que IJ = O corn'"sponde a la posición de partida.

Entonces z = 1 y w- 1 [rorrespondicnles a A y P en las partes {a) y (b) de la Fig. 5-18).

(a)

Fig. 5·18

(b)

Cuando se ha realizado una revolución completa en el plano z. 8"""'" 211", z = 1, pero U.-'= p16!2"'" eifr = -1

de tal manera que el punto imagen no ha regresado aún a su punto de partida.

Sin embargo, después de dos revolucione;; completas en el plano z, 11 = 4v, z = J y w = ei8t2 = f'2:rrl = 1

de tal suerte que por primera vez ha retornado a su punto de partida el punto imagen.

De lo anterior, se deduce que w no es una función sino una relación ri l!alor doble de z, es decir, que dado z,

hay dos valores para 1v. Si queremos considerarla como una función debemos restrint:tir fJ. Podemus escoger

por ejemplo que O ~ 8 < 21r, aunque hay otras posibilidades. ~sto representa una rama de la relación a doble

valor w = v'Z. Si salimos de este intervalo encontramos una segunda rama, por ejemplo en 2tr ~ fJ < 4:T.

El punto z ~O alrededor del cual se efectúa la rOtación se Llama punto de ramificación. En forma equivalente

podemos asegurar que f(z) = ,/Zes una función al imponerle la condición de que no corte el eje ()x que

se llama una recta-de ramificación.

46. Demostrar que .{"' ;:~ dx O<p<l.

Consideremos

J: ,,-'

Yc 1 + :zdz.

Como z = O es un punto de

ramificación, escogemos un contorno C como el de la Fig. f¡-19

en el cual AR y GH en realidad coinciden con el eje x, pero

se dibujan separado& para lograr una mejor visualización.

EL integrando tiene como polo a z = - 1 que está encerrado

por C.

El residuo en z =- 1 -

e"i es

:zP-1

?~~~ (z+l) l+z

efp-l)ni

J: :;:P-1

Entunre~ ~'fc 1 + z dz

omitiendD el integrando esnibimo~

.f + .f + J+J

AB BDEFG GH HJA

Fig. 5-19

•


Entonces tenemos que

__ -l iReiOdfJ

R xP~~ 2 .[ ,¡- (ReiO)P

[ • r 1 +X 0 1 + Ré6

dx + -----

+ fr {xe 2 1Ti)r>-~ dx + fo (rei{l)w-11reitld8

R 1 + ;rr 2 m • 2 " 1 + reill

Aquí hemos utilizado z = xeh; para la integral a lo largo de GH puesto que el argumento de z se incrementa

en 2;r al recorrtr la circunferencia BDEFG.

Tomando el límite cuando r....,.O y R _..,..y teniendo en cuenta que la segunda y la cuarta integrales

tienden a cero, encontramos que

"' xr-t j' 0 e2,.irr--ll x¡¡-t

[ l+xdx +

1

dx

o .,.

de manera que

..•,-'

J O 1 +X

'O o +X

--dx

[ " ,,_,

(1 - e2.,i(r-u¡ --- dx

• o 1 + ;r

2r.i e(r 11,.;

2r.i

1 e2<ritr tJ prrri e·,,.;


N UMEROS COMPLEJOS. FORMA POLAR

47. Efectuar las operaciones indicada:;:

5 10

(a) 2(5- 3i) - 3(-2 + i) + 5(i- 3) (e) 3- 4i + 4-+- 3i

(b) (3- 2i) 3

(d)

(l=i)" 1 + i

Resp. (a) 1-41, (b) -9- 46i, (e) 1 J- ~i, {d) -1, (e) Y+. (f) Y--~ i

2-4il'

(e) 15+7i

111 (1 + i](2 + 3i)(4- 2,)

(1 + 2i)2 (1 1)

48. Si z 1 y z 2 son complejos, probar que (a) 1*1 (b) lzfl lz 1

12 y decir qué restricciones hay.

50. Hallar todas las Soluciones de 2z4- 3z3- 7z2- 8z + 6 o. Resp.3, ~· -l:::!:i

51. Sean P 1

y P 2

Los puntos del diagrama de Argand que represent-an a z 1 y .::2 respccti~·amente. Construyamos

las líneas OP 1

y OP , 2 donde ()es el origen. Demostrar que z 1 ....... 22 está representado por el punto P 3 , donde

OP 3

es la diagonal del paralelogramo con lados OI't y OP 2 • F.~ta se Llama la le.v del paralelogramo para la suma

entre números complejos. Por ésta y otras propiedades los complejos se pueden considerar como 1wctores en dos

dimensiones.

52. Interpretar geométrieamente las desigualdades del problema 49.

53. Rxpresar en formu polar ((t) 3v'3 + 3i, {b) -2- 2i, (e) 1 -- .,f3 i, (d) 5, (e) -5i.

R1~sp. (a) 6 cis .,./6, {b) 2v'2 cis 5,./4, (e) 2 ds 5rr/3, (d) 5 cis O, (t') 5 cis 3v/2

54. CalcuiiH (a) :2(cos 25" + ·¡sen 25'')] [5(cos 110° + i sen 110")),

Resp. (a) -5Vz + 5/2 i, (b) -2i

12 cis 16°

{b) (3 cis 44°)(2 cis 62°) ·

•

168

TEORIA DE VARIAHLE COMPLEJA

(CAP. 5

55. Determinar y representar gráficamente las raÍl--es que se indican a continuación:

(a) (4\Í2 + 4V2 t)IIS, (b) (-1)1':>, (e) (-./3- i)113, (d} i•'"·

Resp- {a) 2 cis 15°, 2 cis 135°, 2 cis 255°

(b) cis36°, eis108°, cisl80° = -1, eis252°, cia324°

(e) ~ cis 110°. w cis 230°. V2 cis 360°

{d} cis22,5", cís112,5", cis202,5", cis292,5"

56. Si z 1

=r 1

cis 1 1

y z 2

= r tcis 1 2 , demostmr (o.) z 1 z1: = r 1 f"2 cís (11 + 12), (b) ztfz:z = (rth·J cis (of¡- f2).

Hacer las interpretaciones geométricas.

FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

57. Describir el lupr geométrico de (a) lz + 2- 3il = 5, (b) lz + 2! = 2lz -1[, (e) lz + 5~ - !z- 5~ 6.

Construir una figura en cada caso.

Rf"sp_ (a) Cin:unferencia (x + 2) 2 + ()'- 3)% = 25, centro (-2, 3), radio á.

(b) Circunferencia (.:.: - 2) 2 + y 2 = 4. centro (2, 0), mdio 2.

(e) Rama de la hipérbola .~:2 /9 -- y2f16 = 1, donde x ~ 3.

58. Determinar la región del plano z correspondiente a:

(111) lz-2+•1 ~ 4, (ft) lz! ~ 3, O~ argz ~ ¡. (e) !z-3\ + lz+31 < 10.

Construir la figura en cada caso.

lksp. (a) Parte exterior y fronlera del círculo U - 21' -+ (y .... 11 2 = 16.

(b) Región del primer cuadrnnte acotada por .x- 2 - y! = 9, el eje x y la recta). x.

(e) Interior de la elipse x! J'&J - y2 ¡16 = 1

59. Expresar cada una de las siguientes funciones en .la forma u(x,:rl .... ídx,yl donde u y e son reales.

(a) z3 + 2iz, (ft) z/(3 + z), (e) ~,

(d) ]n (1 + z).

Jksp. (0.) H = zll- 3zy2- 2y, V = 3:r:2y - y3 + 2z

r'l + 3z + 11'

a.

(b) u

•

z2+6z+y2+9'

z2+6z+y2+9

(<) u e"'-~ cos by,

•

er2- ~ sen hu

(d) u= Jln{(l+zl'+v'}, •= tan-•-·-+2kr

1+:r: •

k 0,±1,±2, ...

60. Utilizando las definiciones. demostmT que (al lim z 2 = zij. (bl f(zl = z 2 es continua en z = Ze

•-'o

81. (al Si z = 11o1 es una rai:t de zS ""' 1 distinta de 1, demostrar que la totalidad de las raíces son l,~~o~,J, ~. ,4.

(b) ProbaT que 1 +"' +,;. + ~ + ,.4 = O.

(e) GeneralízaT los resultados de las J.oarl.es (a) y (bl a la ecuación zll = L

DERIVADAS. ECUACIOSES DE CAUCHY-RIEMANN

62. (a) Si a· = f(zl = z - ! , calcular dw directamente de la definición.

z dz

(bl ¿Para qué valor-es finitos de z /(des no analítica?

Re~p. (a) 1 - 1/z 2 , (b) z = O

63. Considérese la función u·'""'" z-'. {a¡ Hallar la.<> funciones reales u y t· tales que u·= u -+- it•. (b) Demostrar que

satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo el plano finito. (d Probar que u y r son funciones aTmónicas.

ldl Cai('"Uiar dtL'dz. lk-sp. (a.) u :::: rt-6H -t- yt, 1' :::: .Czly--hFJ (d) 4zS

•

CAP. 5]


169

64. Demostrar que f(zJ = zjzj es no analítica en todas partes.

65.

66.

1

Demostrar que {(z) = - - es analítica en cualquier región que no contenga a z = 2.

z-2

Si la parte imaginaria de un función analitica es h(l -- y), determinar la) la parte real, (b) la función.

Rrsp. (o) _,..2 - .x2 - 2y ¡ e, (b) 2iz - z2 + e, donde t: es real.

67. Construir una función analítica /(z) tal que su part.e real sea,.-~ (.x cos y +y sen y) y que /(0) = L

Resp. ze -~ + 1

68. Demostrar que no puede baber función analítica cuya parte imaginaria sea z2 - 2y.

69. Hallar /(z) tal que f(z) '- 4z - 3 y /U + i) = -3i. Resp. f(z) = 2z 2 - 3z + 3-.fi

INTEGRALES DE LINEA

f

f.t,:U

70. Calcular (x +y) dx l b· -- xl dy a lo largo de (al la parábola y2 = .::l, (b) un segmento rectilíneo,

(l,ll

(e-) segmento.-; rectilíneos de (1, 1) a (1, 21 y luego a (4, 2), (d) la curva x = ?JZ + t + l, y = t2 + L

Re'l';p. (a) 34f3, (bl 11, (e) 14, (di 32/3

71. Calcular f (2..; - _.,., + 41 d:x.-+- (Sy + 3x. - 61 dy alrededor del triángulo de vértices (0, 0), (3. O), (3, 2) -recorrido

en la dirección positiva. Resp. 12

72. Cak:ular la integral de Linea del ejemplo precedente, ahora alrededor de la circunferencia de radio 4 con centro

en to. 0). &sp. Gb·

TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO. INDEPENDENCIA DEL CAMINO

73. Comprobar el leorema en el plano en .C (J:·2 - .xy3) dx -t b·2 - 2x}·) dy donde Ces el cuadrado de vértices

-"'·

en (0, OJ. l2. Ol, (2,. 21, y (0. 2). &-VJ. Valor comUn = 8

74. (a 1 Sea Cuna cun"a cerrada simple que encierra una región de área A. Demostrar que si a1, as, aa. bt. b,, b,

son com>lantes. entonces

. (b) ¿Bajo qué condiciones vale cero la integral de la línea alrededor de cualquier camino C'!

&!sp. (b) f12: = bt

75. Hallar el 8rea ent't'rrada por la hipocicloide .:r~3 + yt/S = a%/S.

(Su~f'l'náa. Las et"uac-iones parametricas son r = a cos3 t, y a senSt, O~t ~2r.J

Resp. 3..-a%/8

76. Si .:r = r cos 1. y = r sen 6, demostrar que ! f .:r dy - y dx = -J f r'~-dl e interpretar el resultado.

77. (u 1 Comprobar el leon-ma de GrHn en el plano para t

f.:r-3 - .x2 y) d.:r + .:ry"dy, donde Ces la rrontera

de la región enl't'rrada por las circunferencia:s .:r2 + y:! _ 4 y .x2 --t- y:! = 16.

( h) Calcular las integn~les de linea de los problemas 71 y 72 mediante el teorema de Green.

Resp. (a) Valor común= 121);-

78. Demostrar que

es independiente del camino que une a (1, O) y

(2. ]). (b) Calcular la integral de línea de la parte (a) . lll'"tp. (b) 5.

•

170 TEORIA DE VARIABLE COMPLEJA

[CAP. 5

INTEGRALES, TEOREMA DE CAUCHY, FORMULAS INTEGRALES DE CAUCHY

f '"

l-2í

79. Calcular (2.z + 3) dz:

(a) a lo largo del camino x = 2t + 1, y = 4t2 - t - 2 donde O~ t ;:;:; l.

(h) a lo largo dd segmento que une 1- 2i con 3 + i.

(e) a lo largo de los segmentos que van de 1-2i a 1 + i y luego a 3 + i.

Resp. 17 .,. 19i en todos los casos

80. Calcular f (z 2 - z + 2) dz, donde Ces la mitad superior de hi circunferencia 1 z 1

e

positivo. Resp. --14/3

1 recorrida en sentido

81. Calcular e es la circl!nferencia (al lz 1 2, (b) 1' -31 ~ 2. Resp. (a) O, (b) 5'1Ti./2

82. Calcular .fc (z + ;~z _ l) dz, donde C es: (a) el cuadrado de vértices en --=1 -i, -1

2

+ i, -3 + i, --3 -i;

(b) la circunferencia lz+i[=::l, (e) la circunferencia lzl = ..._/·"2':

Resp. (a) -81l"ij3 (b) -27Ti (e) 2tri/3

83.

Calcular

a z = 1.

(a) J.' cos r.z dz,

.re z-1

Re.~p.

(a) -2lri

f e'~'+z

(b) 'e (z-f}1dz

(b) rrie /3

donde C es cualquier curva cerrada simple que encierra

84. Demostrar las fórmulas integrale~ de Cauchy.

(Sugerencia. Use la definición de derivada y aplique la inducción matemática.]

SERIES Y SINGULARIDADES

85. ¿Para qué valores de z cnnverge cada serie?

(a) :i '(z +:~, (b) :f n.(z -· i)", (e)

n=l n! n=! n+l

Resp. (a) Para todo z (b) lz- il < 1 (e) z = -l±i

:S (-l)"n! (z2 + 2z + 2)2"

n=l

86. De mostrar que la serie

1 z 1 -g¡ l.

Í -

1

'+"

11

n=t n n

es: (a) Absolutamente convergente. (b) Uniformemente convergente para

t

87. Demostrar que la serie

radio R tal que iz + i 1 <

~ SE_± i)~

... "f:.o 2" converge uniformemente dentro y sobre cualquier circunferencia de

R < 2.

88, En cada una de la~ siguientes funciones Localizar todas las singularidades finitas; sí las hay, identificar de qué

tipo son.

z-'2

(a) (2z + 1)4 '

(b} (z -ll~z + 2)2 '

Resp. (a) z =- &. polo de orrlen 4.

z2 + 1

{e) Tt2z+2'

(b) z = 1, polo simple, z = -2 polo doble.

(e) Polos simples z = -1 :+-i.

1

(d) cos z'

(e) sen{z -,./3)

3' "

cos z

ID 1•'+ 41'.

(d \ z = O singularidad esencial.

(e) z = Jrj3 singularidad evitable.

(/) z = ±:.?:i polos dubles.

89. En cada una de las siguientes hHl(:ione~ hallar la serie de Laurent alrededor de la singularidad indic11da e identificar,

en cada caso, el tipo de singularidad. Decir cuál ef: la región de converg-encia de r.ada serie.

1 a 1 z

cos

_ rr;

z

z = (b) ' ,; o 11 ,, . 1

;r x· e- z; z = e (z

1 ) 2 (z +S) ; z -

Resp. la) + ' - < (z- .,¡;l (z- ¡r)5

- + polo simple, todo

2! ----¡-¡·--· -,-!- z =r fT

,_,

(b)

,,

' + 2! 3!z + 1

4fZ2 5! z:l

(o)

+ sing-ularidad esencial, todoz#O

1 7

4(z- 1) + U<

2 16(z- 1) 64 256

+ 9 9(z- 1)

+ polh doble.

1' ll < 4.

•

CAP. 5] TEORI-A DE VARIABLE COMPLEJA l7l

RESIDUOS-TEOREMA DE LOS RESIDUOS

90. En cada una de las siguientes funciones, determinar los residuos en sus polos

(a) 2z+ 3 z-3 e"

z

(b)

(e)

(d)

z2- 4' z 3 + 5z2' (z-2)3' (z2+ 1)2'

Resp. (a) z = 2; 7/4, z = -2; 1/4 (e 1 z = 2; t

'

(b) z =O; 8/25, -5;

'~ ··8/25 (d) z = i; O, z = -i; O

91. Hallar el residuo de elt tan z en el polo simple z = 311" ¡2. Resp. -e3..-t/2

92. Calcular

J.' z2 dz

J'c (z + l)(t' + 3 ) , donde

C es una curva cerrada simple que encierra todos lm; polofl del integrando.

Resp. --B~ri

93. Si C es una curva Cerrada simple que encierra a z = ±i, demostrar que

.( ~dz

.'fe (z2+1)2

-kt sen t

94. Si /(z) = P(z)JQ(z) donde P(z) y Q(z) son polinomios tales que el grado de P(z) es por lo menos dos menos que

el de Q(z), demostrar que .f. /(z) dz =o, donde e encierra todos los polos de f(z).

e

CALCULO DE INTEGRAl. ES DEFINIDAS

Usanl'l.o la integración de contornos verifir:ar que:

95. ("' x2 dx

~o x4+1

96. r.

97. e dx

• o (x2 + 4)2

98. f" Y. dx

0 X~+ 1

99 i"' dx

• o (x4 + a4)2

2v

3a5 '

•

32

•

3

2

f.

v cos ns do

105. ,.--;c"c"":-'::..,.,.

0 1 2acoso+a2

106.f2;r fhJ

0 (a + b cos o):l

a>O

~a~1

sy2 '

a>O

100.

101.

102.

103.

104.

r

dx

•

. -·

.r do o 2 co" v3

"·

f2v clo 4vv'3

(x2 + 1)2 (x2 + 4) 9

-.-

o (2 + cos 6)2

sen

f. 2 O

do

4 coso ' 8

.r

21ran

1 _a 2 ' n:::0,1,2,3, ... , O<a<l

(2a2 + b2)v

(a2 b2)512'

a> lb\

do 3u

0 (1 + sen2 s)2

2;12

107.("' xsen2xdx:::

• o x 2 ..J.. 4

108. ['"" cos 2rrx. dx =

• 0 x1 + 4

110. ("' sen .:r dx

Jo .r(x2+1)2

111. sen., x dx

f ' '

' x-

' 2

7r(2e- 3)

~-.-,~-

109.f"' x sen vx dx

o (x2+1)2

113.

f

0

.., cosx d

4

112.

3v

8

coshxx=

2 cosh {~r/2) ·

tC

eiz

[Sugel'f'ncia: Considere J'c cosh z dz. donde C es un rectángulo de

vértice!; t"n (-R, O), (R, 0), (R, v ), (-R, v). Luego haga qm~ R ..... oo.J

•

172

TBOHIA DF. VARIABLE COMPLF~JA [CAP. 5

PROBLEMAS VARIOS

114. Si z = réO y f(z) -=u {r, o) t- il•(r. OJ, donde r y /J ,.:,on ~~oordenadas ¡_miares, demostrar que las ecuaciones de

Cauchy-Hicmufln son

av

ar

1 '"

rÓ9

115. Si ¡¡: = f(z) donde z ~ x 1 iy, u·

mación es

u 1 ir y /(zl es analíiiea, demostrar f¡ue el Jacobiano de la tran¡,fora(

u, t>)

O(x,y)

116. Supongamos que F(x, _v} se convierte en G(u, vi por la iransformación w = f(z). Demostrar que si

azF rr 1 G r1~G

¡¡:¡¡2 =O. entonces en todos los puntos en que f'(z) -;-0. il1¡i-, nv 2- =O.

117. Dcmo>.trar que mediante la tran~furmrzción bilineul IJ

se transforman en ·irculws del plano w.

9' 2 -~, donde ad - he +- O, los círculos del plano z

cz + d

118. Si /(zl es analítica dentro y sobre la circunferencia lz -al= R, demostrar la desigualdad de Cauchv,

n!M

7F'

donde 1/(z}l;;;; M dentro del círculo. [Suf.,'erencirl. Use la~

fórmulas integrales de Cauchy.]

119, Sean e, y C2 circunferencias concéntricas de centro en a y radios r¡, r2 respectivamente, dondc r¡ < r2. Si

a+ h e~ cualquier punto de la región anular comprendida entr~ C 1 y C2 y ~¡ /(z) es analítica en esta región.

demostrar el lenn>ma de La!tn'tli

/(a.+ h)

donde

e es una curva cerrada en la región anular y rodea a ('¡.

[Sugerencia. F.xprese f(a ...- h)

dos maneras diferentes]

1 ,( f(z) dz

- 21Ti Yc" z - (a+ h) -

1 ,/..' f(z) dz

2tri .Yr

1

-;----= (aTh)

y desarrolle

120. Hallar un desarrollo en serie de Lanrent. para lu función /(z.l ~ (z + l}(z + 2

) que converge pura 1 < lz 1 <2 y

diverge en cualquier otra parte.

-1 2 -1

[ .Sugerencw. Es1·riha .(z + 1 )(z ' + ·z-) ~ + Z+2 Z(C _¡:-1/z) +

Resp

,, ,,

1 1

z¡¡+ ,, :;¡ + z2 + 1 - ' + + ...

2 4 8

'

1

1+ ,¡2·]

•

Capítulo 6

SERIES DE FOURIER

Sea F(x) una función que satisface las siguientes condiciones:

l. F(x) está definida en el intervalo e < x < e + 21.

2. F(x) y F'(x) son continuas seccionalmente en e < x < e + 2l.

3. F(x + 2{) = F(x), es decir, F(x) es periódica con período 2l. _

. "d . \ \,\\ -- ' -\ ::;- í;:, . ',. (,_,~-\\ 1~- ,, \· ""\1

Entonces, en ca d a punto de cont.Jnui ad se tiene que .1\ "'1 _ -~~\...0 · ¿_ / \l ..., \ ·· ..:.\._ ) '-' · '·

.¡· ' (___

donde

F(x)

a.

b.

a, • ( n'l'Tx n7'/"J:>,

2 + .~, a.cos- 1 - + b.sen- 1

1

f

~+2l

n~x

I F(x) cos-- dx 1

'

1 fr+21 -n?!"X

I F(x) sen- 1

- dx

'

-; \ (/) ~

r . , \ ' ,..,\ . \

t_ 'l -le\-\ < ) )1 \)JI"'\ \ ". ". "

•/". --=- - \ \,'- '· ' 1

T Q

"-- l ~-\: \\ ~_; \.¡ """' {J\

í J

..,, í\ ' \\\ \

En un punto de discontinuidad el miembro izquierdo de (!) se remplaza por !]F(x + O)

+ F(x -0)1, es decir, el valor medio en la discontinuidad.

La serie ( 1) en la cual los coeficientes están dados por (2) se llama la serie de Fourier de

F(x). En muchos problemas se tiene que e vale O o ---l. Si l = -n-, F(x) tiene período 27f y

{1) y (2) se pueden simplificar.

Las COI)diciones que acabamos de establecer se llaman las condiciones de Dirichlet y son

condiciones suficientes (pero no necesarias) para la convergencia de series de Fourier.

FUNCIONES PARES E IMPARES

Se dice que una función F(:r) es impar cuando F(--x) = -P(:r). Así, xs, xs - 3xa +

2x, sen x, tan 3x son funciones impares.

Se dice que una función F(x) es par cuando F(-x) = F(x). Así, x~, 2:r6 - 4:r + 2 5,

cos x, ex -+- e-x son funciones pares.

Las funciones que se muestran en las figuras 6-L y 6-2 son impar y par respectivamente,

en tanto que la de la Fig. 6-:{ no es impar ni par.

En las series de Fourier correspondientes a funciones impares aparecen sólo los términos

de la función seno. En las series de Fourier correspondientes a funciones pares aparecen sólo

!m; términos del coReno (y posiblemente una constante que se puede considerar como un término

del coseno).

173

•

174

SERIES E INTEGRALES DE FOURIER [CAP. 6

~

F(x) ~

Fig.6-Z

Flr.6·3

SERIES DE FOURIER EN SENO O COSENO, DE SEMI-PERIODO

Una serie de Fourier en seno o coseno, de semi.período, es aquella en la cual se presentan

términos del seno solamente o únicamente del coseno. Cuando se desea que una serie de semiperíodo

corresponda a una función dada, la función generalmente está definida en el intervalo

(0, l) [que es· la mitad del intervalo (-l, l); de ahí el nombre de semi-período] y dicha

función será, entonces, par o impar; así quedará perfectamente definida en cualquier otro semi-intervalo,

por ejemplo en (-1, O). En ·este caso tenemos que

an =O,

bn =O, a.

1

2f

1 F(x)sen -l- nr.x dx para series en seno de semi-período

' 1

2 J' F( ) nnX d . d . • d j

y x cos-l- x para sP.nes en coseno e semt-perw o

'

FORMA COMPLEJA DE UNA SERIE DE FOURIER

En notación compleja, la serie de Fourier (1) con coeficientes dados por (2) puede expresarse

como

al tomar ~ = -l,

véase el problema 74.

F(x)

1 f' 2l

F(x) e- imrxn dx

~ 1 ~' i ,'~ t \ \

( "< 1 J \ ,-q Q ~

\)

IDENTIDAD DE PARSEVAL EN LAS SERIES DE FO}JRIER, "'J .J

La identidad de Parseval establece que

!f'

l

(F(x))'dx

donde Un y bn están determinada A por ·(2).

_,

(~\~ ~ ·: 2~ ( n, Q l. l J -f: ¿

.Y

a'

' + Í (a;;+ b!)

2 n=l

Una consecuencia importante es:

!i..?!f 1 1

F(x) sen n~x dx o

que se conoce como el teorema de Riemann .

o

)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

"·l!··

•

CAP. 6] SERIES E INTEGRALES DE FOURIER 175

TRANSFORMADAS FINITAS DE FOURIER

La tran.'iformada finita de ;;eno de Fourier de F(x), O < x < l se define como

t

J

n1rx

f, (n) = " F(x) sen - 1

- dx (8)

donde n es un entero. La función F(.r) se llama la 'ínversa_de la transformada finita de seno

de Fourier de { 1

(n) y está definida por

F(x)

=

2 "" n1rx

y ~ f, (n)sen - 1

-

n=t,

La transformada finita de coseno de Fourier de F(i ), O < x < l se define como

!, (n) J' F(x) coa n~x dx

o

donde n es un entero. La función F(x) se llama la inven;a de la transformada finita de coseno

de Fourier fe (n) y está dada por

(9)

(JO)

Véanse los problemas 9-11.

F(x)

1 2 ~ n~x

l f, (O) + 7."2/ (n) cos- 1

- (11)

Las transformadas de Fourier son útiles ·en la resolución de ecuaciones diferenciales

[véase el problema 32].

INTEGRAL DE FOURIER

Supongamos que F(x) satisface las siguientes condiciones:

l. F(x) satisface las condiciones de Dirichlet en cada intervalo finito -l ~ x ~l.

2_ _ IF(x)l dx converge, es decir, F(x) es absolutamente integrable en- oo < x

f-~

< ., .

Entonces, el teorema de la integral de Fourier establece que

donde

F(x)

A(.l)

s· {A(.I) cos .\x + B(!\) sen!\x) d.l

o

=

B(.l) =

s· )

1

;;: _" F(x) cos .lx dx

~ J_: F(x) sen .IX dx ·

Esto puede expresarse en forma equivalente

s· s·

como

F(x) z~ 1 , = -· ,__.F(u) cos .l(x- u) du d.l (14)

El resultado (12) es válido si x es un punto de continuidad de F(x)_ Si x es un punto de

discontinuidad, debemos remplazar a F(x) por !IF(x +O) + F(x- 0)1 como en el

caso de las series de Fourier. Tal como sucede con las series de Fourier, las condiciones anteriores

son suficientes pero no necesarias.

(12)

(13)

•

176 SERIF.S R IN'fEGKALES DE FOURI~R [CAP. 6

La semejanza de (12) y (13) con los correspondientes re!:mltados ( 1) y (2) para series de

Fourier es aparente. El miembro derecho de (12) se conoce como el desrlrrollo de la integral

de Fourier de F(x) o simplemente como la intet?ral de Fourier.

FORMA COMPLEJA DE LAS INTEGRALES DE FOURIER

La integral de Fourier (12) de coeficientes (13) puede expresarse en forma compleja como

F(x) (15)

Véase el problema 77.

f" f'

---:-

1

F(u) eülr-,.¡ du dA

2.. " -<

TRANSFORMADAS DE I'OURIER

De (15) se deduce que si

[(A)

rl w"l

e ü• F(u) du

Entonces

F(u)

1'•..1~

e_ (1 7)

que es F(x) al sustituir u por x.

La función f( .\)se llama la tmn:-:formada de Fuurier de F(x) y usualmente se denota por

f(A) = ~flF(x)i. La función F(x) es la tran.<;formada inua:-:a de Fourier de /(A) y se denota

por F(x) = 'f- 1 i/( A )l. Se dice también que (17) es una fórmula de inversión co~

rrespondiente a (16).

Obsérvese que las constantes que preceden los signos de integración son arbitrarias; la

única condición es que su producto sea 1/2n. Si cada una vale 1/~ obtenemos la llamada

forma simétrica.

\J~U ·~ ~,, ;)C

TRANSFORMADAS EN

COSENO DE FOURIER

La tran.~furmada

(infinita) en seno de Fuurif!r de F(x), O < x < oo, se define como

fs (.\)

j" F(u) sen AU du

"

La función F(x) se llama la inversa de la transformada Pn seno de Fourier de fs (A) y está

dada por

2 ("

F'(x) -;Jo fs (A) sen,\x dA (19)

(18)

\.

J'

La tran.~formClda

(infinita) en coseno de Fourier de F(x), O< x < oo, se define como

2:3

.[" F(u) cosAu du

(20)

l~-.í)

•

CAP. 6] SERIES E INTEGRALES DF. FOURJF:R 177

La función F(x) se llama la inuen;a de la transformada en coseno de Fourier de fe (.\),y está

dada por

F(x) = -2 .(" fe (A) cos .\x d.\ (21)

~ o

Véanse los problemas 18~20.

Las transformadas de Fourier son útiles para resolver ecuaciones diferenciales [véase el

p'roblema 33].

TEOREMA DE LA CONVOLUCION

La convolución de dos funciones F(x) y G(x), donde- eo < x < eo, se define como

F'G .[~ F(u) G(x- u) du H(x) (22)

Un resultado importante, conocido como el teorema de la convolución paro transformadas

de Fourier es el siguiente:

Teorema.

Si H(x) es la convolución de F(x) y G(x), entonces

(23)

o J'(F'G) 'f (F) 'f (G) (24)

es decir, la transformada de Fourier de la convolución de F y G es el producto de las transformadas

de Fourier de F y G.

IDENTIDAD DE PARSEVAL PARA INTEGRALES DE FOURIER

Si la transformada de Fourier de F(x) es f( ,\),entonces

f_~ ¡F(x)l' dx = 2 ~, J: lf(!.)l' di>. (25)

Esto se llama la identidad de Parseval para integra le~ de Fuurier y es susceptible de generalizaciones

véase el problema 80).

RELACIONES ENTRE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y f'OURIER

Consideramos la función

F(t)

{ ~-.. <>(t) t >o

t <o

Al sustituir A por y, en la fórmula ( lfi) de la página anterior, vemos que la transformada de

Fourier de F(t) es

J' {F(t)) (27)

donde ~ --= x + (Y. El miembro derecho de (27) es la transformada de Laplace de ~P(t); este

resultado establece la relación entre las trannformadas de Laplace y Fourier, e indica además

la necesidad de considerar a ,.; como una variahle cumpleja x + i_v .

(26)

•

1í8 SERIES E INTEGRALES DE Jo'OUHJER [CAP. 6

Para indicar mejor esta relación, nótese que si F( t) y G ( t) son nulas para t < O, la con~

volución de F y G dada por (22) puede expresarse como

y (24) corresponde a

F*G

J' F(u) G(t- u) du

o

(28)

.<: {F * G] .<: {F} .<: {G) (29)

en concordancia con (1 1 ), Pág. 45.

Como para la transformada de Fourier existe una fórmula de inversión ( 17) correspon~

diente a ( 16), es natural pensar que hay una fórmula de inversión análoga para la transfor~

macla de Laplace; en el capítulo 7 se deduce dicha fórmula de inversión.

Problemas resueltos

SERIES DE FOURIER

l. Demostrar que

' sen kr.x d

lcorx d

-~-X = COS - - X o si k= 1,2,3, ....

J¡

1

S

-'

{·'

sen k ·-~x dx

.J,

J '1

kr.x

cos--dx

' ¡

.. ,

kwxl'

l

- kw cos - 1

- _, - l cos kr. + _!-___ cos {-kr.)

k:o ' kr.

l

h-x¡'

¡

kr. sen1 - -! = kor sen kv ..!_ sen(-kv)

k"

o

o

2.

Demostrar

(a)

1

J

mr.x n.,.x d ' m.,.x nr.x

COS -- COS -- X sen --- ---sen-- dx

' l l f ' l l {~

S ' m7Tx

_,

norx d

(b) oen - C?S - - x

1 1

donde m y n pueden tomar los valores 1, 2, a,

o

m#n

m=n

(a) Sabemos que cosAcos R ~ !lcos(A-B! + cos(A + B)~, sen A sen B,... -¡:cos(A-R)

cos(A + Br.

Enton<:es, f>i m-#- n, tenemos, por el problema 1, que

·'

1

m:rx nr.x d

~ ··l cos - 1 cos - 1 - ,

"' e

'J ) (m.-n);;-x

2 1 leos--¡-

+ cos (m +l n)r.x} dx

o

Análogamente si m -¡i-n,

("'

1 sen

.. '

mux n;;x

- -- sen·-·,-- dx

1

1 e

1 f. ) (m-n);rx

2

(m+n)vx} d

¡COS l -cos X

. 1 l l

o

•

CAP. 6] SERIES E INTEGRALES DE FOURIRR 179

Si m n,

f ' mvx

_,

n1rx

cos - - ~os - - <1«

1 1

2 _

1 J' ( 2n.x)

1

1 - cos- 1

- dz

Obsérvese que si m n = O estas integrales son iguales a 21 y O respectivamente.

(b) Tenemos que sen A cos B = !:sen(A- B) + sen(A + B)l. Entonces, por el problema l, si m ~ n,

f

Si m= n,

l ?n?rX n:ux

sen-- cos -- dx

-t l . l

J·' m:ux nvx

""-- co• -- dz

-1 l l

l f' {>en (m-n)••

2 -! l

1 fl 2nüX d

- sen-- z

2 -1 l

+

(m+n):rrx} d•

SCni l .., o

Los resultados de las partes (a) y (b) siguen valiendo cuando los límites de integración se remplazan

por e, e+ 2/ respectivamente.

o

3.

Si la serie A + .. ~

" ( a,. cos- n1rx - n1rx)

1 1

+ bn sen - 1 - converge uniformemente ·a f(x) en

(-l, l), demostrar que cuando n = 1, 2, 3,.

(a) a. ~

J' n1rx

1

_ F(x) cos-e- dx,

'

(a) Multiplicando

J·' _,

F(z)

(b) b. ~

A +

lf'

¡ F(x)

_,

~

" (

Gn cos-

...-

•-l

1

m11"X • d

por cos - 1

- e mtegran o de -la l, tenemos, por el problema 2,

mvx

F(~) eos- 1

-

dz

A

f ' __

mvz

1

cos- 1

-dz

n,x d

""_¡_ X,

+ "_.. { a.. fl cos--cos--dx m;rX 1!.11'"X +

n=l _ 1 l 1

~ o.,l si m "=F O

f '

1 m1Tx

-¡ F(x) cos--dz si m 1,2,3, ...

1

'

a o

(e) A ~

2 . (/)

• (2)

f

t m11'"::c n;rx }

bn -t cos.T sen- 1

- dz

(b) Multiplicando (1) por sen m~:X e integrando de -1 a 1 obtenemos, haciendo uso del problema 2,

f '

m.x

F(z) sen - 1

- d«

_, f 1 mlTZ

A

sen--dz

1

~ '

mr:t n;rX

+ n~l {a._ f~t sen m;;X cos n~x dz + b...

f ' sen --

1

}

~ sen - 1 - dz

_,

(3)

1 JI m1rx

-¡ F(z)sen - 1

-dx

~ ¡

si m 1,2,3, ...

•

180 SERIES E INTEGRAl.ES DE FOURIRR

[CAP. 6

(e)

Integrando ( 1) de -la l y usando el ¡_¡rohlema l, obtenemos

.f'

F(x)dx 2AI o A

1

Haciendo m

""

raque A :::: 2'

O en el resultado de la parte (a), encontramos

1 j'' 2/ F(x) ilx

_,

a 0 ::::

'f' I F(x) dx

'

de mane-

Los resultado~ anteriores son válido~ también si los límites de intcgr,,ciún -1, l se remplazan por

e, e- 21.

Obsérvese que en todo lo anterior es válido el intercambio de la sumatoria con la integral; esto se

debe a la hipótesi~ que las series convergen uniformemente a F(x) en (--1, 1). Aún en el caso en que no se

garantice esta hipótesis, los coeficientes a m y bm se llaman weficientf'S dP Fou.rier, correspondientes a

F(x) y la serie de Fourier correspondiente a estm; valores de a m y bm se llama la .1·erU• ilr> Fou.rier correspondiente

a F(x). Un interesante prohiE'ma es el de investigar las condiciones bajo las eu1des esta serie converge

realmente a F(x). Son {:ondiciones sufieien!.es para tal converg-encia laf' nmdiciones de [)irichlet que

se enunciarán posteriormente [véanse los problemas 12-17].

4. (a) Hallar los coeficientes de Fuurier correspondientes a la función

F(x)

-5 <X< 0

O<x<5

( b) Escribir la serie de Fourier correspondiente.

(e) ¿Cómo podría definirse F(:r::) en x = -5, x

rier converja a F(x) para -!1 ~ x ~ 5?

En la Fig. 6-4 aparece la gráfica de F(x).

Período :::: 10

F(x)

1

Periodo

P:

1 1 1 1

_,. _,

-· " "

Fig. 6·(

0 y X 5 para que la serie de Fou-

(a) Período ,... 21 = 10 y l ~ 5. Como intervalo('>~ t·--;-- '21 escogemos al que va de -5 a 5 de manera que

e =

-5. Entonces

Sin= O,

••

f

c+21

1 nn-x

¡ F(x) cos - - dx 1

'

~ { f'o (0) cos ~~ dx +

" , -~ a

53 (

n;

5

sen5)

""" \ 1' o o

"J'5

l f.;; F( )

n;;-x

5 ~ .~ x cos - 5 -dx

.c, """ ·,

j

(3) cos ~

5 ~ dxjl

"

().,-;r

5 cos- 0

5 dx

si n -1- O

J'

...:. 5 3 u dx 3 .

J ., 3 n,-:r

- cos --dx

5 " 5

J···+2t

Ttr.X

e F(x) sen - - dx 1

l f j'o (O) sen ~~ dx +

a l -5 5

3 ( 5 nr.x\15

- --cos-- • 1

5 nlT 5;', 0

•

!. f';, F(x) !len -"-'

5 • .5

~(1_~ -co~ .'!.~

rlr.

'-x dx

5

3 (' 5 norx

- sen-- dx

5 • o 5

CAP. 6] 1 SERIES E INTEGRALES OE FOUHIEH 181

( b) La serie de Fourier correspondiente es

ao + n-I ~ ( an cos nJTX - + b nr.x)

2

1

11 sen - - 1

3 Ml COS?I¡;) n.,.x

+ };

2 tl~l nu

"n-,-

3 6 ( r.X

1 .':C1TX 1. 5rrx

2 "'" " 5

- sen- -¡- 3 sen5 + 5 sen- 5 - +

.. )

(e)

Como F(x) sa1 isface las condiciones dt> Oiriddet., pudemos decir que la serie converge a F(x) en todos los

F(x+O) + F(x-0)

puntos de continuidad, y a

en lo~ puntos de discontinuidad. En x ~ -Fi, O

2

y 5, los cuales son puntos de discontinuidad, la serie converge a (3 + 0)/2 = 3¡'!l como se ve en la

g-ráfica. Si definimos F(x) como

3/2 :1' e:;:: -5

o -5 <X< 0

Fix) 3/2 x::::O Periodo= 10

3 O<x<5

3/2 X= 5

entonces la serie converge a F(x) para -:i ~ x ~ f>.

5. Desarrollar F(x) = x 2 , O< x < 21r en serie de Fourier si (a) el período es 211', (b) el período

no se especifica.

(a)

La gráfica de F(x) ron período 2r se muestra en la Fig. 6-;,_

F(x)

1

1 1 /

1 1 1

/ / 1

/ / /

/ / /

/

-6v

_.,.

-2·

'

o ,,

Fig. 6-5

1

1

/

/

/

/

~

••

~

/

1

1

/

/

/

6.

Perlodo -' 21 = 2:v , luego 1 - :v. Tomando e ~ O, obtenemos

>,. 1 21

T J F'(x) eos n;x dx 1 J''"

• e

" "

1 J•2.~

Si n =O, a 0 = - x2dx

" o

-cosnx\

(2x) ( ·-··.. -}

-¡¡2

8 "'

3

1 í•c+:.!l 1'h:rX

y . ,. F'(:r.) sen - 1

- dx

1 r(x2) (- cos_nx)

~- ·¡¡

Entonces F(x) x'

Esto es válido para O< x < 2r. F.n x

(2x) (- '

•

4 .,

=- x2 cos nx dx

•:.!JT

~ j :r2 sen nx dx

" "

"" '') + 2) ('"'/':')ll'"

-n~ { wl J 0

+ :S ( ~ COstiX - n SPJinX ,

'" )

x-

3 ,,¡

O y , - ,, La serie converge en 2:v2.

4

;¡2•

-4;r

n

"'""

(b)

Si el período no se especifica, no l;s po~ihle determinar u11ívocamente la serie de Fuurier en general.

•

182

SERIES E INTEGRALES DE FOURI~R [C:AP. 6

FUNCIONES PARES E IMPARES. SERIES DE FOURIER DF. SENO Y

COSENO DE SEMI-PERIODO

2 ( 1 n'!TX

6. Si F(x) es par, demostrar que {a) an = y )u F(x) cos- 1

- d,, (b) b. = o.

(al

(b)

••

Haciendo x =

1 Jl

nvx

l F(~) eos - - dx 1

-u,

_,

1 Jo n1rx

y _,

F(z) cos - - dx 1

y

1 i

1

0

1 Jo 1t«Z

T F(x) cos - - .U

1 f' ?hr~

1

+ y F(í!O} co~ - 1

- d•

_,

( -n,u)

F(-u) cos \- 1

-

ya que por definición de función par, {(-u) = f(u). Entonces

••

1 il 1t1TU

•

¡ F(u) cos - 1

- du

1 J' n~rx

y F(x) sen - 1

- dx

_,

du

+ y F(x) cos - 1

- dx

1 .f' nr:l:

•

'

1

y j' 1 F(u) cos -

nrt

- du

•

1

2 .(l 1hrX

-¡

0

F(x) cos - 1

-

1 Jo n~rx 1 .f' n:PTX

-¡ F(x) sen - 1

- d.;r, + l F(x) sen - 1

- dx

Si hacemos la transformación x = -u en la integral del miembro derecho de (1), obtenemo!'.

1

y Jo nrx

F(x) sen - - 1

dx Í fo 1 1 ['

F(-u) sen (- n~u) du n,u

_,

l • o

l

1 .f' . 1l1TU

.(' 1lli"X

- F(z) sen - - dx

1 1

=

_,

- - F(u) sen - du

l o l

'

dx

(1)

-- F(-u) sen- du (2)

hemos usado el hecho de que para una función par F(-u) = F(u) y en el último paso, que la variable

muda de integración u puede remplazarse por .cualquier otro símholo, en particular por x Así, de (1) y

(2) tenemos que

1

f' -·

1

- T F(x} sen - - dz 1

+ -¡

.('

F(x) sen -

-· 1

- dx

" "

"

= o

7. Desarrollar F(x) = x, O < x <'2 en serie de semi-período (a) seno (b) coseno.

(a)

Extendamos la definición de la función dada a la función impar de período 4 que se muestra en la Fig.

6-6. Esta se llama la extensión impar de F(x ). Entonces 21 = 4, l = 2.

/

/

_,

/

-e / _.._

/

/

/

/

/

-·

F(x)

1 / •

/

/

/

/

/

• /

/

/

•

Así.an. =O y

2 fl nrx

-¡ F(:e) sen - 1

- dx

"

-2 n••)

= {

(z) ( n1r cos--¡- -

-21' xsen-dx

2 •

-·

2

-4 n••)} 1'

(1) ( n2'11"2 sen--¡- o =

-4

- COS7h'

n,

•

CAP. 6]

SERIES E INTEGRALES DE FOURIER

183

Entom:es

F(x)

~ -4 11¡rX

¿. - cos n1r sen - 2

n=l norr

; (sen " 2

;c - ~ sen 2 ;x + lsen 3 ;x - · · ·)

(h)

Extendemos La definición de F(x) a la función par de período 4 que se muestra en la Fig. 6-7. Esta se

llama la extensión par de F(x). Entonces 2! = 4, 1 = 2.

F(x)

/ "''

/ '

-·

-· -·

Fi1.8-7

' ' ' •

/'

/ '

/

•

•

••

2 f¡ 11trX

y J ... F(x) cos - 1

- do

o

2 n.x)

(x)

{ ( n1r sen - 2

-

2 f 2 n:rrx

- ;ccos-dx

2. o 2 -

-4 nv•)}J'

(1) ( n2,2 cos 2 o

sin#-0

Si n O, t1o = f2

x lh = 2 .

• o

Entonces

F(x) =

.., 4 · n:rrx

1 + l, 2""2 (cos nl'l'" - 1) ces - 2

n=l n"'

Se notará que la función dada F(x) =

series diferentes de (a) y (b).

x, O < x < 2 está "igualmente bien representada'' por las dos

IDENTIDAD DE PARSEVAL PARA LAS SERIES DE FOURIER

8. Suponiendo que la serie de Fourier correspondiente a F(x.) converge uniformemente a

f(x) en (-l, l), demostrar la identidad de Parseval

¡ lf' _, (F(x))' dx

suponiendo que existe el integrando_

Si F(z) = ~ + n~l ( an cos n;z + b" sen n~x),

a'

2o +~(a;+ b!)

entonces multiplicando por F(x) e integrando

término a término de-/ a / (lo cual es lícito puesto que la serie es uniformemente convergente) obtenemos

J' {F(x)}' do

_,

•' ~l +

2

~ (a~+ bi)

n=I

(J)

•

L

184

Hemos usado lo~ re~ultadu~

.S.I!:Hm.S .1!: JN TEGRALES DE FOURIER

f .,

·'

. -' F{x) cos n~x dx P(x)::;en n..-x d

. J _, l ;{' lb,,

obtenidos de los coeficientes de Fouricr.

,,

J F(w) d;;c

-•1

[CAP. 6

(2)

Rl ret>ultado requerido se sigue al dividir los dos miembros de (1) por l. La identidad de Par5eval e5 válida

en condiciones menos fuertes que lus impuestas aquí.

TRANSFORMADAS FINITAS DE .'OURIER

9. Establecer (a) la ecuación (9) y (b) la ecuación (JI) de la Pág. 175.

la) Si F(x) es una función impar en(-/, 1) entonces

F(x) :5:, b sen nr.x

n= ¡ n l

(!)

donde

2 J~¡ U17X

T F(x) sen - - <l.

o

1

(2)

entonces

Así, si escribimos

f '

n,x

F(x) ~en - - dx 1

f, (n)

"

2

b" =· T / 8

(-n) y (1) se puede expresar, como queríamos,

F(x)

2 ~ 1"/.r.X

y n~l / 8 (n) sen - 1

-

(.1)

También podemos escribir

F'{z)

:r;'{f,(n)}.

(b) Si F(x) es una función impar en (~l, l), entonces

F(x)

(4)

donde

2.[¡~ U17X

-¡ } (x) eos - 1

- dx

o

(5)

Así, si escribimos

f¡ F'(z) cos n7x rlx Ir (n)

o

2

entonces ao y fe (O) Y (4) se puede est:rii:Jir, como que riamos,

F(x)

1 2 ~ UJTX

¡fe (O) + T n""f:t fe (n) cos- 1

-

(6)

Podemos también escribir F(:t:)

•

CAP. 6] SERIF.S R INTEGRALE:-> OC: l<'OUHIER 1R5

10. Hallar (a) la tran!:iformada finita de 3eno de Fourier y (/J) la transformada finita de

coseno de Fouricr de la función F(x) ,-_-o 2x, O < x < 4.

(a) Como 1 = 4, tenemos que

fs (n)

(b) Sin> O, fc(n)

Sin-'0,

f '

•

n,x

F(:e) sen - - dx 1

( 2 x) (- cos n1rx/4J'

{ nrr/4

f '

'

n,x

F(x) cos--dx

1

(2x) (

{ '"nn.x/4)

nrr/4

f .•

2x~n--¡-dx

121 (- ~" n.x/4)}/'

n~vZ/16

0

. .

n.x

j .. n.x

2x: cos--dx

4

'

- (2)(-~~:,~~;/4)}/:

i

4

o

2x dx

16

11.

Hallar F(x) si (a) J', (F(x)}

(b) T, (F(x)} = sen(n~l2)/2n,

16(-1)• 'In', n = 1,2,3, ... , donde O< x < 8;

n = 1,2,3, y -rr/4 si n=O, donde O < x < 211".

(a) Aplicamos la ecuación (3) del problema 9(a) en el caso l - 8 y obtenemos

F(x)

'f '{16(-1)•-•}

' n'

~ l, 16(-l)n-1 sen n.,x

8 n=l n.!l 8

"" (-l)n-1 ntrX

4 ~ --,-sen -8

"""1 n

(b) Aplicamos la ecuación (6) del problema 9(/J) en el ca.so 1 = 211" y obtenemos

F(x)

'f-,{"" (n,/2)}

e 2n

1 . :!!.. + _!_ j sen (n../2)

1r 4 211" n-"'1 2n

CONVERGENCIA DE SERIES DE FOURIER

12. Demostrar que (a)

(b)

1

2 + cost + cos2t +

! J' sen(M + !)t dt

1r o 2sen-it

+ cosMt

1

2•

sen(M + t)t

2sen!t

! J' sen(M + !)t dt

71" -JT 2sen!t

1

¡¡·

(a) Tenemos que cosntscn!t = !-{sen(n+!)t- sen(n-i)t}.

Sumando de n = 1 a M,

sen !t{cos t + cos 2t + · · · + cos Mt} (scnJt- seu!t) + (senit- sen~t)

+ ··· + {"n(M+tJ!-"n(M-f)t}

f{"n (M+ tJt - "'" !t}

Dividiendo por sen ft y sumando !, llegamo!' al n-sultado buscado.

(h) Al integrar el resultado de la parte (aJ de- '1T a O y de O a '1t' respectivamente, obtenemos los resultados

deseados, ya que las integrales de todos los túminos del coseno valen cero .

•

186 SERIES E INTEGRALES DE FOURIER [CAP. 6

13. Demostrar que si

I:

F(x) es seccionalmente continua, entonces

!~n; F(x) sen nx dx = !~n; s_: F(x) cos nx dx o

Esto es consecuencia inmediata del problema 8 cuando 1 = fT, puesto que si la serie

es convergente, entonces lim a,. = lim b,. ::::: O.

n-+"' n-+oo

Este resultado se conoce también con el nombre de teorema de Riemann.

•'

--"+

2

:i (a;+ b~)

n=l

14.

Demostrar que

tinua.

lim

M~•

Tenemos que

f" F(x)sen (M+ t)x dx

-·

F(x) sen (M+ !)x dx = O si F(x) es seccionalmente con-

fv {F(x)senlx} cosMx dx + frr {F(z) cos!x}senMx dx

-1T -rr

Podemos concluir directamente mediante el problema 13, al remplazar F(x) por F(x) 'sen lx y F(x) cus !x

respectivamente, ya que son seccionalmente continuas cuando F(x) lo es.

También podemos demostrarlo tomando como límite de integración a y b en lugar de

15. Suponiendo que l = 71'", o sea, que la serie de Fourier correspondiente a F(x) tiene período

21 = 211' , demostrar que:

l s· F(t+ x)sen(M +t)t dt

1r _ 11 2sen it

Usando las fórmula~ para los coeficientes de Fourier en el caso L =

11, tenemos:

(~ f.,.JT F(u) co!lnu du) cosm: + (; s:11

F(u)sen nu du) sennx:

;: 1f" F(u) (coa nucos nx + sen nu senn:t) du

-v

1 s· F(u) cos n(u- x:) du

; _1T

Además, 1 s·

-;¡- F(u) du

2

Entonces

-·

a,

y+ M

~ (a 11 cos nx + b" sen nx)

n=I

1 J'"

+ ; "~

1

2 11" _,F(u) du 1 M s·

_.,. F(u) cos n(u- x) du

1 f,. sen (M+ t)(u- x)

- F(u) du.

1T. _,. 2 sen !(u x)

por el problema 12. Haciendo u - x t. tenemos

;Jli"-X F(t + x) """ (M+ f)t dt

-;r-x

2 sen!t

Como el período del integrando es 211", podemos remplazar el intervalo -1r -

intervalo de longitud 2JT, en particular- rr, 1r. Asi obtenemos el resultado .

x, 1r- x por cualquier otro

•

CAP. 6]

16. Demostrar que

SERIES E INTEGRALES DE FO"HIER

r ~ (F(t +~)'~'~;x -O))sen(M +f)t dt

187

+ 1 ('(F(t+x)- F(x +O)) sen(M + !)t dt

11" Jo 2 sen!t

Por el problema 12,

! j'o F(t + x) sen (M+ f): dt + .! j'" F(t + x) sen (M+ })t dt

1r _ rr 2 sen ft 1r

0

2 sen !t

(1)

Multiplicando las integrales del pmblema 12(b) por F(x- 0) y F(x +O) respectivamente,

F(•+O) + F(•-O)

2

121

Re!;tando (2) de (1) obtenemos el resultado requerido.

17. Si F(x) y F'(x) son seccionalmente continuas en (-1!', 1r), demostrar que

La función

mente continua.

Me más,

lim F(t+x)-F(x+O)

t-o+ 2 sen !t

F(t+ •)- F(• +O)

2 sen !t

F(x +O) + F(x- O)

2

es secciona! mente continua en O< t :::¡¡ v puesto que F(x) es seccional-

lim F(t + x) - F(x +O) a __ t_

r--o+ t . 2 sen !t

lim F(t+•) -F(z+O)

t-+0+

t

existe ya que por hipótesis F' (x) es seccinnalmente continua de manera que existe la derivada del miembro derecho

para cada x.

Entonces F(t + ~)- r!:z; +O) es seccionalmente continua en O::§? t ~ v.

sen

Análogamente,

F(!+x)- F(z +O) . .

2

sen .¡t ~s seccJOnalmente contmua en

Entonces, de los problemas 14 y 16 se conduye que

o sea lim SM(z) = F(x +O)+ F(z- O)

M_,., 2

LA INTEGRAL Y LA TRANSFORMADA DE FOURIER

18. (a) Hallar la transformada de Fourier de F(x) = { ~ lxl <a

lxl >a

(b) Hacer la gráfica de F(x) y de su transformada de Fourier para a l.

(a)

Lu transformada de Fouricr de F(x) es

f(>)

f_: F(u) e-l).u du

Para >..=O, ol:"':•·;,cmos que /(A) -

2a

sen }.,a

2

' '

•

!88

SERIES E lNTEGRAL~S DE FOUH.IF.R

[CAP. 6

(h) Las ~rMicas de F(x) y{().,) para o 1 son, respectivament('

f(>)

-3 -ll -1

o

•

-'

:1,.-

•

. J, sen u

19. (a) Usando el resultado del problema 18 calcular

(b) Deduc1r el valor de --du.

" u

(a) Por el teorema de la integral de .f'ouricr tenemos que si

/(A) ::: f_: F(u) e-üu du

entonces

r

F(x)

sen A a coa Ax dA.

Á

Luego, por el problema 18.

_l_ f"

2~r -:><

lxl <a

1•1 =a

1•1 >a

(1)

!f"

. -·

El miembro izquierdo de (J) es igual a

sen Aa cos A::c

Á

da + i foo sen)..a senAx dA

1T _, A

El integrando de la segunda integral de (2) es impar. de modo que !;U integral vale cero. Entonces, de

(1) y (2) tenemos que

f.

sen i\a cos A::r: d;t..

(b) Si x O ya 1 en el resultado de (a), tendremo!;

Á

1•1 <a

1•1 =a

lxl >a

(2)

(.1)

o

{<>O senA dA

.Jo A

puesto que el integrando es par.

20. Si F(x) es una

s·

función par, demostrar que:

s·

(a) {(Á) = 2 F(u) cos ÁU du, (b) F(x) = - 1 {(Á) COS ÁX dÁ.

~ '

"

Tenemos que

f(X)

f . j''

• _"' F(u) cosA u du - i _ :oo F{u) sen A u du

(1)

•

CAP. 6] SERIES E INTEGRALES DE FOURTF.R 189

(a)

Si F(u) es par, F(u) cos l>.u es pMy F(u) sen Au es impar. F.ntonccs la segunda integral del miembro derecho

de (l) es cero y el resultado puede escribirse

/(A)

2 fo"' F(u) cosA u du

(b)

De (a), /(-A)=((">,) de manera que f(l.,) es una función par. Haciendo una demostración esencialmente

igual a la de (a), se obtiene el resultado.

Un resultado análogo es válido para funciones impares y puede obtenerse al remplazar coseno por seno.

IDENTIDAD DE PARSEVAL PARA INTEGRALES DE FOURIER

21. Comprobar la identidad de Parseval para integrales de Fourier en las transformadas de

Fourier del problema 18.

Debemos demostrar que

f_"",., {F(::r:)}2 dx __!_ f" {/(>)}' d>

217 -«:

donde F(x)

1•1 <a

lx[ >a

y f(>) 2

sen Aa

Á •

o sea

.e

es decir

Esto es equivalente a

Haciendo Aa =

i

'

"' sen2:>.a .

2

f . .,

sen Aa. dA

,,

--,-da =:

o >

o a

2

u y usando el problema 111. de la Pág. 171, queda cornprohadn. Este método puede usarse

--,- dtt en forma directa.

o u

tambi-én para hallar

J: ""::;en2u .

DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE LA INTEGRAL DE FOURIER

22. Presentar una demostración heurística del teorema de la integral de Fourier mediante

el uso de una forma límite de una serie de Fourier.

Sea F(x) (1)

donde Un

¡JI

n1rU

F(u) coa - - du y 1 1

f' F( u) sen . -n1l"'u

- du. 1

y _

1

I

_,

Sustituyendo (véase el problema l!i),

F(x)

2l 1 J' _ F(u) du + (2)

1

Si suponernn~ que f_~IF(u)i du converge, el primer término del miemhrn derecho de (2) tiende a

cero cuando l--"""', en tanto que la parte restante se aproxima a

lim i :i f"' F(u) cos nl1r (u- x) du

!-+"' n=l - 00

(.3)

•

190 SF..RIRS E INTEGRALES DE: FOURIER [CAP. 6

Este último paso es heurístico pero no riguroso.

Llamando dA=.,¡[, (:l) puede escribirse como

F(x) lim ~ .lA F(n .:lA) (1)

~A-O n-'-'1

Aquí hemos expresado {(Á) :; 1 f' _, F(n) eosA(u-x) du

(,5)

Pero, el limite (4) es igual a

• F(x)

J:" {(Á) dÁ

que es la fórmula de la integral de Fourier.

i' s·

1

- dA Ftu) cos A(n

rr o -,

Esta demostración sirve tan sólo pura obtener un posible resultado; para ser rigurosos debemos empezar

por considerar la integraL

-1 J:" dlo. J"" F(u) cos A(u- x) dx

tr o _,.,

y ellaminar su convergencia. Este método se contempla en los problemas 23-26.

x) dn

l . ( 1 sen..\vd ~

23. Demostrar que (a) ,.l_.~Jl} --v- v = 2' ( b) lim J" sen.<v dv ~ ~

>-• ~¡ V 2"

(a)

Sea Av = y. Rntonces,

el problema 43, Pág. 164.

lim [! sen Av dv

,_.,., • O V

(b) Sea Av --y. Entonees,

. J :sen Av

wny

--dy

• Í·"

ll y

~n y_dq

y . 2

·" .

hm --dv

~ ..... ,., --1 V

2

24. El teorema de Riemann dice que si G(x) es seccionalmente continua en (a, b), entonces

lim J" G(x) sen Ax dx O

¡,__, a

con un resultado similar para el coseno (véase el problema 81). Usando esto, demostrar

que

(a)

Jim {1 F(x + v) sen, Av dv

A-.oo Jo

-z;

;F(x+ O)

. Jo sen,\v

(b) l At_n;, _ F(x +'V)--,, dv ~F(x-0)

1

donde se supone que F(x) y F' (x) son seccionalmente continuas en (O, !) y (-/, 0) respectivamente.

(a) Usando el problema 23(a), resulta demostrado siempre que

lim

f ,¡

A-:o, 0

!;en }..-¡_•

{F(x+v)- F(x+O)}"--dv

V

Rstn se deduce del teorema de Riemann ya que G{v) :::: F(x + v)- F(x +O) es secciona! mente

V

continua en (0, /),pues el lim F(u) existe y f(x/ e~ secciona] mente continua.

v-o+

o

(b)

La demoStmción es análoga alude la parte (u), haciendo uso del problema 23(bl.

•

SERIES E INTEGRALES DE FOURIER 191

Si F(x) satisface la condición adicional de que

hm F(x+v)--dv sen.\v = ~F(x+O), (b)

a-oo 0 V

(a)

. J"'

f_~ IF(x)l dx converge, demostrar que

Tenemos que

f"' F(z + v) sen 1\V dv

Jo

V

f'" F(x +O) sen Av d11

J, V

Sustrayendo,

"" sen 1111

{F(x + v) -

o

V

i

F(x + 0)}-- dv

( ' F(x + 11} sen hv dv +

Jo f. .. F(z + v) sen hv dv

V l

V

(l F(x +O) sen ]l.v dv + "'F(x+O) senhv dv

Jo V f. l

V

( {F(z + v) - !(x +O)} f!enhv dv + f."" F(x + v) sen A

'V dv -

J."' F(x +O) sen 1111 dv

Jo V t V l V

Si denotamos las integrales de (3) por 1, 1 1 , / 2 , e I 3 respectivamente, tenemos que 1 = f1 + lz +

modo que

III II,I + II,I + llal

Ahora

Además

II,I

llal

"

" ~ .. ,F(x+v) seJ~Avj dv "' 1r ¡

1

" jF(x +O)\ j.("' ~: 1111 dv 1

IF(•+•)I dv

Como fo"" jF(x)\ dx y fo"" senv Av dv son convergentes, podemos escoger 1 suficientemente grande

para que \1 2 1 :::::¡¡ ~:/3, jl 3 j :::::¡¡ ~:/3. También podemos escoger A suficientemente grande para que 1111 :;;¡ t:/3.

De (4) tenemos que jlj < t: para A y 1 convenientemente grandes; el resultado es inmediato.

Este resultado se obtiene por un ra1onamiento análogo al de la parte (a).

26. Demostrar la fórmula de la integral de· Fourier cuando F(x) satisface las condiciones

establecidas en la página 175.

Tenemos que probar que !~tt;,; 1 f.' 1\=0 s·

1< =-oc

F(u) cos A(x- u) dudA =

F(x+O) + F(x O)

Como 11: F(u) CQS A(x- u) duJ ~ f_""., IF(u)l du que es convergente, del criterio de Weierstrass

para integrales se deduce que f_.., F(u) COS A(x- u) du

todo 11. As~ podemm1 cambiar el orden de integración y obtenemos

; 1 f.' A=O dA f." u= -oo F(u) cos A(x- u) du 1 s.· f.'

2

(/)

(2)

(.1)

la de

(4)

converge absoluta y uniformemente para

; "= _.., F(u) du A=o cos A((t- u) du

=

1f..

senlv

- F(::r::+v)--dv

V

V

u=-"'

donde u = x + v.

Haciendo que

como se esperaba.

l-+ 00 ,

!J.o F(x+v)§';inlv dv +! J.""F(x+v)senlv dv

1r _ 00

V 1r O V

vemos, por el problema 24, que la integral dada converge a F(x +O)~ F(x- O),

•

192 SERIES E INTEGRALES DE FOURIER [CAP. 6

PROBLEMAS VARIOS

27. Desarrollar F(x) = sen x, O < x < rr, en serie de coseno de Fourier.

Una serie de Fourier con~:~it>tente sólo de términos del coseno Be obtiene único. mente pHrll unH función par.

Entonces podemu:; extender la definición de F(x) de tal !luert.e que resulte par (véaM' ht gráfica di:.continua de

la Fi~::. 6-10). Con esta extensión, F(x) queda definida en un intervalo de longitud 2~r. Tomando como péríodD

2v, tendremos que 21 = 2;r, o sea 1 = :rr.

F(x)

' /

' /

-2.

' ' /

' /

Por el problema 6, b.,.. = O y

1

a" :::: T

2 f F(x) coa -n:rx

1

- dx

o

1

. s·

'

Fig. 6·10

- {sen (x + nx) + sen (x- nx)} dx

1 {1 - cos (n + l)lT

;r n + 1

-2 f' senxcosnxdx

• o

cos(n-lk- 1}

+ " 1

!{_cos(n+l)x_ + cos(n~ __ lE_(¡•

;r n+l n-1 Jo

!{1 + cosnr.: _ 1 + cosntr ~~

:r ntl n-1

-2(1 + cos n:u)

lT(n 2 si n <F 1,

1)

r .

Paran 1, ., 2 ~ sen2 x \IT

- sen x coa x dx

1f 2 o

" o

Paran O, .., - 2f ~enx dx -(-cosx) 2 ¡·

• o " o

4

"

o.

Entonces

F(x)

2 2 :i, (1 -!- coa n1r)

; n=2 n2- 1 cosnx

"

2 _ ~(cos2x + cos 4x + cos 6x

1T 22-1 42-1 62-1

"

+

... )

(.,. cos Ax

28. Demostrar que Je A 2 + 1

dA :': e-z X> 0

2 ' = .

Enton1:es

Sea F(x) =e-x en el teorema de la integral de Fnurier,

2 f" f"

F(x) - cos Ax dA F(u) cos Au du

rr O o

2 s·

J ..

- cos >..x d>.. e-u. coa >..u du

r. o o

Como J e- 11 cos Au du =

"

1

>..2 ...... 1 •

tenemos que

o sea

'"' cosAx d

A2 + 1 A

."

'

J

•

CAP. 6]


193

29. Resolver la ecuación de la integral ~~,.

J, • F(x) cos 'x dx = { 1 -A

0

o;;;;A;:;¡¡l

A>l

Sea f"' F(x) coa >..z dx = /(1)

O~A~l

h > , Entonces, por el teo-

1

o

rema cle la integral de Fourier,

F(•) - 2f" /{A) cos Ax d"'-

• o

1-X

y escojamos /(A) =

{ O

- 2f' (1-J..)cosA:.edA

• o

2(1 - cos x)

··'

30. Hallar (a) la transformada finita de seno de Fourier y (b) la transformada finita de coseno

de Fourier de iJU/ax donde U es una función de x y t, para O < x < l, l > O_

(a) Por definición, la transformada finita de seno de Fourier de QU/Ox es, al integrar por partes,

(b)

o sea

f

0

1 iJU niTX

-sen-d•

iJx l

U (x, nr.xl nu f' 1 t) sen - - - U( ) nlTX ..~_

1

T x, t cos - - ~ 1

'f {au}

• ••

La transformada finita de coseno de Fourier es

f

0

! iJU 1hrX

a;-cos- 1

-d•

o

U(x, t) cos -n.xl'

- 1 0

• o

f .,

- nr. U(x, t) sen 1111 a: d:r

l • o

l

o~· -7 'J, {U) - {U(O, t) - U(l, t) cosn.}

31. Resolver el problema 30 para la función iJ 2 U/8x 2 •

(a)

Sustituyendo U por EJU/az en los resultados del problema 30, encontramos que

_ n, 'f {au}

-l r: f!x

n2172 n:u {

-¡l.-'.f 1 {U} + T U(O,t)- U(l,t)cosn1r}

(b)

donde U:z: denota la derivada parcial con respecto a x

n2ll'"2

-T'fc{U}- {Ux(O,t)- U;(;(l,t)cosnr.}

32. Usando transformadas finitas de F'ourier, resolver

a u

at

donde O < x < 4, t > O.

U(O, t) = O, U(4, t) O, U(x,O) 2x

Tomando fa transformada finita de seno dt~ Fourier (con 1 = 4) a ambos lado~ de la ecuación diferencial

parcial, obtenemos

•

194

Escribiendo u

contramos

donde u ..,. u(n, t).


f' azu

• ll

n:rr~

axll sen - 4 ~ dx

1s{U} y usando el prohlema 3l(a) con las condiciones U(O, t) -O, U(4, L)

du

dt

[CAP. 6

n, en-

(1)

Tomando la transformada finita de seno de Fourier de la condición U(x, O)

problema lO(a),

u(n,O)

1', {2x}

32(1 - cos nu)

n~

2x obtenemos, como en el

(2)

Resolviendo la ecuación diferencial (J), encontramos que si e es una conslant.e arbitraria

u u(n, t)

(3)

Como e ~

u(n, O), de (2) y (3) tendremos

u

32(1 - cos 1t1f)

n~

Así, por el problema 9(a), la inversa de la transformada de seno de Fourier es,

U(x, t)

g i 32(1- cosntr) e-n 1.,.11116

4 n=l 1111'"

Fisicamentc, U(r, t) representa la temperatura en cualquier ¡lUnto x en cualquier tiempo t de un sólido

limitado por los planos x = O y x = 4. Las condiciones lf(O, t) = O y U(4, t) = O expresan que los extremos se

mantienen a temperatura nula, en tanto que U(x, 0) = 2x úgnifica que la temperatura inicial es función de x

Análogamente, el sólido puede rernplazarse por una barm sobre el eje x con extremos en x ....,. O y x = 4 cuya

superficie está aislada.

33.

Resolver

a u

at

a'U ~

~ -- x > O, t > O, sometida a las condiciones

élX2'

U(O, t) ~ O, U(x, O)

{~

O<x<l

X~ 1 •

U(x, t)

Tomando la tmnsformada de seno de Fourier a ambos lado;; de la ecuación diferenci<tl parcial dada, obtenemos

Entonces si

du

que se con•úertc en dt

f ·au Tt sen 1\x d;.¡;

'

f ~ -- iJ2U

2

senJo.z dz

• o iJx

u ::: u(1o., t) = f"" U(z, t) sen 1o.:t d:t

.'

{ au

iJx sen Ax

A U(O, t) -

)o.2u

integrando por partes el miembro derecho de (1) bajo !u h1pótesis de que U y iJU/iJx tienden a cero cuando

z4~.

(1)

(2)

•

CAP. 6] SERIES E INTEGRALES DE FOUlUER 195

Con las condiciones impuestas a U(x, 0), al tomar la transformada de Fourier tenemos que

u(f.., O)

Resolviendo (2) sometido a las condiciones (,1) y U(O, t)

f"' U(x, O) sen Ax dx

'

('

J~ senAxdx

"

O, encontramos que

(3)

u{A, t)

Tomando la inversa de la transformada de seno de Fouricr, hallamos la solución requerida

U(x, t) -2 S"' ----e-"tsenAxdll.

1-cosA ,!

' o Á

Físicamente, éste representaría la temperatura de un sólido en x > O [véase el problema 32].


SERIES DE FOURIER, FUNCIO.:\'ES PARES E IMPARES, SERIES SENO Y COSENO DE FOURIER

34. Hacer la gráfica de cada una de las siguientes funciones y hallar sus correspondientes series de Fourier utilizando

las propiedades de la~; funciones pares e impares cuando sean aplicables.

(a) F(x) = r s

l-s O<x<2

2<::r::<4

(b) F(x)

-4 ~X~ 0

0:2x:24

Período 4 (e) F(x) = 4x, O < x < 10, Período 10

Período 8

(d) F(x) = G"

O~.x<3

-3 <X< 0

Periodo 6

(a) 16 :I .{!_-:- COSlllr) sen nr.x

r. n=l n 2

8 ~ (1- COS11r.) Jt-¡¡-X

(b) 2 - ;;2 'l~l --n-, --oos- 4

-

(') 20

d) 3 + ~ [ 6(cosn:rr- 1) nlTX

(

2 11~1 l n2lT2 cosa

----sen---

6 cos 1l:r n1rx}

nu 3

35. En cada una de las partes del problema 34, localizar las discontinuidades de F(x) y decir a qué valores converge

la serie en estas discontinuidades.

Resp. (a) x = O, ±2, ±4, ... ; O (e) x o, :>-10, ±20, ... ; 20

(b)

No hay discontinuidades.

(d) X

±3, ±9, ±15, . ; 3

2-.

36. Desarrollar F(x) = { x-6 O < re < 4 en serie de Fouricr de período 8.

4<x<8

16 J 1TX 1 3;;X , 1 5¡¡-X +

Resp. --,·leos- -+ - 32

cos-- ..,- "2.2 cos 4

.).

" 4 "

~ 4

37. (a) Desarrollar F(x) = e os x, O < x < r., en serie de seno de Fourier.

(b) ¿Cómo podría definirse F(x) en x = O y x ~ JTpara que la serie converja a F(x) en O~ x ;::¡¡: 1T?

Resp (a) ~ :I nsen 2n;:r

r.n=! 4112-1

(h) F'(O) = F'(u) =O

•

196 SERIES R INTEGRALES DE FOURIER [CAP. 6

38. (a) Desarrollar en serie de Fourier F(x) = cos x, O< x < rr si el per[odo es 7T; (b) comparar con el resultado del

problema 37, explicando las semejanzas y diferencias si las hay.

Resp. La misma respuesta del problema 37.

39. Desarrollar F(x) ~ {"

- 8-.

O<:r::<4

4 <X < 8

en serie (al de seno, (b) de coseno.

32 ~ 1 n1r n1TX

( a ) 2 ¿.

2 scn - 2 sen - 8 -

r. n=l n

40. Demostrar que, para O ~ X ~ 1r,

(a)

x(v-x)

!C_ _ ( cos 2x

6 1'

(b) x(v- x) ~(senx +

" 13

+ cos4x + cos6:t +

22 32

sen 3;~:

3'

+ sen 5x + . ··) 53

.. ·)

41. Usando el problema 40, demostrar que

"" (-l)n-1

(b) :S --,-

n=l n

•'

12'

.;,; (-1)•-•

(e) n~ 1 (2n- 1)3

42. Demostrar que

1 1 1 1 1 1

13 + 33 - 53 - 73+ 93 + 113 -

3.';12

16

IDE:\'TIDAD DF. PARSEVAL PARA SERIES DE FOURTER

43. Haciendo uso del problema 40 y de la identidad de Parseval, demostrar que

""1 1r4

00

} 1r6

(a) :S · · 9-0 • (b) :S -, 945 ·

n=t11..

n'=ln

+ ... ,.z- 8

12. 32 + 32-52 + 62. 72 16

44. Demostrar que 1 1 1

[Su,l(erencia. Use el problema 27.]

1 •'

45. Demostrar que (a) :S-- 96'

n=! (2n-1) 4

(b)

1

:S---

n=l (2n -1) 6

•'

960.

46. Demnslrar que

4v 2 - 39

_1_6_

TRANSFORMADA FINITA DE FOURIER

47. Hallar (a) La transformada finita de seno de Fourier y (bl La transformada finita de coseno de Fourier de F(x) = 1

donde O< x < 1 Hesp. (a) 1(1 cos n1r)jn" (b) O sin= 1,2,3, ; l sin= O.

48. Hal111r (a) la transformada finita de ~no de Fnuricr y (b) la tmnsfnrrnada finita de coseno de Fourier de

F(x) = x2 donde O < .r < /.

21'

Resp. (a) n 3

1r 3

(cos n1T - 1)

l3

p

- cos n:r si n - 1, 2, 3, . . ; -. sin =O

n,

3

21'

(b) n 2 JT 2 (cosn7T -1)

49. Hallar F(xl si 'fs {F(x)}

donde O < x < "lT".

Resp.

~ j ( 1 - c~s r.~r)' sen ~x

rr· "=' n

•

CAP. 6) SF.RTF..S F. INTEGRALES DE FOUlUER 197

50. Hallar F(:t) si 'f " {F(x)} ::::: 6(~nn¡r/2- cos n;r) 1 2 3

~ (2n + l)IT para n = , ' '

y 2j7r paran =O, donde O< x < 4.

Resp.

1

2,..

+ ~ ~ (sennrr/2- cosnr.) cosn"

,- ""'l 2rl + 1 4

51. Si. f(n) = cos ( 2 nr.l 3 ) hallar (a) 'F~-l {/(n)}

(2n+ 1)2 '

y (b) 'f ~-t {f~n)} si O < x < l.

(a) 2 :i cos (21lrr/3) sen 'tl,;;:V

.,==L (2n+ 1) 2 (b) 1 + 2 :f cos (2n"/3)

n=l (2n+I)2 cosnr.-x

INTEGRALES Y TRANSFORMADAS DE FOURIER

. { 1/2•

52. (a) Hallar la transformada de Fourter de F(x) = O

(b)

Determinar el límite de esta transformada cuando <E-+ O+ y discutir el resultado.

Resp. (a) ~~~~Af_' (b) 1

53. (a) Hallar la transformada de Fourier de F(x)

1•1 < 1

1•1 > 1 .

( b) Calcular f'(xcosx-senx) xd

x 3 cos

2 x.

Rr>sp. (a) 4

'

(A cos \;-sen A), (b)

54. Hi F(x) ~ g O~ x < 1 hallar (a) la transformada de seno de Fourier, (b) la transformada de coseno

X~ 1

de Fourier de F(x).

En cada caso obtener la gráfica de F(:r) y de su transformada.

55. (a) Calcular la transformada de seno de Fourier de e-:r, z ~O.

(b) Usando el resultado de (a), demostrar que

f

%2+1 z senmz dx

0

:::: -¡e-m, m> O

(e) Desde el punto de vista del teorema de la integral de Fourier, explicaT por qué el resultado de (b) no es válido

para m = O.

Resp. (a) A/(1 + >._2)

56. Resolver para Y(x) la ecuación integral

Re.~p.

l-eos:\

(a) Á

(b) sen A

Á

O~t<l

j"oo Y(z) sen zt dx

l~t<2

t ~ 2

'

y comprobar directamente la solución. Resp. Y(x) :::: (2 + 2 cos x - 4 cos 2x)/rrz

IDENTIDAD DE PAKSEVAL PARA INTEGRALES DE FOURIER

57. Calcular (a) f" dz (b) ("' x 2 dx usando la identidad de Parseval

• o (x2+ 1)2' .Jo (x2 + 1)2

f Sugerencia. Use las transformadas de seno y coseno de Fourier de e-J:, x > 0.] Resp. (a) "ff/4, (b) 1r/4

58. Usando el problema 54 demostrar que (a) " "'

(b) sen2 x d:::; :::: ¡.

f •( 1 -.co'··~)' d•

"

' .

2' f . '

59. Demuestre que ¡·"' (x cos x ~sen x)Z dx

, n ;t·l•

"-

15.

•

198


[CAP. 6

PROBLEMAS VARIOS

60. Si -rr < X < 1r y o: -F O, ±1, ±2, .. , , demostrar que

r. sen ax

2 ~eno:JT

~en x

12- a2

2 sen2x 3 sen 3x

22- a't- + 32- a2

61. Si -'ll < x < 1r , demostrar que

(a)

(b)

v senha:t

2~

,. cosh ax

2 senha1r

sen x

2 sen 2x + 3 sen3x

~ f2 - --;2 + 2 2 -;z+sT

1

2a

a cosx a coa2x

~-12 + aZ+ 22

62. (a) Demostrar que si a -F O, ±1, X2, . , entonces

'

sena:v

1

a

2a

cr?.-32 + ...

(b)

Demostrar que si O < a < 1, entonces

.., x«- 1

--dx

• f O 1 +X .fO 1 +X

1 xa-t- x-a dx

(e) Usando (a) y (b) demostrar que r(a) r(l- a)

sen ar.

[Sugerencia. Para (a) desarrolle F(x) :::: cos aX, -'Ir :;;;: x ::§ ;r en ~rie de

la integral dada como una suma de integrales de O a 1 y de 1 a a:~ ; haga x

Luego use la fórmula

-

1+x

1

a

1 - ::: 1- x + x 2 - x 3 + · · · .]

2a

a2- 22

z., + ...

a2 -32

Fourier. Para (b) escriba

ljy en la última integral.

63. Si O< x < v, demostrar

64. Hallar (a) J's {03U/ilx3} y

65. Demo~trar que

•;;> {Y(O) + (-1)•+1 Y(l)) + "¡' {Y"(O) + (-1)•+1 Y"(l)}

(b)

'fc{Y<ivl(x)}

n' 7 4

-¡¡- :f,{Y(x)} + --¡,-{Y'(O) n;,.z + (-1)•+1 Y'(l)) - {Y"'(O) + (-1)•+1 Y"'(l)).

66. (a) Utilizando la transformada finita de Fourier, resolver

0 <X< 4, t > 0

U(O, t) = O, U(4, t) = O, U(x, O) = 3 sen 1rX - 2 sen 51l"Z

(b) Hacer una interpretación física posible del problema y de su solución.

Re.~p. (a) U(x, t) = 3e-2.1T~t sen r.x - 2e-501T 1 i sen 5vx

67. Resolver

e interpretarla físicamente.

a• u

íJx2: , O < X < 6, t > O, sometida a las condiciones

U(O, t) = O, V(6, t) = O, U(x,O)

{~

O<x<3

3<x<6

Resp. U(x, t)

= i 2 {1 - cos (nJr/3)} e-ntrrl!t/36 ~en n7rX

n=l nF 6

•

CAP. 6]

SERIES E INTEGRALES OE FOURTF.R

199

68. (a) Al resolver el problema

iJlJ

O<x<6,t>O

iJf

U,,(O, t.) = O, u,.(G, t) = o, U(.1::,0) = 2-r

¡,~.:uál transformada (seno o coseno) le parece más conveniente? Explicar.

(b) Hallar la solución del problema (a).

Resp (/>) G 1 ~ ~ (C'O>l ti;;--- 1) ~,2,-2¡¡ 36 nr.x

" 2 ,;~ 1

----:;~- e cos 6

69. Una cuerda de longitud 71" está sometida a tensión entre los puntos x = U y x = ü sobre el eje x, ron sus extremos

en dichos puntos. Cuando se le comunica una pequeña vibración transversal, el desplazamiento Y(x, t) de~de

cualquier punto del eje x está dado, para el tiempo t, por

P = masa por unidad de longitud.

i1 2 Y = a2 i1 2 Y doude a2 = Tf p, T = ten!--.ión,

at2 ax2

(a¡ Usando transformadas finitas de Fourier, hallar una solución de esta ecuación (llamada ecuación de onda)

con u2 = 4, y que satisface las condiciones Y(O, r) = O, Y("lT, t) =O, Y(x, O) = 0,1 sen x + 0,01 ~n 4x,

}-'¡ (x, O) .,... O para O < x < ¡¡-, t > O.

(b/ Interpretar físicamente las condiciones de frontera de la parte (a) y su solución.

Hesp. (o) Y(;c, t) .:::.

0,1 sen x cos 2t + 0.01 sen 4x cos Bt

70. (a) Resolver el problema de frontera ~ 2 J = 9 ~~~ sometido a las condicione~ Y(O, t) = O, Y(2, t) = O,

Y(x, O) = 0,05x(2- x-), Y t (x, O) = O, donde O < X < 2, t > O. (b) Hacer una interpretación tisica.

((() Y(:;:, 1) :....:: ~ ~ __ 1 sen (2n ----:-_1)¡¡-X cos 3(2n- 1);;-t,

--.-l ,;':'¡ (211 l}l 2 2

71. Resolver el problema de frontera

O<x<rr-,1>0.

U(x,t) ~ 1 + 2x +

"

au

at

U(O,t) 1, U(v,t) 3, U(x,O) 2, donde

72. Interpretar flsicament€ el problema 71.

73. Rest1lver el problema 70 intercambiando las condiciones de frontera para Y(x, U) y Yt (x, O), es decir, Y(x, O) =O,

Yt (x, O) = 0,05x(2 -- x), y dar una interpretación fisica.

Resp. YU, l) 3,2 :i __ 1 __ t".en (_~ l);rx_ sen 3(211--= 1);;-t

Ror1.,- 1 (2n-1) 4 2 2

74. Demostrar los resultados (4) y (5) de la página 174.

75. Comprobar el teorema de convolución en las funciones F(x) :::: G(x) = { ~ 1•1 < 1

lxl > 1

76. Escribir lu identidad de Parseval en forma compleja utilizando los resultados (1) y (!)) de la P!ig. 174.

77. Demostrar el resultado {lS) de la Pág. 176.

78. Demostrar los resultados {1.9) y (21l de las páginas 176 y 177 respectivamente .

•

200

SERIES E INTto:GRALES DE FOURIER

[CAP. 6

79. Demostrar los resultad m; (2.'~) y (24) d~ la Pág. 177.

[Sugerencia. Si f() ..) s_=,., e u.u F(u) du y g(}..) f_"'.., e-o.v G(v) dv, ent.urw!'s

f(>) g(>)

f"' f, c-iHu+vl f'(u) G(v) du dv

-oo -<tJ

Se hace ahora la transformación u + u ~ x.]

80. Si /(A) y;?(>.) son respectivamente las transformadas de Fouricr de F(x) y G(.x), demostrar que

r F(x) G(x) dx 2,;: 1 s· _"" /(A) g(A) da

donde la barra significa el conjugado del complejo.

81. Demostrar el teorema de Riemann (véase el problema 24).

82. (a) Mostrar cómo se usa la transformada de Fouricr para resolver

si U(O, t) = O,

(6) Dar una interpretación física.

.u

"

U(:e, 0) = e-x, y U(x, t) es acotada.

x>O

Resp. U(a::, t)

83. (a)

au a 2 U

Resolver Tt = 2 ax2 '

U(O, t) =O, U(:e,O) =e-x, x >O, U(x, t) es acotada cuando x > O, t > O.

(b)

Hacer una interpretación fí¡;;ica.

Resp.

84. Re¡;;olver au .,

U(:t: t) = ~ ("'Ae-2~ 1 tsen>..:t: dJ..

• 7r Jo A2 + 1

a'U ilz 2 , U:r(O, t) =O, U(:t:,O) = {" O

O;áz~l

:t: > 1'

U(x, t) e¡;; acotada cuando x > O, t > O.

Resp U(x, t)

85. (a) Demostrar que la solución del problema 33 puede expresarse como

U(x, t)

(b)

Demostrar directamente que la función de la parte (a) satisface a Tt = il:t: 2 y a las condiciones del

problema 33.

i!U

a2U

•

Capítulo 7

FORMULA DE INVERSION COMPLEJA

Si f(s) ~

.( IF(t) 1, entonceR .(-• lf(s) 1 está dada por

F(t)

1 f'"<

z~i

y-,«:

e'' !(s) ds,

t >o (1)

y F(t) = O para t < O_ Este resultado se llama la inversión integral compleja o fórmula de inversión

compleja. También se conoce como la fórmula integral de Bromwich. Este resultado

ofrece un método directo para obtener la transformada inversa de Laplace de una función

dada f(s).

La integración de (1) se realiza a lo largo de un segmento s = Y del plano complejo donde

s = x + iy. El número real y se escoge en tal forma que s = y quede a la derecha de todas las

singularidades (polos, puntos de ramificación o singularidades esenciales); aparte de esta condición

Y es arbitraria.

CONTORNO DE BROMWICH

En la práctica, la i niegral (1) se calcula

mediante la integral curvilínea

J

~ ¡: e" /(s) ds

2r.t j( (2)

donde C es el contorno de la figura 7-L Este

contorno, llamado contorno de Bromwich, se

compone del segmento AB y el arco BJKLA de

una circunferencia de radio R con centro en el

origen O.

Si representamos el are~ BJK LA por r,

puesto que T = VR 2 - y 2 , por (1), se deduce

que

F(t)

lim- ~

1 Jy+iT

R ... "' 2;rl. ~-- iT

e'' f(s) ds

lim {~ r_ e" f(s) ds

R-.oo 2¡;-l J'r

K

L

Fil'.7-l

- ~s 2r.z. e" f(s) a.s}

r

UTILIZACION DEL TEOREMA DEL RESIDUO PARA HALLAR

TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE

B y+1T

(3)

Supongamos que las únicas singularidades de f(s) son polos, todos ellos a la izquierda de

la recta 8 = Y, para alguna constante real y. Supongamos además que la integral (3) a lo

largo de T' tiende a cero cuando R-+oo. Entonces, por el teorema del residuo, (3) toma la

forma

201

•

202

FORMULAS DE INVER~Hü:'\1

COMPLF..JA

[CAP. 7

F(t)

suma de residuos de es' f(s) en los polos de f(s)

(4)

L residuos de est f(s) en los polos de f(s).

UNA CONDICION SUFICIENTE PARA QUE TIENDA A CERO

LA INTEGRAL ALREDEDOR DE r

Para la validez del resultado (4) hay que suponer que la integral alrededor de l' en (3)

tiende a cero cuando R-"oo. Una condición suficiente para que se cumpla esta hipótesis se

da en el

Teorema 7-1.

Si es posible hallar constantes M > O y k > O tales que

lf(s)l <

en todo el conjunto r (donde s = Re 1 fJ ), entonces la integral alrededor de r de e 8 t f(s)

tiende a cero cuando R~oo, es decir,

lim 1 e" f(s) ds

R ... ,.,Jr

M

R'

(5)

o (6)

La condición (5) se satisface siempre si f(s) ~ P(s)/Q(s) donde P(s) y Q(s) son polinomios

en los cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s). Véase el problema 15.

Este resultado es válido si f(s) tiene otras singularidades fuera de polos.

MODIFICACION DEL CONTORNO DE

BROMWICH EN EL CASO DE PUNTOS

DE RAMIFICACION

Si f(s) tiene puntos de ramificación, los resultados

anteriores pueden extenderse a ellos si el

contorno de Bromwich es modificado convenientemente.

Por ejemplo, si f(s) tiene un solo punto de

ramificación en s = O, se puede usar el contorno de

la figura 7-2. En esta figura, BDE y LNA representan

arcos de una circunferencia de radio R con

centro en el origen O, y HJK es el arco de una

circunferencia de radio t: con centro en O. Para los

detalles de la evaluación de transformadas inversas

de Laplace en tales casos, véase el problema 9.

E

L

Fig.7-:t

CASO DE INFINITAS SINGULARIDADES

Deseamos hallar la transformada inversa de Laplace de una función que tenga infinitas

singularidades aisladas; es posible aplicar los métodos anteriores. En este caso la parte curva

del contorno de Bromwich se escoge de tal manera que tenga como radio Rm y que encierre

tan sólo un número finito de singularidades sin pasar por ninguna singularidad. La transformada

inversa de Laplace requerida se encuentra al tomar un límite conveniente cuando

m-+oo. Véanse los problemas t:{ y 14.

•

CAP. 7]

l<'ORMULAS DE INVERSION COMPLF:.JA

203

Problemas resueltos

FORMULA DE JNVERSION COMPLEJA

l. Establecer la validez de la fórmula de inversión compleja.

Por la definición, tenemo~ que f(s) f."' .,-su. F(u) du. Entonces

. "

Haciendo .~ = y + iy, d s = id y, se transforma en

1 j'l'+iTf"

lim . (~st-s" F(u) du ds

T .... ~> 21r~ -y-iT O

i F'(t)

1o

por el teorema de la integral de Fourier [véase el Cap. 6]. As~ encontramos que

como se esperaba.

F(t)

1 fyl;,.,

-. e·•t f(s) ds

2:~r1. y-t><

t >o

t>O

t <o

t>O

t <o

En la demostración anterior se ha supuesto que e··n F(u) ea absolutamente integrable en (0, OD ), es

. '

decir, que f"" e-yw IF(u)l du converge, para que sea lícito aplicar el teorema de la integral de Fourier .

Para que esta condición se cumpla es suficiente que F(t) sea de orden exponencial y donde el número real y

se escoge de tal manera qu~ la recta del plano complejo s = y esté a la derecha de todas las singularidades

de f(sL Aparte de esta condición, y se puede escoger arbitrariamente.

2. Sea r la parte curva BJPKQLA del contorno

de Bromwich [Fig. 7-3] cuya ecuación es

s = Re; 8 , 6 ~ (J ~ 0

21r- 6 , 0

es decir, el arco

de una circunferencia de radio R y centro

en el origen O. Supongamos que sobre r se

verifica que

M

lf(s)l < R'

donde k > O y M son constantes. Demostrar

que

lim Í e" f(s) ds

R-ooJr

o

Si r 1 , r 2 , r 3 y r 4 representan respectivamente los

arcos, BJ, JPK, KQL y LA, tendremos que

Fig. 7·3

f est f(s) ds

• r

f e 81 f(s) ds + .r est f(s) ds + J'. e•t f(s) ds + J~ est f(s) ds

r 1 r~ J a r~

Entonces, si se logra demostrar que cada una de las integrales del lado derecho tiende a cero cuando R-+«J,

habremos demostrado el resultado requerido. Para esto consideremos las cuatro integrales.

Caso l. Integral sobre r 1 , o sea, sobre BJ.

Como s = ReiB, e 0 ~ 9 ~ r/2, tendremos, a lo largo de 1' 1 ,

'ff/2

est /(8} ds

f

I, J r,

. '•

eReillt f(Rei6) iReiiJ dfl

-

204

FORMULAN DE INVERSION COMPLEJA

[CAP. 7

Entonces :¡,¡ ~ f" 12 ¡etRl·us~Hj ¡etíR>'~'nm¡¡¡(Reie)lliRé"l d6

. "•

<

< Rk-l ~f""

Aqui hemos usado la <:nndición dada

rf>o :::: 1r/2- e 0 = sen--1 (y/R).

"•

ciRcos OH do

M f""

-- e(R,....n<J>)t d"-

Rk-1

"~'

o

1 f(s)l ;? M!Rk sobre r 1 , y la transformación fJ

Como sen rf> ~ sen <Po ~ cos o 0

= y/R, la última integml es igual o menor que

Pero cuando R->cx;,

R~-l 11 s··

o

e'¡ d.p

M e"~'trf>o

~

M eH sen-Il

Rk-1 R

w/2 - <f;, donde

esta última cantidad fiende a cero [cs!.o puede verse al observar, por ejl'mplo, que

sen- l(y/R) """" y/R par11 grandes valores de R]. Así, lim 1 1 = O.

R-•

Caso 2. Integral sobre r 2 o JPK.

Como s::: Re;9 , 1rfZ:::.;: 8 ~ 7T, a lo largo de r 2 , tenemos que

I, r est /(s) ds

. r,

Entonces, como en el caso 1, obtenemos

haciendo 9 = .,/2 t- .p.

~ Rk--l M f" e(Rco.<~8ltdfJ

• lT/2

Ahora. sen cp ~ 2.p/TT para O~ rp ~ rr/2

menor o igual que

M

Rk-l

j'n-12

'

f.,- e¡.¡~ltlt f(Re;&) iReifl rifJ

en

M

Rk-t

' '

¡•rr/'1.

--- e~(Rscn<I>H d.-.

'~'

[véase el problema 3}, de manera que la última integral es

e-2Rd>thr drp

que tiende a cero cuando R---+ ""· Así, lim 12 O.

Caso .'J.

La integral sobre r 3 o sea KQ/,

R-•

,M (1- -RI)

2tRk e

Este caso puede tratar~e en forma amiloga al caso 2 [véase el problema 58(b)].

Caso 4.

La integral sobre 1' 4 o sea !.A.

Este caso se puede tratar en forma análoga al caso 1, [vease el problema 58(6)].

3. Demostrar que sen rp 2:: 2rp/Tr para O 2 rp ~ 1r/2. y

Método l. Demostración gráfica.

De la figura 7-4, en la curva UPQ representa un

arco de la curva sinusoidal y = sen rt y)' = 2<{>/orreprcsenta

la recta OP; geomélricamer..te es evidente q~e

sen tp :;; 2rphr para O 2 rp ~ rr/2.

Q

•

Método 2. Demostración analítica.

Fig. 7-4

Consideramos

Tenemos que

dF

d.

F'(.;)

<P cos<{>- senq,

•'

(/)

•

CAP. 7] FORMULAS DE INVERSION COMPLEJA 205

Si G(.p) = <P cos rp - sin rp, entonces

(2)

Así, pam O ~ .¡. < r.-/2, G'(.p) 5 O luego G(</>) es una función de~.:ret:iente. Como G(O) =O, se deduce que

G (</>) ~O. Entonces, por (J) vemos que F' (</>) :;;;; O, o sea, que F( 1/>) es una funci{m decreciente. Definimos

F(O) = lim F(<P) - 1, vemos que J<'(.:P) decrece de 1 a 2/-u cuando</> va de O a 1r(2. Así,

·~·

de donde se deduce el resultado requerido.

1 ~

sen~ 2

>

• "

UTILIZACION DEL TEOREMA DEL RESIDUO PARA ENCONTRAR

TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE

4. Supongamos que las únicas singularidades de /(s) son polos situados todos ellos a la

izquierda de la recta s = y para alguna constante real y . Supongamos además que f(s)

satisface la condición dada en el problema 2. Demostrar que la transformada inversa de

Laplace de f(s) está dada por F(t) suma de los residuos de est en todos los polos de

[(,,).

TenemoE~ que

------; 1 f'+iT est f(s) ds + ------, 1 i est f(s) ds

21r1 y-iT 2JTt r

donde Ces el contorno de Brom"wich del problema 2 y r es el arco circular RJPKQLA de la figura 7-3. Por el

teorema del residuo,

- 1 . .C e-•t /(s) ds

Zv1 .'fe

suma de los residuos ~e e 3 t /(s) en todos los polos dentro de C.

~ residuos dentro de C.

As~

1 [~+iT

-2. est f(s) dtJ

1T~ • y-;T

l. residuos dentro de e - -2 1 . ( e 8 t /(s) ds

vt Jr

Tomando el límite cuando R--> 09, por el problema 2, encontramos que

F(t) =

suma de residuos de e&t f(s) en todos los polos de f(s).

5. (a) Demostrar que f(s)

1

-- satisface la condición del problema 2.

s-2

e"

(b) Hallar el residuo de en el polos 2.

s-2

(e) Calcular .,(_- 1 { 8

~ 2

} usando la fórmula de inversión compleja.

(a) Para s = Rei8, tenemos que

1' ~ 21 ln,L21

1

R-2 <

2

Ei

•

206

FORMULAS DE INVERSION COMPLEJA

¡CAP. 7

para R suficientemente grande (por ejemplo R > 4). As~ la condición del problema 2 se satisface cuo.ndo

k = 1, M= 2. Nótese que al establecer Lo anterior se utili·lÓ la desi~tu1lldad lz1 - z2': :;;; izd - 1z21 ¡véase

el problema 49(t), Pág. 167].

(h) El residuo en el polo simple-~

2 es

lim (s-2) e" )

( ~ 2

s-2 8

(e) Por el problema 4 y los resultados de las partes (a) y (b), vemos que

..e-· {-1_ts

a-2

suma de residuos de est f(s}

Obsérvese que en este caso el contorno se escoge de tal modo que '( es cualquier número real mayor que

2 y el contorno encierra el pulo -~ = 2.

6.

Calcular .e·-t {

1

(s + l)(s

1.

2)' J

usando el método de los residuos.

Como se requiere que la función, cuya transformada inversa de Laplace se busca, satisfaga la condición

(.5) del teorema de la Pág. 202 [esto se puede establecer directamente como en el problema 5, o usando el problema

15, Pág. 212J, tenemos que

..e-• { 1

(s+1)(s

1.

2) 2 J

}; residuo;; dé - e•t en los polo,; ~

(s + 1)(s- 2)2

-1 )'S 2.

Ahora, el re;;iduo en el polo s = - -1 es

lim (s+l)) e~ 1

•--t \_(s+1)(s

y el re;;iduo en el polo dohle s =

2 e;;

1d[ {e"}]

lim-- (s -2)2

s ..... zl! ds

(s+l)(s-·2)2_,

. d [ , .• , J

llm- - -

•··<2ds s+l

. (s + 1)test - r.st

!~ (8 + 1)2

! te2t

3

1

9 e2t

Bntonces l, residuo 1 ~+.!.tc2t

9 6 3

7. Calcular .. ¡;:-• { .,•~--.,..1

(s+l)'(s l)'f ·

Como en el problema 6, la inversa buscada e;; la suma de lo;; residuos de

(.s + 1)3 (.s 1)2

en los polos s = -1 y~ = !los cuales son de ordenes tres y dos respectivamente .

•

CAP. 7]


207

Ahora, el residuo en -~ = -1 es

. 1 d2[ sest

hm- 2

,-d 2

{s+I)!l(

11 ., 1

s-+ --1 , 8 8 + ' S

y el residuo en .~ = 1 es

Entonces

.Id[ 2 sest

-~~ D d8 (s- l) {s + lfl (s- 1)2

1.

JI' J

J

.l residuos

l •m- . d [---

_, .... 1ds (s-1)2

"" J

_!_ e- t (1- 2t2)

16

8. Calcular

-1 _j 1 'l

J;. )(s 2 +l)'f

Tenemos que

1

(s2 -t-1)2

1

=

[(s + i)(s 1)]2

1

(s+t)2(s-i) 2

La inversa buscada es la suma de los residuos de

(s + i)2 (s- i)2

en los polos .~ = i y .~ = -i que son ambos de orden 2.

Ahora, el residuo en .~ = i es

l. •rn-d a [<• - •"1' ( + .'" 1 , 1 ·¡2 J

s-is

s~s-t

1 .,

-¡te!

y el residuo en s = -i es

1" d 1( + ')2 est

~2.lT!_;ds L 8 1 (s+i) 2 (s

que puede obtenerF>e también del residuo en s = i al remplazar i por -i. Entonces

¿ residuos -! t(eit + ril) - ! i(elt - e-it)

4 4

1 1

- 2

tcost + 2senf

1 .

2 (:.en t - t cos t)

Compárese con el problema 18, Pág. 54.

TRANSFORMADAS INVERSAS DE

LAPLACE DE FUNCIONES CON

PUNTOS DE RAMIFICACION

9. Hallar J;.-

{.-.. r.}

1 - - utilizando la fórmula

de inversión

8

compleja.

Por la fórmula de inversión compleja, la transformada

inversa de Laplace buscada está dada por

E

L

D

F(t) (/)

y- iT

A

Como ~ =O es un punto de ramificación del integrando,

consideramos

•

208

FOHMULAS DE: INVRRSI0!\0_ COMPLEJA

est-aV~

1 f

e•f-nVs 1

6 st--aVii

- ---ds

271"i e s LS

S

---ds +-----:- ---do

8 2JT1

AD

BO< '

+ 1 ---do

211"i S est-aYs

'

1 f est-a,¡;

+ 2'1Ti • --,-- do

[CAP. 7

El/

JIJK

S S

+ est-uVs

211"i --,- ds + 1 est-nYs

~ ---ds

2:~rt 8

KL

LNA

"Y), de los arcos HDE y J.NA del círculo

donde Ces el contorno de la figura 7-5 que consta de la recta AB (N

de radio R y centro en el origen, y del arco HJK de un círculo de radio e y centro en O.

Como la única singularidad del integrado, s = O, no está dentro de C, la integral de la izquierda es eero

en vi~ud del teorema de Cauchy. Además, el integrando satisfat:e la condición del problema 2 [véa:;e el problema

611 de manera que al tomar el límite c.•nndo R __.,. oo las integrales a lo largo de BDH y LNA tienden

u cero. Se deduce que

F(t)

A lo largo de F.H,

mos entonce;;; que

S

'"

1 S e~t-uVs

lim ------: ---ds

R-+oo 2:rrt 8

~-o Afl

est--a,¡-;,

- lim __!__ { S

R-oo 21Ti

í-0 EH

s :::: xcwi, Vs

e~t-aYs

--ds

'

Análogamente, a lo largo de KL,

x va de " a R. Entonces,

---ds

f est-ai'S

8

KL

---d•

A lo largo de AJK, 8 ==,cm y tenemos que

est-a,¡;

---d.

8

'

Vxerri/2::::: i-.fX

f ~e~r-aVs

---d•

-R

f

S • R

(2)

y como.~ va de -R a-<', x va de R a"· Tene-

e e--xt- aiVx

'----dx

s :::: xe-wi, Vs :::: ..,[i e-r.i/2 = -iVx y como s va de -, a - R,

-R est-aVs

ii: e-xt + ai'IX

---d•

::__:.__ dx

' f f

-{ 8 •' X

X

Así, (2) se convierte en

f'(t)

f

• '

R e-xt + a;Vx

+ --·-dx

X

+

Como se puede tomar el límite bajo el signo integral, tenemos que

Así, encontramos que F(t) 1

_

f"" e -;d sena-.¡i d:c

'!T ' O X

(3)

Esto puede escribirse (véase el problema lO) como

F(t) 1 - fer (al2.fi)

fcer (aJ2Vi)

(4)

•

[CAP. 7 FORMULAS DE INVERSION COMPLEJA 209

10. Demm;trar que

1 J:"' e-zt senav'X

- ~ dx

~ o X

resultado final (4) del problema 9.

fer (a/2y't)

y, mediante esto, establecer el

Haciendo :x = u. 2 , la integral requerida toma la forma

2 j'"' c-u 1 t sen au

1 - du

' o u

Derivando cno respecto a a y usandn el prohlema 183, Pág. 41,

al

a a

-2 f" e-ult eos au du

' "

Entonces, usando el hecho que I = U cuando a = U,

l

f ' 1 -- e-p2f4t dp

oy;t

y el resultado queda e;;tablecido.

2 Ja/2Vi

- e-uz du

y; o

fec (a/2yt)

Si .CiF(l)l = /(s), tenemos que .CIF'(I)I = sf(s) - F(O)

_,e-t: {(~): = F(t) y F(O) = U, entonces .('-l:s f(;;): = F'(t).

s f(s) si F(O) ,... O. Entonces si

Por los problemas 9 y 10 tenemos que

F(t)

fcer (a/2'1,/t)

2 f"!2Vi

1 - - e-u 2 du

y; o

de manera que F(O) = O y f(•) .¡; {F(t))

Entonces se deduce que

F'(tl

~ t-312 e-a2!4t

2y;;

- - 2 f """ e-ut du }

..¡;o

TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE DE FUNCIONES

CON INFINITAS SINGULARIDADES

12. Hallar todas las singularidades de {(s)

cosh xvs

s cosh Vs

donde O < x < l.

Dehido a la preserwiu de v'S, parece que~ -Oc;; un punto de wmificación. Esto nue;; cierto; puede verse que

cosh xy'P,

s cosh ..,¡fi

1 -i- (xyS )2/2! + {xVS )4f4! +

s{1 + (y8)2/2! + (y'8)4/4! -t ···}

1 + x2s!21 + x1s2/4! +

s{l + s/2! + s2/4! + ···}

de lo cual resulta evirlent.e que no hay punto de ramificación en_,. = U. Sin eml:.targo, f'!l .~=O hay un polo simple.

La funcir\n {(.1·) tiene también infinitos polos dados por las raíces de la C{:uaeifln

('OSh y8

o

•

210


[CAP. 7

Esto~ ocurren cuando

e"~~"i+ 2kr.l k = O, ce!, =2, _.

de donde yr¡ = (k+ klr.i o

Estos son polos simples [véase el problema 56].

Así, f(s) tiene polos simples en

,q =O y ,q = sn, donde Bn = -(n-f) 2 11'%, n::::: 1,2,3, ...

13.

Hallar ,¡:-•

cosh xy'S}

{ • ~ donde O < x < l.

s cosh vs

Esta inversa puede hallarse haciendo uso del

contorno de Bromwich de la Fig. 7-6. La recta AB se

escoge en tal forma que permanezca a la derecha de

todos los polos, los cuales, como se ve en el problema

12, son

s = O y s = Bn = -(n -k) 2 1l'" 2 , n::::: 1, 2, 3, .. ,

El contorno de Bromwich se escoge en tal forma

que la parte curva BDEFGHA sea un arco de circunferencia

rm con centro en el origen y radio

Rm .;..:;

m2r.-~

donde m es un entero positivo. Esta elección nos ase·

gura que el conÍOrno no pasa por ninguno de los polos.

Ahora hallamos los residuos de

J:o'ig.7-6

en los polos. Tenemos:

c•t cosh xVs

s cosh Vi

El residuo en s = O es

lim (s _O) J c~r cosh xYB1

.... o l s cosh Vi J

1

El residuo en

8 = -(n- !J4r2, 1t = 1, 2,3,... es

8-8 }

= lim ---"

s ... sn { cosh Vs

!' { 1 l !' {'" oosh x\{8}

s~"i. (senh V8Hl/2Vi) J s~":~ s

4(-1)"

r.( 2

n _ 1

) e- (n -•..-; l~'11" 1 t cos (n- ~-):rx

Si Cm es el contorno de la Fig. 7-6, entonces

Tomando el límite cuando m _. oo y observando que la integral alrededor de l'm tiende a cero [véase el problema 54],

encontramos que

,{-t J co~hxv's[

:, s cosh vis j

4 •

1 + - :::¡

1:" ""']

•

CAP. 7j


211

14. Hallar

.e-• { senh sx }

s 2 cosh sa

donde O < x < a.

La función

es decir,

senh sz

f(s) = g2 cosh sa tiene polos en s O y en los valores de -~ para los cuales cosh .~a = O,

S :;::; Sfo: = (k.¡- 1)r.i/a k = o, ±1, ±2, ' ..

Debido a la presencia de .~ 2 , parecería como si s = O fuera un polo de orden dos. Sin embargo, al observar

que cerca a s = O,

senh sx

s2 cosh sa

sx + (sx) 3 /3! + (sx)5/5! +

s2{1 + (sa)212! + (sa)4f4( + · · ·}

vemos que .~ = 1 es un polo de orden 1, o sea un polo simple. Los polos gk son también simples [véase el

problema 56].

Procediendo como en el problema 13, obtenemos los residuos de est f(s) en dichos polos.

El residuo en s = O es

lim (s _O) {est senh sx}

s-.0 s 2 cosh sa

usando la regla de L'Hospital.

{·,.•m---

""h"} J,. •m-- '" }

s ... n 8 ls-o coshsa

El residuo en s = ·~k. es

Ji m (8 _ 8") { e~ 1 senh 8.1:}

s 1 cosh sa

Jlim 8 -sk l { lim eM senhsx}

L,·-·•h coshsaJ s ... ~.k 82

{

¡ · 1 } { r '" renh '"}

s~k asenhsa s~n,:~ B~

ai sen (k+ !>r.· '

eO!!+Ihhritfa i sen (k+ !)¡rx/a

(k+ !)2¡r2fa1.

a.(-1)" e( k+ !f¡)rritla sen (k+ tkx/a

"'(k+ ·kl'

Con un procedimiento conveniente de límite similar al que se usó en el problema 13, al tomar la suma

de los residuos obtenemos el resultado buscado,

X

X

+ ~i :i

1l" n=l

(-1)·~ e(k+lf•)"i!!a sen (k+ 1-hx/a

(k+t)'

(-1) 11 cos (n- -!Jhrt/a sen (n- -!)vx/a

(n ti'

X

+

Sa "'

-e ::S

v- n"" 1

(-l)n sen (2n - 1)r;x (211- l):d

oos----

(2n- 1)2 2a

2a

•

212 l*'OHMULAS DE INVERSION COMPLEJA [CAP 7

PROBLEMAS VARIOS

15. Sea f(s) ~ P(s)/Q(s) donde P(s) y Q(s) son polinomios tales que el grado de P(s)

es menor que el de Q (s ). Demostrar que f(,.,-) satisface la condición del problema 2.

Sean

+ am

donde 4Q _,¡.O, b 0

#O y O~ m < n. Entonces, si ¡; = Rpi<l, tenemos que

lf(•ll

I P(•)I =

Q(s)

1

a 0 sm + a 1 sm-1 + ••· + a 1

bosn -+- btsn l + ... + b:

a, 1 1 11 -f- (a 1 /a0R)rw + (aiau-f?2)e-2itJ +

1 b;;" Rn-m 1 + (bdbuR)o ilt + (b 2 /? 0 RZ).g úO +

+ (am/aoR'm)e-_nM 1

+ (bn/boR")e nltJ

Llamemos A el máximo de )a..¡/a 0 ), )azfaul, ... , )am/a 0 ).

y B el máximo de )btfbo[. lb2/bol, •.. , ]b.,/bol·

Entonces

paraR>Atl.

+ ~e-2i9

a,R"

"'

"

1 + ~(1

1 +

A

R-1

A

+ Rm

1 1

+R+R2 + ...)

< 2

Además,

" 1

" 1

1

-

-

1 b:~ e-W +

(B B

R + Rz +

''' + JJ_)

R•

B( 1 1

-¡¡l+Rz+Rz+ "')

b, . 1

.. ' + boRne-m(}

paraR> 2B+ l.

1

-

B 1

R-l 2

Así, para R mayor que A + 1 o que 2R ~

"'

lf(s)[ ,¡ ~~ 1 ·

1, tenemos que

1 1

Rn-m " i/2

donde M es cualquier constante mayor que 2lao.fbol y ll =

n-m~ L Esto dcmue~tra el resultado.

16.

cosh xvs}

Hallar .e' { h . r;; donde O< x <a.

seos avs

(a) Mélodo l. Por el problema 1~,

.c..-t f_cosh xVsl

\._s cosh VR J

tenemos que

•

CAP. 7]


Sustituyendo s por ks obtenemos, por la propiedad del cambio de escala de la Pág. 44,

Al multiplicar ambos miembros por k y al sustituir k por a2 y x por xja, llegamos al resultado deseado

,_, ( cosh xVs-l

J:. lscosha~J

Método 2. Podemos usar directamente la fórmula de inversión como en el problema 13 .

17. Hallar .,e-'J coshsx}

, s' cosh sb

donde O < x < b.

Sea f(s) :::::: cosh sx Entonces-~ -= O es un polo de orden 3, en tanto que s = -~k = (2k 1- 1)1Tij2b,

s3 cosh sb ·

k = O, ± 1, ±2, [las raíces de cosh sb ..., O] son polos simples. Procediendo como en el problema 13,

obtenernos: El residuo de e• 1 f(s) en s = ~k es

lim

J -e'1 cosh sx '¡

(s-sk).--- --~

l s1 cosh si! J

1 . ' ,,, } J .

l-"""''k cosh Rl!

hm - ----- !Jm

l s .... sk

b senh (2k __._ 1),;--i/2

ft~k+ u,-ir/:.!1' cosh (2k 1 l)""-i;r/2b

{(2k + i) .. i/2b)3

(-l)k8b2 e(2k + !J-¡¡-it/21>

(2k...¡..1);;-x

---(2k =,__ 1),.~ cos --2b ---

Para hallar el residuo en ~ = O, escribimos

e-•t cosh sx 1 ( 1 -~~~.~

+ ·1

s-1 \

+

s3 rosh Sb

,,

+ s4x4!4! l

2! s 2 b 2 /2! s4b·1/4! +-.-. J

t

·){;

R~f.~/2!

,, 8

_1 ( 1 1 + 21.2 + s2x2 s·lx·l

s 2 b 2

s-1 2! .. ) ( 1

' 2T + 4!

+ ) ( 1 2

+ 5s·1b1

24

-

·)

Así, el residuo [que es el coeficiente de ljs en esta serie] e~ ~(t2 + x2 - b2),

F.! residuo en s =

O se puede obtener calculando

La transformada inversa de Laplace buscada es la suma de los residuos anteriores y vale

que es la fórmula 123 de la tabla de la Pág. 252.

Wb_: :j. _ (~ cos (2u- 1);;-1 cos (2n- 1}.-,-J:

"J N-J(2n-1)-J 2/J 2h

•

214 FORMULAS DE INVERSION COMPLEJA ¡CAP. 7

18. A un circuito eléctrico, figura 7-8, se le aplica un voltaje periódico E(t} en forma

de 'jonda cuadrada" como el de la figura 7-7. Suponiendo que la corriente es cero

en el tiempo t = O, ¿cuánto vale la corriente un tiempo posterior?

E(t)

R 1

E,,f---,

-E,

,a

1

,a..

1

r-

1

1

L

Ftr. 7·7

La ecuación diferencial para la corriente l{t) en el circuito es

L di + Rl

dt

E(t) donde 1(0) = O

(1)

Tomando transformadas de Laplace y usando la fórmula 135 de la Pág. 253, obtenemos

Ls'i + Ri =

donde i(.s) .e {l(t)}. Así,

E o tanh as

8 2

o

l{t) --¡;.1:..

E, -i{ 1 "'}

8(8 + R/L) tanh 2

- Eo as

1 (8) = s(LB + R) tanh2

(2)

La función f(s) = 1 tanh~ tiene un polo simple en .~ = -RjL y polos simples en

s(.s + R/L) 2

s = slt = (2k + l)ll'i/a, k "" O, ±1, donde cosh (a~/2)=0. [Compárese con el problema 17.] El

valor .~ "" O no es un polo, puesto que

r tanh(as/2) a f. A · ¡ 'dd ·

= 2 es 1mta. sí, s = O es una smgu art a evitable.

1 ~ 8

Siguiendo el proceso de los problemas 13 y 17 obtenemos los residuos de ét {(.~)en los polos. Hallamos así:

El residuo en s = -R!l~ es

. { ,.. ··}

hm (8 + R/L) ( RIL) tanh ~ 2 -

s ... -Rn 88+

!::_ -RtiL ta h aR

Re n 2L

El residuo en s :::: sk ::: (2k + l)tri/a es

{

lim

8 -

11 k } { lim e~t senh (as/2)}

s .... sk cosh (as/2) s-sk 8(8 + R/L)

2et2k+l)'llit/a

= (2k + l)vi {(2k + l)vi/a + RIL)

•

CAP. 7)

FORMULAS DE INVEHSION COMPLEJA

215

Entonces, la suma de los residuos es

l

uR

~e ntn tanh 2

¡,

::i 2e{~k .. lJ,Ti!/a

k- ,...,(2k-r-l)ri{(2k-l~l);i/{{+R/L}

L_¡,-IWL tanh aR

R ~

2L

+ ~ ~ aRsen(2n-1/rot/a- (2n-1);;-Lcos(2n-lhrt/a

o. n-1 (2u - l){a2R2 _J_ (2n- 1)2ü2L2}

Así, de (2) deducimos el resultado bm1cado

lit) + 28'~ ~ aR sen (2-n- l);;t/a. (2n- 1),-L eos {2n -1)1rt/a

;;L n-1- (211 1){a2R2 + (21t-1)2r,2L2}

que puede escribirse también en la forma

/(1)

Eo

R

-IWJ.

-R. e

tanh~-

2!.

+

donde f,. ~ tan -l {(2n-l);;[,fuR}.

2E1) "" sen {(2n - l)rt!a - <Pn}

,.rJ- "~~ (fú~ 1){a2R2 + (2n--1)2¡¡-2L2}112


FORMULA DE INVERSION COMPLEJA Y USO DEL TEOREMA DEL RESIDUO

19. Utilizando la fórmula de inversión compleja calcular.

<:

l s2 + a~.

(a) 11-'-f

1 ' ,('-¡ r , 1

(b) .r:_-l ~_s"-1-r/i}' (o)

ll' + 11(,, + üf

Resp. (u) cos at, (bi hcn at)ja, (e) ~-(sen t -e os t t- e--t¡

20. Utilizando la fúrmula de inversión compleja, hallar las transformadas inversas de Laplat:e de

(a) 1/(s + 1)2, (b) 1/s3(s2 1 1).

Resp. (a) te-t, (b) ] t2 -1- cos t- 1

21. (a) ~mostrar 1

que /(s) = s2 - 3s -f 2 satisface las condiciones de la fórmula de inversión.

.c-1 {!(•)}. Resp. (b) e2t - et

22. Calcular .,( 1

l r ,, } . ..

(s 2 + 4 ) 2 JUStifiCando t.ndns los pasos.

Resp.

!sen 2t + tt cos 2t

23. {a) Calc:ular J.:. -l { (s 2

~ l)3} justificando los paso,; y

(b) comprobar su respuesta.

(b)

Hallar

•

1 J: sen

24. (a) Calcular 2 ;;i Y., (s 2 -l) 2 ds alrededor del contorno

e

C que se muestra en la figura adyacente donde R ~ :l y y > l.

(b) Dar una interpretación a su respuesta dentro de toda

la teoría conocida de la teoría de la transformada de Laplace .

Fig. 7-9

•

216 FORMULAS DE INVERSlON COMPLEJA [CAP. 7

25. Usa~do la fórmula de invcrsiún, evaluar ..(- 1 {--¡;+ iL)~s b) 2 } donde a y b son constantes positivas arbitranas.

26. Usando la fórmula de inver.".ión resolver: (a) EL problema 1::1, Pág. 53; (b) El problema 25, Pág. 5R; (e) El problema

28. Pág. 60; (d) El problema 110, Pág-. 74.

TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE DE FUNCIONES CON PU~TOS DE RAMIFICACIO!"J

27. Calcular .c_-1{e-Vi} usando la fórmula de inversión compleja.

28. Calcular ,.e-t { .Js} mediante la fórmula de inversión.

29. Demostrar que .(-1 { ~}

svs+ 1

fer Vt usando la fórmula de inversión compleja.

30. Calcular .c_-1 {s~l} usando la fórmula de inver~ión compleja.

31. (a) Usando la fórmula de inversión compleja calcular .('-1 {s-113} y(}¡) comprobar su respuesta por otro

método.

32. Calcular ..e-1 {ln (1 + 1/s}} mediante la fórmula de inversión.

33. Calcular .('-1 {ln (1 + 1/.s2)} mediante la fórmula de inversión. Resp. 2(1 - cm; l)jt

TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE DE FUNCIONES CON INFINITAS SINGULARIDADES

34. Hallar .e-• {-(- 1 --)} usando la fórmula de inversión compleja.

ses+ 1

35. Demostrar que .e-t {-- 1 --}

s cosh 8

1 - !{'cos!!.!.

• 2

1 3rrt + ! cos 511"t

acos2 5 2

36. Hallar

e•{ s 2 senh 1 8 }

'

2 "' (-1)n

Resp. -fft + 2 ~ -- 1

-(1- cosn11"t)

'iT n=l n

37. Haciendo uso de la fórmula de inversión compleja demostrar que

.e-•{ 1}

s-'i sen has

t(t2- a2)

--6-.--

38. Demostrar que ,e-1 { 1 }

(s2 + w2)(1 +e . 2as)

senw(l+a) +..!. :i cos(2n-1)r.t/2a

--2-.-- a n=! w2 (2n l)Z1T2/4a2'

PROBLEMAS VARIOS

39. Calcular (a) .(- 1 {1/(8 -1)4}, (b) .('-1 {c-2sf(s -1)4}, utilizando la fórmula de inversión compleja.

40. Calcular .c-t { (: 2

2; {¡z} utilizando la integral de línea. Resp. t cos t

41. Calcular .e,-t { ' }

(•' + 1)'

Resp. : 8

{3t2 cos t + (t3- 3t) sen t}

•

CAP. 7J FORMULAS DE INVERSION COMPLEJA 217

42. Calcular .('-1 { s(s a,- 1 }

1) 2 (8 + 1)

el resultado obtenido.

mediante la [órmula de inversión compleja y comprobar pnr otro mCtodo

13. (a) Demostrar QIJ(' la función /( .,) ....,

cosh-.~ satisface las condiciones del tf'orema 7-J.

82

(h)

De mostrar que .(' -l {--'--}

s2 cosh s

44. Discutir la relación entre los resultados de los problemas 43(6) y 35.

45, Calcular .(' -1 { 84

!. 4

} por la fórmula de inversión compleja ju!;tificando todos los pasos.

cus t senh t)

46. (IJ) Demostrar que si x > O,

,c-1 )( __ se-x.¡;.} _

ls2fw<:'!

-~ . r- 1 f~- ue-" 1 sen xVU

e-xvw/2 cos (wt- X y w/2) - - --.--.,-- du

rr o u2 + w-

(b) Demostrar que la integral de la parte (a) es insignificante para grandes valores de t.

47. Demostrar que para O< x < 1, senh sx

s2 cosh s

i f (-t)n cos (2n -l)"JTx/2

I'T """1 2n- 1 s2 + (2n 1)'1T 2 /4'

48. Cale u lar .( -1 { csch 2 8 } •

8

19. Demostrar que para O< x < 1,

senhxVi

Vi cosh Vs

2

~ (-1)"-1 sen(2n-1)1T:"t/2

n=l S+ (2n 1) 2 v2/4

50. Demostrar que

.¡:- 1 {In (1 + lis')}

1+e 2as

1 - cos (t +a)

t +a

1 .-: ( 4a' ) ,(2"cn-,?-!k'-''

t

+ a n~l In 1 - (2n -l)t-.T:! cos- 2a

51. Demostrar que para O< x <a,

.e_-1 senhVi(a-x)l

~

l senhfsa j

a-x

a

52. Usando la fórmula de inversión, desarrollar: (a) el problema 3(g), Pág. 48; (b) el problema 9{a), Pág. 51;

(e) el problema 14, Pág. 53.

53. Usando la fórmula de inversión, resolver yov>(t) - a4 Y(t)

Y(O) ~ 2, Y'(O) ~ O, Y"(O) ~ -1, Y"'(O) ~ O.

sen at + e -at sometida a las condiciones

54. Demostrar que la integral alrededor de r del problema 13 tiende a cero cuando R --4 oo.

55. Utilizando la fórmula de inversión compleja demostrar: (a) El teorema 2-3, Pág. 43; (b) el teorema 2-5, Pág.

44; (e) el teorema 2-10, Pág. 45.

•

218 FORMULAS DE INVERSION COMPLEJA [CAP. 7

56. Demostrar que las singularidades calculadas en: (al el problema 12 y (b) en el prublemo. 14 son polos simples.

[Sugerencia. Use el hecho de que si .~ = a es una raíz doble de ¡¡(s) = O, entonees s = a tiene que

ser una raíz simple de g' (-9) = 0.]

1 J:l'+ioo est

57. (a) Calcular - ---d• donde y > O. (b) ¿Cómo puede cnmprobar su respuesta?

2ll"i y-j"' .;;+1

Resp. t-llze-t/...¡; si t > O; o si t < o

58. Completar las demostracionefl de: (a) El caso 3 y (b) el caso 4 del problema 2.

59. Un voltaje E{t) en forma de semionda sinusoidal rectificada, como el que irrdica en la figura 7-10 se aplica

en el circuito eléctrico de la figura 7-ll. Suponiendo que la carga del condensador y la corriente valen cero en

1 = O, demostrar que la carga del condensador en cualquier tiempo posterior está dada por

Q(t)

1rEo{senwt- senw(t+ T)

2LT "'(o:2 "'2)(1 cos wT)

cos 2.,.nt/T

LT2 n=l (..,2 47t2n2/T2)(o:2 47r2n2/T2)

+ 21rE0 i

+ senat - sen a(t + T)}

cr(w2 11:2)(1 cos aT)

donde w2

1/LC, a2

E(t)

L

e

Flr. 7-11 Fic. 7-11

60. Desarrollar el problema 59 en el caso en que a = w y discutir el significado físico de sus resultados.

61. Comprobar el teorema 7-1, parata función e-aVi¡s, a> O {véase el problema 9].

62. Hallar .e-t {--- 1 ---} , donde a > O, mediante el uso de la fórmula de inversión y comprobar su

s 2(1 -e-na)

resultado por un método diferente.

63. Demostrar que ..e·-1 {e-~ 1 1 1 } -3 J:" v2 e-tv ,¡a.

3 - v/2 sen - - dv.

• o

2

64. Generalizar el resultado del problema 63.

66. Un resorte de rigidez k y de masa despreciable está su¡e,pendido verticalmente de un punto fijo y soporta una

masa m en su punto más bajo. A la masa m se le comunica una vibración alargando el resorte una distancia

xo y soltándolo. En cada momento en que la masa está en su punto más bajo, comenzando desde t = O, se

le aplica una unidad de impulso. Hallar la posición de la masa en cualquier tiempo t > O y hacer la discusión

física.

•

Capítulo 8

PROBLEMAS DE VALOR FRONTERA QUE INVOLUCRAN

ECUACIONES DIFEREN(:JALES PARCIALES

Varios problemas de la ciencia .y la ingeniería al ser formulados matemáticamente conducen

a ecuaciones diferenciales parciales que involucran una o más funciones incógnitas

junto con ciertas condiciones, provenientes de situaciones ftsicas, para dichas funciones.

Las condiciones se llaman condiciones de frontera. El problema de encontrar soluciones

para una ecuación que satisface ciertas condiciones de frontera se llama un problema de valor

frontera.

ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES IMPORTANTES

l. Ecuación de conducción del calor

en una dimensión

U(x, t) e!:i la temperatura de un sólido en el punto x en un tiempo t. La constante

k, llamada difusión, es igual a Kjcp donde la conductividad térmica K, el calor

específico e y la densidad (masa por unidad de volumen) p se suponen constantes. La

cantidad de calor por unidad de área conducida a través de un plano en la 11nidad de

tiempo está dada por -KU:r (x, t).

2. Ecuación de onda en una

dimensión

Se aplica a vibraciones transversales

pequeñas de una cuerda t1exible tensa lo~

calizada inicialmente sobre el eje x y puesta

en movimiento [véase Fig. 8-1 ]. La

variable Y(x, t) es el desplazamiento de

cualquier punto x de la cuerda en el tiempo

t. La constante a 2 = Tj p, donde 1'

es la tensión (constante) y P es la masa

por unidad de longitud (constante) de la

cuerda.

3. Vibraciones longitudinales

de una viga

Esta ecuación describe el movimiento

de una viga (Fig. 8-2) que puede vibrar

longitudinalmente (es decir, en la dirección

x). La variable Y(x, t) es el desplazamiento

longitudinal desde la posición de

equilibrio del corte secciona! en x. La constante

c 2 = gEjp donde g es la acelera-

2!9

y

~=<TY(~.·~ ~ .

Fig. 8·1

Fi~r. 8-2

•

220

APLICAC(ONES A LOS PROHLFMAS DE VALOH. FRONTEHA

[CAP 8

eión de la gravedad, E es el módulo de dasiicidad (esfuer:r.o dividido por ulurgamien·

to) que depende de las propiedades de la viga, res la densidad (masa por unidad de

volumen) de la viga.

Nótese que ésta es la misma ecuación que para una c.;uerda vibrant~.

4. Vibraciones transversales

de una viga

Esta ecuación describe el movimiento de una viga (localir;ada inicialmente sobre el

eje x, véase la Fig. 8-3) la cual vibra transversalmente (o se1:1 en dirección perpendiculur

al eje x). En este caso, Y(x, t) es el desplazamiento transversal o deflexión sobre cualquier

punto x en cualquier tiempo t. La constante

b2 = Elgjp donde E es el módulo d~ elasticidad,

1 es el momento de inercia de cualquier

sección tran~versal con relación al eje

x, f.! es la aceleración de la gravedad y p es la

masa por unidad de longitud. En el ca~o en

que se aplica una fuerza transversal externa

F(x, t), el miembro derecho de la ecuación se

remplaza por b' F(x, t)jEI.

o U

at

o

--Yl"'~s-

:;..Y¡¡¡<:""·',..l ~. -,-.--- •

Fig. 8-3

5. Conducción del calor

en un cilindro

U(x, t) es la temperatura en cualquier tiempo t de un punto del sólido cilíndrico que

está a una distancia r del eje x. Aquí se supone que el flujo de calor se presenta solamente

en dirección radial.

6.

Líneas de

transmisión

(!E

ox

,][

ax

- -· Rl - Li!l_

cJt

-GE

-

caE

at

Son ecuaciones simultáneas para la corriente

I y el voltaje_ E de una línea de transmisión

[Fig. 8-4] en cualquier posición x

y cualquier tiempo t. Las constantes R, L,

G y C son respectivamente la resistencia, la

inductancia, la conductividad y la capacidad

por unidad de longitud. El extremo

r = O se llama el extremo emisor. Cualquier

otro valor de x puede considerarse como extremo

receptor.

0~----------------·

Fig. 8-4

PROBLEMAS EN DOS Y TRES DJMF.NSIONES

Es posible generalizar muchas de las ecuaciones anteriores para aplicarlas a problemas

en dos y tres dimensiones. Por ejemplo, si Z(x, y, t) es el deHplazamiento transversal de cualquier

punto (x, y) de una membrana que He halla sobre el plano xy, en cualquier tiempo t,

entonces las vibraciones de esta membrana, supuestas pequeñas, obedecen a la ecuación

2 / a~z + a \ ;:¡j.-:::

(/)

•

CAP. 8] APLICACIONES A LOS PROBLEMAS DE VALOR FRONTERA 221

Análogamente, (2)

donde \7 2 <f.. se llama- el laplaciano de o:I>(x, y, z, t), y (2) es la ecuación para las vibraciones de

una membrana pulsante en tres dimensiones.

La ecuación general para la conducción del calor en un sólido tridimensional, suponiendo

constantes la conductividad térmica, la densidad y el calor específico, es

a u

at

k-+-+-

a'U a'U a'U)

(

&x2 áy2 az2

k;¡'U (3)

La ecuación para una temperatura estacionaria [donde U es independiente del tiempo, es

decir, aU/at = 0], es

a' U

+~ v'U o (4)

que se llama la ecuación de Laplace. Esta sirve también como ecuacaon para el potencial

eléctrico (o gravitacional) debido a la distribución de carga (o masa) en los puntos e;, que no

hay carga (o masa).

SOLUCION DE PROBLEMAS DE VALOR FRONTERA MEDIANTE

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Al hacer uso de la transformación de Laplace (con respecto a t o x) en un problema de

valor frontera en una dimensión, las ecuaciones diferenciales parciales pueden transformarse

en ordinarias. La solución puede obtenerse resolviendo esta ecuación ordinaria e invirtiendo,

bien sea por la fórmula de inversión, o bien por cualquiera de los otros métodos considerados

previamente.

Para problemas en dos dimensiones es a veces conveniente aplicar dos veces la transfor~

mada de Laplace (por ejemplo, primero con respecto a t y luego con respecto a x) y llegar a

una ecuación diferencial ordinaria. En tal caso, la solución se encuentra por una doble inversión.

Este proceso se conoce con el nombre de transformación iterada de Laplace. Puede aplicarse

una técnica similar en problemas de tres (o más) dimensiones. Los problemas de valor

frontera pueden resolverse a veces mediante el uso combinado de transformadas de Fourier

y Laplace [véase el problema 14].

Problemas resueltos

CONDUCCION DE CALOR

l. Un sólido semi-infinito x > O [Fig. 8-5] está

inicialmente a la temperatura cero. En el tiempo

t = O se le aplica y se le mantiene una temperatura

constante U 0

> O en la cara x = O.

Hallar la temperatura de cualquier punto sólido

en cualquier tiempo posterior t > O.

El problema de valor frontera para la determinación

de la temperatura U(x, t) en cualquier punto x y en cualquier

tiempo t es

u,

y

Fig.8·5

•

222

APLICACIONES A LOS PKORLEMAS DE VALOR FRONTERA

o U

"'

U(x,O) ~ O,

:r; > o, t >o

U{O, t) == U 0 , IU(x,t)l <M

¡CAP. 8

la última condición indica que la temperatura es cunstantP para todo x y l.odo t, tal ~;omo lo exige el prnbl11ma.

Tomando trandormadas de l.apiRce ~ncontramos que

su -- U(x, O) o o

(1)

donde

u(O, •1 ~ .( {U(O, ti}

'

(2)

y u = u(x, .~)

se necesita que sea acotado.

Resolviendo (1) encontramos que

u(x,s)

Escogemos q

O para que u resulte acotado cuando x _,. oo y tendremos entonces que

131

Por (2) tenemos que C2 U

0

f-~·. de manera que

u(x,s)

Entonces, por el problema 9, Pág. 207, y por el problema 10, Pág. 209, encontramos que

U(x,t) U 0

fcer (x/2-/ki) Ul--- e·u 2 du

o -,¡; ()

{ 2 i"'"" }

2. Desarrollar el problema 1 si en t = O la temperatura que se aplica está dada por G(t), t > O.

El problema de valor frontera es en este caso el mil"mO que el anterior ~alvo por el hecho de que la condición

de frontera U(O, t) = U 0

se remplaza por U(O. t) = G(t)_ Entonces si La transformada de Laplace de

G(t) esg{s), por la fórmula {3) del problema 1 encontramos que c2 """'g(s) de manera que

n(x,s)

Ahora, por el problema 11, Pág. 209,

Entonces, por el teorema de la convolución,

U(x, t)

i

< X

--u-3/2 l!-.:r 2 /1ku G(t- u) du

o 2-.;;;k

haciendo v

.r2 j4ku.

•

CAP. 8J APLICACIONES A LOS PROBLEMAS DE VALOR FRONTERA 223

3. Una barra de longitud l [Fig. 8-61 está a temperatura constante U 0 • Cuando t = O,

al extremo x = l se le apli-ca súbitamente una temperatura constante U, y al extremo

x = O se le aisla. Suponiendo que la superficie de la barra está aislada, hallar la temperatura

de cualquier punto x de la barra en cualquier tiempo t > O.

El problema de valor frontera es

a u

"

U{%,0) = U 0 ,

U,(O, t) = O,

O<x<l,t>O

U(l, t)

u,

Tomando transformadas de Laplace,

""- U(<, O)

k d'u

dx'

U,:¡(O,B) o, u(l, s)

o

••

k

u,

8

(1)

(2)

La solución general de (1) es

u c 1 cosh V8ifi :r; + . c2 senh ..fiJk :r; +

u,

•

Por la primera condición de (2) encontramos que c2 = O; así,

u c 1 cosh ..,f8ik x +

Por la segunda condición de {2),

u,

c 1 cosh V8fk l + o

8

u,

•

••

u,

•

U 1

- U 0

s cosh ..¡;[k l

Así.

u(x,s)

Uo U U) coshVsfkx

~-+(t-0

B

s cosh YiJk l

La inversa del primer miembro es U 0 . Por la fórmula de inversión compleja encontramos que la inversa del

segundo miembro, a menos del factor constante U1 - Uo, viene dada por

1 J' .¡.;..., cosh ..,¡;;{k x

- 6st d11

21ri Y - ;,., s cosh V8fk l

Como en el prnblema 13, Pág. 210, se puede demostrar fácilmente que esto es igual a la suma de todos los residuos

del integrando en las singularidades que son polos simples y que estos se presentan en

ll ::O, Vsfk¡ (n- !)1ri n = o, ±1, :;1;;2, '''

o

8 :: o, •

(2n -1)'<'k

41'

n 1, 2, 3, ...

•

224

APLICACIONES A LOS PROBLEMAS DE VALOR FH.ONTERA

[CAP. H

Ahora:

El residuo en s

O es

. / est co!<.h Vslk x )

lun (s) ( .--·· --

_, ... l) \ s eosh .¡;¡¡: 1

1

EL residuo en 8 ::::

lim

(2n- 1) 2 or2k

4l2

e'r cosh vr;;¡¡¡ :r)

{S-l)'n) ------_-

(

¡; cosh '1/s!k l

r . , - ,, 1

; !Jm -- · ------- 1

.·' ..... ·'n coshWI_,'

e" e o,; h vr;;Jk. x l

1

usando la regla de L'Hospital. AsL obtem•mos

U(x,!) +

"' f 1)"

~-·--e-'~"

n-12n-1

LA CUERDA VIBRANTE

4. Una cuerda infinitamente larga con uno de sus extremos en x = O está inicialmente

en reposo sobre el eje x. El extremo x = O se somete a un desplazamiento transversal

periódico dado por A 0

sen wt, t > O. Hallar el desplazamiento de cualquier punto de

la cuerda en cualquier tiempo.

y

X

Fig.S-7

~¡ Y(x, t) es el desplazamiento tramwersal de la cuerda en t:ualquier punto x en cudlquier tiempo t, entonces

el problema cle valor frontera e!;

:r -~O, t >O (1)

Y 1 (:e, 0) :__. O, }"{0,1) = A 1

,,;enwl, (21

dnnde la última cóndición e~pecifica que ~1 desplazamient.D e~ acotado.

Tomando tmn,;rormadas de Lnp\ace encontramo~ que, si y(x, s) .{ {Y(x, t)},

o sea o (3)

y((), ti

A,JW

:;;:¡:::-:;~'

y(x, e,) es arotada (4)

•

CAP. 8]

APLICACIONES A LOS PROBLEMAS DE VALOR FRONTERA

22fi

La solución general de la ecuación di[erencial es

y(z, s)

Por la condición de acotación es necesario que c 1 =

O. Entonces

Por la primera condición de (4), cz

y(X,B)

A 0 w j(s2 + w2). Entonces

y(x,s)

A 0 w

s2 + w'l e-sxla

Así

{:o sen w(t - x/a) t >x/a

t <x/a

Esto significa físicamente que un punto x de la cuerda permanece en reposo hasta el tiempo t = xja. Después

tendrá un movimiento idéntico al del extremo x = O pero retardado en un tiempo t = xja. La constante

a es la velocidad con la cual viaja la onda.

5. Una cuerda tem;a elástica y flexible tiene fijos sus extremos en x = O y x = l. Al tiempo

t = O se le da a la cuerda la forma definida por F(x) = p.x(l - x), donde ¡.¡,es una

constante, y luego se le suelta. Hallar el desplazamiento de cualquier punto x de la cuerda


El problema de valor frontera es

a' Y

O<x<l,t>O

Y(O, t) ~ O, Y(!, t) = O, Y(x, O) :::: p:x(l- :e),

Tomando transformadas de Laplace encontramos que, si y(x,s) ::::

s2y - s Y(x, O)

d'y

a2 dJ:2

.C.. {Y(z, t)},

o

o~·

donde y(O, s) O,

p.BX(l- X)

a'

y(l, s) = O

(1)

(2)

La ~olución general d~ (1) e~

y c 1

cosh ~ + c 2

senh ~ + JlX(l- x)

a a s

(3)

De las condicione~ (2) deducimos que

_g_azJl

e,

de esta maner<.~. U) ~e convierte en y

2a 2 .u(l-coshsl/a)

s 3 senh sl/a

2a 2 Jl

- --- tanh sl/2a

•'

2a 2 Jl cosh s(2z- l)/2a + J.!~_(l- x)

- s3 cosh sl/2a s

(4)

Usando residuos (problema 17, Pág. 213) encontramos que

Y(x, t)

32a~(j_) 2

f __ \-l)n cos(\:;n-1)17(2z-l) cos(2n-- l)1rat

lTa 2a n= 1 (2n-1P 2l l

o """

~~ ~ __ 1 ___ sen (2n- 1)_?"~ CQS (2n -1),-at

1Tan~1(2n-1)3 l l

•

226 APLICACIONES A LOS PRORLF.MA8 DF. VALOR FRONTERA

[CAP. 8

VIBRACIONES DE VIGAS

6. Una viga de longitud t cuyo extremo x = O

está fijo, corno se muestra en la Fig. 8-8,

se halla inicialmente en reposo. Rn el extremo

libre se le aplica longitudinalmente

una fuerza constante F 0 por unidad de

área. Hallar el desplazamiento longitudinal

de cualquier punto x de la viga en

cualquier tiempo t > O.

1 1

x=O x-

Fig. 8-8

Si Y(x, t) es el desplazamiento longitudinal de cualquier punto x de la viga en d tiempo t, el problema

de valor frontera es

donde E es el módulo de Young.

Ü <X</, f > Ü

Y(x, 0) = O, Y 1

{x, O) = O, Y{O, 1) ~ O, Yx (l, t) F 0 /E

Tomando transformadas de Laplace encontramos que, si y(x, s)

.C. {Y(x, t)),

s~y(x, R) - s Y(.:r, O) - Y 1 (:e, O) o

o

y{O, s) = 0, y,(l,s) -= F 0 /Es

(1)

Resolviendo la ecuación diferencial encontramos que

y(x, s) C¡ cosh {sx/c) + Cz senh (.~x/e)

Por la primera condición de (l), q = O; as~

1/(X, s)

y_Ax,s)

e 2 senh {sx/c)

c 2 (s/c) cosh (s;r/c)

Por la segunda condición de (1), tenemos que

e~ (sic) cosh (sl/c) o

eF 0

¡;;f¡2 co;h (sl/c)

Entonces

y(.r, 8)

cF'u >.enh (fl.r:/c)

E' s~eosh7Ji?i

(2)

Luego, por el problema 14, Pág. 211,

Y(x, t)

,_,, ¡·_

. X

p;

+

§i!_ ~ -~' (2n- !lr.x . (2n -_l),.cl]

"1 ¡,~ l (2¡¡ l )~sen 2! cos- 2l

(3)

7.

En la. viga del problema anterior, determinar el movimiento del extremo libre x

función del tiempo t.

1 en

Por la fórmula (2) del problema f:i, pcml x

?f(.<, s)

l obtenemos

cFo senh (sf/c)

R ~tz;Sh-{877C)

Pero, por el problema 92, Pág. :H 11 lu fórmula rH, Pág. 25:3. ésta es La tran~formada de Laplace de la onda

triangular de la Fig. R ~- tUe describe el movimiento del (~Xfrf'mn x = 1 en función de t .

•


Y(l, t)

8. A una viga semi-infinita, la cual se halla inicialmente en reposo sobre el eje x, se le comunica

un desplazamiento transversal h en el tiempo t = O sobre el extremo x = O.

Determinar el desplazamiento tranf'>versal Y(x, t) de cualquier posición x > O en cualquier

tiempo t > O.

Rl problema de valor frontera es

o X > 0, t > Ü (1)

Y(x, O) ~ O, Y,(x, O) ~ O, Y(O, t) ~ h, Yn (O, t) ~ O, ]Y(x, t)] < M (2)

Tomando transformadas de Laplace, obtenemos

d'y

s2y(x, s! - s Y(x, O) - Y 1 (x, O) + b 2 dx 4

o o

o

y( O, s) ..::: h/s, y":r(O,s) :::: O, y(x, s) es acotada

(.1}

La solución general de la ecuación diferencial es

y(x,s)

Por la condición, tt = c2 = O a~i que

y(x,s)

Por la primera y segunda condiciones de acotar.:ión de (3), encontramos que q

O y es

hjs de modo que

La tran~formada

inversión compleja,

y(x,R)

J!_C_ ..¡-;jTh I COS ..¡;;]2b X

'

inversa dtC Laplace es, por la fórmula dt•

•

Y(:r, t)

Para calcular esto usamos el {:unlorno de la Fig. f!. \0 ya que

s = O es un punto de ramificación. Pnl('cdiendo como en el problema

9, Pág. 207, al omitir el integrando, obtenemos

Y(x, t)

1

- lim -· -+- +

/l-+:.c 2rri • , ,

t .... O 1:11 1/JK KL

{ ¡· f f'}

(4}

Fig. 8·10

..

228 APLICACIONES A LOS PROBLEMAS DE VALOR FRONTERA

[CAP. 8

A lo largo de EH,

8 = ueJTi, Vi::::::: iVU. y encontramos que

J

<H

j·• he-111- i..r,;m,x cosh ..,Ju/2b x

~--------~~~~~du

~ ¡¡ u

A lo largo de KL, s = ue-m, Vi:::..: -ifu y obtenemo~

Entonces de llJK, 8 :::: fcill

Entonces (4) se convierte en

Haciendo u f'l.b

Y(x, t)

J

KL

v2 escribimos

y obtencmofi

J

IIJK

Y(x, t)

(R he-"t + iVliifí)x_cc~os~h,___,y~u~/~2~b'-"x du

J, u

_l f"'e-utsen..,fUfibxcoshv'U!Jbx du}

¡¡-. o u

2 f"' e-- 2 bD 2 f sen vx cosh vx l

-- ---- dv~

rr

11

V )

Este resultado puede también expresarse en lérminos de inte¡trale~ de Fresnel [véanseelproblema66ylas

fórmulas 10 y 11, Pág. 255] como

Y(x, t)

f ,,,,, (cos w 2 +

o

sen u• 2 ) dw l

J

LINEAS DE TRANSMISION

9. Una línea de transmisión de inductancia y conductancia por unidad de longitud despreciables

tiene un voltaje en su extremo emisor, x = O, dado por

E(O, t)

O< t < T

t > T

Hallar el voltaje E-(x, t) y la corriente l(x, t) sobre cualquier punto x > O en cualquier

punto t >O.

Si tomamos L = O y G = O, lat"> ecuaciones de la linea de transmisión serán

a E

ax

-RI,

(J)

Las condiciones de frontem son

E(x, O) ':";" O, l(x, O) :::-: O,

E(O t) ~ J E,

, \o

o< t < T

t > T'

1E(x,t)i < M

Toman de transformadas de Laplacc, ~i usamos las notaciones ..C. {E(x, t)} E(x, ,¡, Jé {J(x, t))

tenemos que

dE

- Ri,

dl

dx

dx

C{sÍf- E(x, O)}

Í(x,s),

es decir,

iiJ R7,

di

dx

dx

-CsE

(2)

Derivando las primeras ecuaciones de (2) con respecto a .r eliminamos J., obtenemos así

-Rg_J

dx

RCs'E

rl'i·E ""

l'lx 2 ~· RCsE

o

(3)

------------------------~------

•

CAP. 8)

APLICACIONE~ A LOS PROBLEMAS DE VALOR i''RONTEHA

229

La solución general de (3) es

E(x,s)

c 1

e ..¡¡u:;_,.

por la condición de acotación. e¡ =

O. Entonces

(4)

Escribamos E(O, t) G(t) y .J:. {k'(O, t)} ::: É(O, s) ..:.: g(s). Entonces, por (1), c 2

= g(s); así

(5)

U!:iando el teorema de la convolución como en el problema 2,

E{x, t)

Ahora como

G(t-u)

O<t-u<T o

t-u> T

t-T==u<t

u< t-T

se deduce que si t > T,

E(x,t)

(tomando RCx 2 /4u"" v2)

En tanto que, si O < 1 < T,

J . ( xVRC \ ( xVRC) i

E., l ter ( -- l - fer 1 ~ ~

• \2~/ \ 2vt J

E(x, t) ¡•! ~R---e_ u-3/2 e R<r 2 /4n E o dn _n 2E f"

• 1) 2-v;;

...¡;;. • x..¡-¡¡;:;12Vt

e-v2 dt.•

Como 1

E" (1 - fec (xYRC!2/t)}

E 0

fcer (xjRE/2ft)

1 aE

- R ¡¡;¡, al derivar obtenemos que

](:;:) t)

O< t < T

t > T

PROBLEMAS VARIOS

10. (a) Resolver el problema de valor frontera

au a'U

¡¡¡· = k (t;r2

X> 0, t > 0

U(:r, O) = Un, U,( O, t) ~ -aU(O, t), jU(x, t)j < M

(b) Dar una interpretación del problema en términos de flujos caloríficos .

•

230 APLICACIONES A LOS PROBLEMAS DE VALOR FRONTERA

(CAP. 8

La motivación del problema está en confliderar un sólido

conductor semi-infinito cuya temperatura inidal es U 0 , y en

el cual ocurre radiación en un medio x < O a temperatura cero.

Se supone que esta radiación es tal que el flujo en la cara x = O

es prnpordonal a la diferencia en temperaturas de la cara x = O

y el medio x < O, es decir,

o

U, (O, t) = -a(U(O, t) -O) -a U(O, t)

Para obtener la solución, tornamos transformadas de

Laplace; así encontramos

su- ul}

o sea

-a u( O, s), u (x, s) es acotada

Fla:- 8-11

(1)

(2)

La solución general de la ecuación diferencial es

u(z,.s)

Por la condición de acotación, e 1 = O. Entonces

Por la primera condición de (2), c 2 =

u(x,s)

.u.

;

s(Vs- a)

así,

u(x,s)

Ahonl usando la fórmula de inversión compleja,

U(x, t) u, +

Omitiendo el integrando, como en el problema 8, tenemos que

1 fy+i>=est-of'Si'k:r-

- do

2 1fi • y-;., a(Vi- o:)

A lo largo de EH, s = ue.,.i, ,..-T =

- lim _1_{ f

R-"' 21fi ,

E-o EH

1 v: u y obtenemos

t e-u.t-lV87'iCz

J .f.

du

R u(h[ii- o:)

EH

A lo largo de K!., s w-rri, v-S ~ -i JU y obtenemos

J f k 6

-u.t + ;l/S!f z

~-~-du

t u(-iVu- o:)

KL

(J)

A lo largo de HJK, .~ = feio y obtenemos

J =

HJK

f

-• ,e_••_'o''o---c-"c'-"-"_r_•_z i d8

..,. ..¡; ei012 - a

Usando los resultados de (3) vemos que

_l_fyti"'est-Wk:~: da

21Ti y-ioo 8('1ÍS- a)

1 + .!J:o:e-"t[VucosxVu- asenxVuJdu

a 1r u u+a2

0

•


231

U(:z:, t)

a U, j""" ~[VU cosxVu -

o.ou

u+(l2

o: senxVu] du

si u= v2.

2o:Uo i""e~~!t[v cosxv

v

t• v2+

0

o: senxv] dv

•'

11. Una cuerda tensa y flexible tiene sus extremos sobre el eje x en los puntos x =O y x = l.

En el tiempo t =O se somete a la cuerda a que tome la forma definida por F(x), O< x < 1

y se le deja libre. Hallar el desplazamiento en cualquier punto x de la cuerda en cualquier

tiempo t > O.

El problema cle valor frontera es

a' Y

(Jf!.

0 < X < 1, t > 0

Y(O, t) ~ O, Y(l, t) ~ O, Y(x,O) F(x),

o

(/)

(2)

En vez de la ecuación (I) es conveni~nte considerar

n~Y

-¡¡jl

azy

rJx~

la solución final se obtiene 11l sustituir t por at [véase el problema 49].

Tomando t.ransformad11s de Laplac~ obtenemos

d2y

s2y - s Y(x, O) - Ydx, O) JX- 2

o "'

- aF(x)

(3)

y(O, s) O,

y(l,s)

o

(4)

La solución general de (31 [prnblema 8, Pág. 85] {'S

y(x,s) 1\ cosh sx + e~ senh z:rx - ~x F(u) senh s(z- u) du

Por la primera condición de (4), c 1 =O; así,

y(X,B) c 2

senh sx - fx F(u) senh s(z- u) du

o

(5)

Por la segunda condición de (4),

O c 2

senh a - [

1

F(u)scnh s(l- u) du

' o

o sea

Así, (5) se transforma en

y(x,.s)

f

"' f'(u) J

f

f

1 F(u) senb_ s(l- u) du

0

senh s

1 F(u) senh s(l--:- u) senh sx du - fx F(u) scnh s(x _-u) du

n senh 8 o

La primera integral se puede expresar como suma de dos integrales, una cle O a x y la otra de .r a L Entonces

f scnh zt(l- u).senh sx _ senh s(x _u)} du + 1

F(u) se~h s(l- u) senh sx du

y(x,s)

o l senh s x senh s

f

x P(u)senhs(l-z)senbsu du + JI F(u)senhs(l--u)senhsx du

senhs x senha

0

•

232 APLICACIONES A LOS PROBLEMAS DE VALOR FRONTERA [CAP. 8

Tenemos que encontrar ahora la transformada. inversa de Laplace. Por la fórmula de inver~ión complcjt~,

la inversa del primer término es

_.!.., fy+i«> est { Í:t F(u) senh.s(l- ~) senh su du}. ds

2~rt v-io: ) 0 ,;enhs

Como esto es igual a la suma de los residuos en los polos simples 11 = nli'"i, encontramos la inversa requerida

::i ett:llit (z F(u) sen 7hr(l- x) sen n-:ru du

n=+oo Jo COS1tlr

~ { fz F(u) sen n:vu du} sen n1rx: cosn1rt

Jl-1 Jo

Análogamente, la inversa del segundo término es

n~l { ~ 1 F(u) sen n:~ru du} sen n~rx cos tlll't

Sumando hallamos

Y(x, t) ~ { (

n-1 J 0

1

F(u) sen nvu du} sen 'l'W:t: cos n.,.t

Y si remplazamos t por at, tendremos

Y(x, t)

n~t {~ 1 F(u) sen n?TU du} sen nli'"X cos nll'at

12. Un cilindro circular infinitamente largo y de radio

unidad tiene una temperatura inicial cons·

tante T. En t = O se le aplica y se le mantiene

una temperatura de O"C en su superficie. Hallar

la temperatura de cualquier punto del cilindro

en cualquier tiempo posterior t.

z

Si (r, .p, z) son las coordenadas cilíndricas de cualquier

punto del cilindro y éste tiene como eje al eje z [véase Fig.

8-12], es claro que la temperatura es independiente de rp

y de z; por consiguiente podemos denotarla por U(r, t). El

problema de valor frontera es

au

at

O<r<l (1)

U(l,t) =o, U(T,O) = T, IU(T,t)l <M (2) Fir. &.12

En vez de (1) es conveniente considerar la ecuación

y remplazar en t por kt.

au

at =

Tomando las transformadas de Laplace

su - U(r, O)

o sea

cPu 1 du

dr2+'Ydr- 8 u

-T

u(l,s) o,

u(l, s) = O, u(r, s) es acotada

La solución general de esta ecuación es, en términos de funciones de Bessel,

u(r,s)

c 1 J 0 (iV8 r) + c 2 Y 0 (iV8 r) + 8

Como Y 0

(i vSr) está acotada cuando r --1- O, tenemos que tomar c2 =O .

T

•

CAP. 8]

APLICACIONES A LOS PRORI.RMAS DE VALOR FRONTERA

233

J<;ntonces

u(r,s)

T

+ S

Como u(l, .~)

O, encontramos que

O S{'U

,,

T

s J 0 (iVi)

Así,

u(r,s)

T

'

TJ 0 (iVir)

sJ 0 (iV8)

Por la fórmula de inversión,

U(r, t)

Ahora J 0

(i .._/S) tiene ceros simples cuando i -..-S- ).. 1, A2, ... An,.. As[, el integrando tiene polos simples

en s - -A~, n = 1, 2, 3, . y también en .~=O. Puede demostrarse adem.á..'l que el integrando satisface

las condiciones del problema 2, Pág. 23, de mod(J que si" puede usar el método de los residuos.

Tenemos:

El residuo del integrando en s =

O es

estJo(lfsr)

lim s 1

s-o sJ 0 (i\ÍS)

Rl res id un del integrando en s =

-;>..~es

lim

··--)\!

2c-J-,!tJo()..nrl

An Jl (;r..n)

Para calcular el límite hemos usado la regla de L' Hospilal y el htx:ho de que J~ (u)

-J 1 (u.), Entonces,

U(r, t)

Remplazando t por kt obtenemos la snluciún requerida

U(r, t)

13. Una barra aislada semi~infinita que coincide con la parte positiva del eje x está inicial~

mente a temperatura cero. En t = O se genera instantáneamente una cantidad de calor

en el punto x = a, donde a > O. Hallar la temperatura de cualquier punto de la barra


La ecuación de la conducción de calor en la barra es

f!U

"

:e> o, t > o (1)

•

234 APLICACIO!\j"F.S A LOS PROBLEMAS DE VALOR FRO:\"TERA [CAP. 8

El hecho de que la·cantidad de calor ~e genere instantáneamente en el punto :r ~a se puede " representar por la

condición de frontera

U(a, t) Q 8(t) 121

donde Q es una constante y 8(t) es la función delta de Dirac. Adem8.s, como la temperatura inicial es cero, y

cualquier temperatura está acotada, se tendrá que

U[x,O) = O, IU(x,t)! < M (31

Tomando las transformadas de Laplace de(!) y (2) y us<1ndo la primera condición de (3) cnrontramos que

su - U(x, O)

k d'u

dx'

o sea

o

(41

u(a,s)

Q

(.S)

Por (4),

u(z,s)

y por la condición de acotación c 1 =O; así,

u(x,s)

(6)

Por (5), u( a, s) Q

o sea

Qe.,f;/ka

así,

u(x,s)

(7)

Usando el problema 11, Pág. 209, invertimos y encontremos lu temperatura buscarla

U(x, t)

~Q~_ e- rx-ul 2 /4kt

2v;;ki.

(8)

La fuente puntual x = u se Llama fuente de calor de potf'nciu Q.

14. Una placa semi-infinita de espesor 7f [véase Fig. H-131 tiene aisladas sus caras. Los

bordes semi-infinitos se mantienen a O u e en tanto que el borde finito se mantiene a

lOO" C. Suponiendo que la temperatura iniciai es de O"C, hallar la temperatura de cualquier

punto en cualquier tiempo.

Suponiendo que la difusión vale uno, el problema de

valor frontera para determin·ar la temperat•1ra es

•

a u =

azu a2u

"

-+- (1)

iix2

aya

U(O,y, t) o (2)

o' e

o' e

U(W",y,t) o (3)

U(z,y,O) o (4)

U(z,O,t) 100 (5)

100° e

•

1 U(x,y, t) 1 < M (6)

donde 0 < ::C < "~~"• Y > 0, t > 0.

FQ:. 8·11

•

CAP. "1

APLICACIONI!:S A LOS PROBLEMAS DE VALOR FRONTERA

235

Tomando la transformada de L.aplace de la ecuación (1) y utilizando la condición (4), encoutmmos que si

u= u(x,y, s} = .t:. {U(x, y, t)},

su (7)

Multiplicando (7) por sen nx e integrando de O a rr [o se.a, tomando la transformada de seno, Pág. 175], encontramos

que

iJ2u

axz sen nz dx

0

i

iT

o sea, si U 1·'

r. u sennx dx,

-n2U + nu(lT,y,s) cosn1r + nu(O,y,s) +

(''

J. su sen nx dx

• o

su

(RI

Por las condiciones (2) y (3) de las transformadas de Lapla~, tenemos

u( O, y, s) = O, u(lT,y,s) = O

y (8) se convierte en

o

Esta ecuación tiene como solución

U

Como U es acotado cuando y """"' oo, debemos tener que A = O; así,

Por la condición (5)

ü (n, O, s)

Ahora, haciendo y = O en (9), encontramo~ que

i

'lOO

B

¡¡

--sen nx dx

' . .

100 (1 - cos nr.)

8 "'

(9)

o ,.,.

Por la fórmula de inversión seno de Fourier [Pág. 175], tenemos

u = - 2 ....,;, ~ -- 100(1-cosn'~~'") e - 11v'n1+ 1 sennx

w n;:ct 8 n

(10)

Tenemos que obtener ahora la transformada inversa de Laplace de esta expresión. Sabl'mos que

de manera que

Entoncel'l

{ .-,r.+;;i}

.(-1 ---

•

haciendo y2/4v = p2.

•

2:16

APLICAClOl\ES A LO~ PROUL}<;:viAS DE VALOH FRO~TE:RA

[CAP. 8

Invir1 iendn (/Ol término a término y usando este último resultado, encontramos

U{x, l/. t)


CONDUCCION DE CALOR

15. Un sólido semi-infinito, x>O. tiene su temperatura inicial igual a cero. Se le aplica un flujo constante de calor A

en su cara x -O en tal forma que -KU;,; (0, t) =A. Demostrar que la temperatura de di(: ha cara, despues de

. A~-1

un t1empo l es -;; -,

K "

16. Hallar la temperatura del sólido del problema liJen cualquier punto x >O.

17. Un sólido O~x~l está aislado en s·H; dos extremo~ x ~O y x ~l. Si la temperatura inicüli es iguul a

ax(l- x), con a constante, hallar la temperatura de cualquier punto x en cualquier tiempo t.

Resp.

oJ2

6

e --Jkn2:-r~tfl2

2 nr.x

~~-~- cos----

n' 1

18. (a)

Usando transformadas de Laplace resolver el problema de valor frontera

(b)

Rnp.

Ü < X < 10, t > 0

11(10, 1) 20, 11,(0,1) = o, ll(x,O) 50

Dar una interpretación de este problema en términos de flujos de calor.

(a) U(x,t) 220- 2x2 + 640_Q j (-1}"_ e-r2n-JJ",.2•neoocos(2:n·-l)-rrx

103 n=l(2n-1) 3 20

19. (a) Resolver

X > Ü, t > Q

11, (0, t) ~ o, U(x,O) :::;; e ''. U(x, t) acotado

(b) Dar la interpretación de t~st.e problema en términos de flujos de calor.

2ft f lÍt - ·!-

e ~ .T 21 ~" 2 dv

Rf'.~P- U(x, t) et-:r - .y;

0

20. {a) En un sólido st•mi-infinito x >O se mantiene su cara :r =O a temperatura U o coswt, t >O. Si la

temperatura inicial C!; ceru e u todaíi partes, clemostrai- que la temperatura de rualqui•~r punlo x >O en

cualquier tiempo 1 > O es

U(x, t)

(b) Demostrar que para grandes valores de/. la integral del resultado de la parte (a) es despreciable .

•

CAP. 8] APLICACIOKES A LOS PRORLEMAS DE VALOR FRONT_ERA 237

21. Un sólido semi-infinito, x ~O, est.á inicialmente a temperatura cero. Cuando t =O la cara x =O se eleva

in~tant.áneamente a una temperatura T 0 y se manliene a esta temperatura por un tiempo lo; luego esta temperatura

se reduce instant..áneamente a cero. Demostrar que, después de que ha transcurrido un tiempo adicional

t 0 , la temperatura es máxima a una distaneia dada por x = 2 /kt 0 la 2 donde k es la constante de

difusión, que se supone constante.

22. Cuando t =O, un sólido semi-infinito, x >O, que está a temperatura cero se somete a un f1ujo calorífico sinusoidal

aplicado sobre la cara x = O en tal forma que -K U x (0, t) = A + B sen wt, t > O. Demostrar que la

temperatura de la cara está dada, en cualquier tiempo posterior, por

2 V§_~ tl'2 + ?_E!_"ff__!:l__ ~~(i ,¡¡ cos wt'2 d·u) sen wt - (f"fl sen wvi &v) cos wtjl.

K\(,. l o ;

23. Hallar la temperatura del sólido del problema 22 en cualquier punto x >O.

LA CUERDA VIBRANTE

24. (a) Resolver el problema del valor frontera

0 < X < T.", t > Ü

Y:r(O,t):::: O, Y(;,,t'1- h, Y(x,O):::: O, Y 1 (x,O)--' O

(b)

Interpretar físicamente la parte (a).

Resp. Y(x, t)

25. Re~olver el problema de valor fronLera.

Y u y:r:r--'- g 0 <X<;;-, f > 0

Y( O, t) ~ O, Y{;;, t) = O, Y{.'t', O).:::: 11 x(;:-- x), Yt (x,O) o

e interpretarlo físicamente.

Resp. Y(x, t)

~UX{OT- X) +

4(2M.r- r¡) ~ 1

-- -_--·- ~ _ 113

sen(2n-l)xcos(2n-1)t

.. ""'1 (2n

26. Una cuerda tensa, flexible y elástica tiene sus extremos fijos en x = O y x = /. En t = O se desplaza su punto

fijo a una distancia h y se deja libre. Hallar el desplazamiento resultante en cualquier tiempo t >O.

Re.w Y(.'~", t)

(2n -lh.r (2n -lh--at

sen

cos -----

1

1

27, ül) Resolver X> O, t >o

{b)

Yx (0, t) ""' A sen wt, Y(x,O) :::: O, Yr (x,O) o

Dar una interpretación física de este problema.

Jko,;p. (a) Y(x,t) ~~{cosw(t- x/a)- 1} si l >x/a y o si t ~x/u

w

VIBRACIONES E;o..; LAS VIGAS

28. Pna viga de longitud l tiene fijo su extremo x = O y libre el extremo x = l. Su extremo x = l recibe un desplazamiento

longitudinal instantáneo de longitud a, y queda libre. Demostrar que el desplazamiento resultante

de cualquier punto x en el tiempo t está dado por

Y(x, t)

ax

T+

2a ~ (-1}" 'l'lrrx n-;;-ct

- .,¡;, --- sen--ro,--

"' n=t n l l

•

2~8 APLICACIONES A LO:-! PHOBLEMAR DE VALOH FRONTERA [CAP. 8

29. Una viga tiene sus extremos cnlgando en :r ~ O y x = l. Cuando 1 =O la viga es golpeada con una veloeidad

transvcr~al V 0

sen 1T xjl. Hallar el desplazamiento transversal dt: cualquiera de sus puntos en cualquier tiempo

posterior.

30. Desarrollar el problema 29 cuando la velocidad transversal es V 0 x(l- x).

31.

32.

Una viga de longitud 1 tiene colgados sus extremos. Demostrar que la!! frecuencias naturales de sus oscilaciones

tmnsversale5 están dadas por

'·

11 = 1, 2, 3, ...

Una viga elástica semi-infinita se está moviendo en relación a su extremo infinito a una velocidad v 0 cuando

uno de los C)[tremos es frenado bruscamente, mientras que el otro permanece libre. (a) Explicar, con referencia

a este problema, el significado de Lo que se escribe a continuación y, (b) resolver el problema del valor frontera

que resulta.

Ytt (x, t) = a2 Y,.,"' (x, t) X > 0, t > 0

Y(x,O) = O, Y(O, t) = O,

Re!>p. (b) Y(x, t) = -v~/a si t > x/a y -v 0

t si t :::;; x/a

lim Yx (x, t)

·~·

o

I.JNEAS DE TKANSMISION

33. Una linea de transmisión semi-infinita, de inductancia y conductancia por unidad de longitud despreciables,

tiene voltaje y corriente iguales a cero. Cuando t =O se aplica un voltaje E 0 en el extremo emisor x =O.

(a) ~mostrar que el voltaje en cualquier punto x >O y cualquier tiempo t >O está dado por

E(x,t)

y (b) que la corriente correspondiente es

l(x, t)

34. En el problema 33 demostrar que la corriente, en un tiempo específico l, tiene un máximo en la posición ' 2tf R C

del extremo receptor.

35. Una lín{'a de transmisión semi-infinita, de resistencia y conductancia por unidad de longitud despreciables, tiene

voltaje inicial y corriente iguales a cero. Cuando ~ =O se aplica un voltaje F. 0 (1) en el extremo emisor x =O.

(a) Demostrar que el voltaje en cualquier posición x >O es

E(x,t)

y (b) que la correspondiente corriente es

I[x, t)

t > xVLC

t < xVLC

t > xVLC

t < xVLC

36. ~opóngase que la línea de transmisión del problema 35 e¡; tal que R¡l. = G/f:. Demostrar que el voltaje e'>tá

dado por

E(z,t)

t > xVLC

t < xVLC

y comparar este resultado con el del problema 35. ¿Cuál es !.a corriente en este caso?

37. (a) Una linea de transmisión de conductancia y resistencia despreciables tiene su extremo emisor en x =O y

el receptor en x = l. Se le aplica un voltaje E 0 en el extremo emisor y se mantiene abierto un circuito en

el extremo receptor de modo que la corriente es cero. Suponiendo que el voltaje y la corriente iniciales valen

cero, demostrar que el voltaje y la corriente de cualquier posición x en cualquier tiempo 1 >O están dados

por

•

[CAP. 8


239

E(x, t)

E 0

cosh ..¡¡;¡e (l- x)

cosh ..,¡y;¡c l

(b)

l(x, t)

E o ,¡¡;¡e ,.nh .¡¡;¡e (1- x)

cosh '1/LIC

Discutir el significado del hecho de que el voltaje y la corriente de (a) son independientes del tiempo.

38. (a) Discutir el problema 37 en el caso en que la resistencia y la capacitancia sean despreciables, pero no la inductancia

ni la conduct.ancia; demostrar que en este caso

E(x, t)

4 ~ 1 (2n- l)<x (2n- l),t}

E 0 fl l

- - "" --- cos cos

;r 11,..¡2n-1 2l 2ly'LC

(b) ¡,Cuál es la corriente en este caso'? Discutir la convergencia de la serie obtenida y explicar su significado.

PROBLEMAS VARIOS

39. (a) Resolver el problema de vaior frontera

w

"

U(O, t) ~ O,

J'U

~ + 2x

U(l, t)

O,

0 < X < 1, t > 0

U(x, 0) = x -

x2

(b)

Dar una interpretación física a la parte (a).

&sp. U(x, t) ::::: x(l- x) - ·-¡¡- 4 :I '(' - 6 -•'•'') sen n:ux

.,.. n-t, n:J

o sea V(x, t)

40. DesarroHar el problema 39 cuando la condición U(O, t) = O se remplaza por U :e (0, t) =O.

U(x,t)

5

3 - 2x2 +

e-t2n-JJ 2 ,- 2 t/4 (2n -l):r,x

(2n 1)4 cos 2

41. Cn sólido O < :r < l está inicialmente a temperatura cero. A la cara x =O se le da una tempemtura U(O, t) =

G(t), t > O, en tanto que el extremo x = l se mantiene a O<' C. Demostrar que la temperatura en cualquier

punto x y tiempo t es

V(x,t)

21r ~ fnJ:f -n•112uJ1'lG( ) d } n:rx

,¡¡;, e 7 t-u u sen - 1

-

[2 ""' 1 l o

42. Desarrollar el problema 41 si el extremo x = l está aislado.

43. Demostrar que resolver un problema de valor frontera con la ecuación a u = k a 2 U es equivalente a resolver

at Ux2

el mismo problema remplazando la ecuación por

aU = a 2 U y l'f!mplazar luego t por kt.

iJt ax 2

44. En un sólido O< x < l se mantienen en cero las temperaturas de sus extremos, y su temperatura inicial es

F(x). Demostrar que la temperatura de cualquier punto x en c:ualquier tiempo t es

2 •

l

1/¡¡-U

c-ku2,-2ffl•sen n:rx

U(:r, t)

F(u) sen - - dn

• o

1

XC !1 0 < X < 1, y > 0

que satisfaga •Hx_. O) -=- x, O

'"

< x < 1. Resp •l•(x,y) = :n·-~ (1-!- y)

45. Hallar una solución acotada de ,.,

x-

_ :;E

l n-! l f.

•

240 APLICACIONES A LOS PROBLEMAS DE VALOR FRONTERA [CAP. 8

46. Una cuerda tcnsionada entre :r = O y x = 1 es desplazada en su centro una dtstancia D y luego se suelts.

HaHar el desplazamiento resultante, con relación a su punto de equilibrio, de cualquier punto x en cualquier

tiempo t.

Re.~p. Y(x, t)

47. Muestre cómo un problema de líneas de transmisión con inductancia y conductancia por unidad de longitud

despreciables es equivalente a un problema de conducción de calor.

48. Resolver el problema de valor frontera

49.

aY+ xaY + y

ñt ax

X > Ü,

donde Y(O, t) O, Y(x, O) = O. Resp Y(x, t) :::: ~x(l - e-2t)

t > Ü

Demostrar que resolver un problema de valor frontera, en que aparece la ecuación -at2 = a 2 aX·:ta2Y

a2y

valcnte u resolver el problema remplazando la ecuación por ~ :::: dx 2 y remplazar luego t por al.

82y

a2Y

es equi-

50. Demostrar que un problema de líneas de transmisión en la

cual la resistencia y la condudancia son despreciables es

equivalente al problema de la vibración de una l:uerda.

51. Una cuerHa está tensionada entre x ~ O y x = l. El extremo

x = O se somete a un desplazamiento transversal regido

por Y(O, t) = F(t ), donde F( t) es una función del tiempo

pre-fijada; el extremo x - 1 permanece fijo. Hallar el desplazamiento

transversal

52. Una placa semi-inf1nita tiene espesor 1r [vCase Fig. 8-14]

y sus caras aisladas. Los bordes sa-mi-infinitos se mantienen

a O"C y el borde finito está aislado. Si la temperatura

inicial es de 100"'C, hailar La temperatura de cualquier punto

en cualquier tiempo.

Fig. 8·14

53. Un sólido O < x < l, está inicialmente a una temperatura constante y sus extremos x = O y x = l se mantienen

a temperatura cero. Demostrar que la temperatura de cualquier punto x está dada en cualquier tiempo

t por

U(x, t) U 0 fcr .

( x re; ) + U 0 :l; " (-l)n{ fer (nl-x) - · - fer (nl+x)} --

2y kt .~. 2/ki 2/ki

54. Una viga tiene sus extremos colgando en x = O y x ~ l. En el tiempo t = O se le aplica en forma instantánea

una carga transversal concentrada de magnitud w sobre el punto medio. Demostrar que el desplazamit•nlo

transversal resultante de cualquier punto x de la viga viene dado. en cualquier punto t .> O, por

Y(x,t) ...!!!.!. .. ( 3 l 2 - xZ) _ _g_~·l: {sen!!~~+ sen3:r~/f +sen 5vx/l + .. ·}·

12EI 4 r.4Ef 14 34 54

si O < x < 1/2 y el resultado para (/2 < x < l se obtiene por simetría.

55. Th•mostrar que el problema de frontera

;u

"

U(O, t)

tiene como solución

U(x, t)

az.u - a2U

Bx'

u,, U(t, t)

U 1 scnha(l-x) + U;_scnhax +

senh o:l

O<x<l,t>O

u,, U(x,O) o

•


56. Mostrar cómo el problema 55 puede interpretarse como un problema de flujo de calor en PI euoJ uno. barra

de longitud l puede irradiar <.:alor en sus alrededores.

57. Una fuerza transversal dada por F(x) = :r(1r- :rl actúa en cada punto x de una viga que está c4iolgada en

sus extremos x = O y .r = 1T. Si el desplazamiento transversal inicial y la velocidad valen cero, hallar el desplazamiento

transversal un tiempo posterior t.

68. Una línea de transmis1on semi-infinita de inductancia y conductancia por unidad de longitud despreciables

tiene un voltaje aplicado en !'.U extremo emisor x = O dado por R(O, t) = E 0

cos wt, > O. Suponiendo que

el voltaje y corriente iniciales valen cero, (a) demostrar que, después de un largo tiempo, el voltaje en cualquier

punto x está dado por

E(x,t)

y (b) demostrar que la corriente correspondiente es

/(x, 1)

59. Una cuerda semi-infinita está inicialmente en reposo sobre el eje x y tiene fijo su extremo x = O. Cuando

t = O, a cada punto x de la cuerda se le da una velocidad inicial definida por F(x), x > O. Hallar el desplazamiento

resultante de cada punto x en el tiempo r > O.

60. Una fuerza transversal concentrada F = Fosen wt, t > O, se aplica en el punto medio de una viga que está

colgando de su::; extremos x = O y x = l. Demostrar que el desplazamiento transversal resultante es

Y(x, t)

bF0 sen wt ~b { sen -;r:v::;fb _ senh ;c.¡;;;jb }

4EI w cos 1~/2/b cosh zv-;;;2..,fb

si O < x < 1/2; el resultado para f/2 < x < l se obtiene por simetría. Discutir cuál es el significado (LSico

si w = bn21r2jf?. para algún n = 1, 2, 3,

61. Hallar la temperatura estacionaria en el cuadrado de la figura 8-15

si las caras planas están aisladas y los lados se mantienen a las temperaturas

constantes indicadas.

U(x, y) =

4T " sen (2n- 1)-¡;r:r. senh(2n- l):r(l- y)

-};

71 1'!-l (2n 1) scnh (2t1 1)1T .

62. Desarrollar el problema 62 cuando los lados se dejan a temperaturas

constantes T 1 , T2. T 3 , 1'4.

(0, 1)

oo e

•

oo e

(1, 1)

(O, O) T e 0 (1,0)

.

oo e

•

63. Supóngase que en el pruhlenHl fi2 la temperatura inicial es de O" C.

¿Cuál seria la temperatura para cualquier ¡lUnto del cuadrado en

cualquier tiempo?

Fig.8·15

64. Una viga de longitud l tiene su extremo x = l fijos. Cuando / -O, al extremo .r se le da un desplazamiento

longitudinal n y se le deja libre. Demostrar que el desplazamiento Longitudinal resultante de cualquier punto

x viene dado, en cualquier tiern¡JO t, por

Y(x, t) D { 11(t- x/a) - 11 ( t- ~~: ~) + 'U ( t- ~!-J-~) - .. -}

donde 'U es la f\meiún escalonada de Heaviside. Discutir la solurión grMieamente .

•

242 APLICACIONKS A LOS PHUHLJ!:MAS UK VALOR FRONTERA

[CAP. 8

65. Dos sólidos conductores semi-infinitos, x < O y x > O [Fig~

8-16] tienen conductividades térmicas y difusividades dadas

respectivamente por K 1 , kt, K2, k2. Las tGrnpernturas iniciniC\s

constantes de estos sólidos son, respectivamente, Ut y l.h. Demostrar

que la tempt"ralura dP cuah.¡_uif'r punto del ~ólido x > O

en cualquier tiempo t es

U(x,t) l/ 1

_,_ U 2 -U~f1 + ¡}'fer( __ x ____ )l

!+ " l 2,¡¡:;¡ J

- - :,,/V\i1o?ri,-L.'L\'J-'-'\_í:

'

'

donde <\': -- KL.¡¡¡;IK2~- \ ~ · , 0 ~ \

Su¡wren.cia. Las ecuaciones de conducción del calor son dU

[

a2u au a2u

ktaXf• x <O Y Tt :::::

.,

k 2 ~, x >O; se necesita además

Hm K 2 U:~:(:c,

x-O+

t).J

que lim U(x, t)

x-olim

U(;~;, t)

,.: ... o+

Fig. 8~16

66. Verificar el resultado del final del problema 8, Pág. 228.

67. Un cilindro circular infinito de radio unitario tiene temperatura inicial cero. Se aplica un flujo constante A

a su superficie convexa. Demostrar que la temperatura de los puni:.os que están a una distancia r del eje está

dada, en el tiempo t, por

A

2A

•.\;, U(r,t) -1k{l-Bkt-2r2} t

1 Jo (A,~)

k

x;J0(A,)

donde An son las raíces positivas de J 0 (h)::: O.

68. En un cilindro de radiu y peso unitarios se mantienen a cero sus extremos circulares y MI superficie convexa

se mantiene a temperatura U o. Suponiendo que el eje del cilindro coincide con el eji z, demostrar que la temperatura

estacionaria a cualquier distancia r del eje z es

U(r, z)

4Uo i sen(2n -_1),-z Io{(2n-l)w·r}

-----;;- ""''--2"1L-- 1- / 0 {(2n-1)1r}

69. (a) Resolver el prohlema de valor frontera

fJ2Y_ + b2!~ o

f!f2 rlx4

Y(O, t) ::: O, Y(l, t) =-- O, Y(x, O) = O, Yt (x, O) ::- O,

O<x<l,t>O

Yu(l,t}::: O, EIY.u(O,l}- P 0 seno.Jt

(b) interpretando físicamente

Resp. (a) Y(x, t) =

bP11

senwf J se_~j{__~?) Y;fj

l senh l y---:;jb

2Elw

sen {1- x) {;Jb)

sen 1 Ywib r

+

2wPo ~ ~ sen n:.:r/1 sen bv 1 ;r 2 t/f2

o El ....-1 --1 1 (;_:;2-:::_ -fiiJJ-1;,11!"1)

70. Una línea de transmisión semi-infinita, de inductancia despreciable, tiene voltaje ini<:ial y corriente iguales

a cero. Cuando t ~ O se aplica un voltaje constante Eo en el extremo emisor x - O. Demostrar que el voltaje

en cualquier punto x es, en cualquier tiempo t > O,

B(.r,l)

- E 0 cosh x-{Gfi

¿ Cmil es la corriente correspondiente?

•

Apéndice A

TABLA DE LAS PROPIEDADES GENERALES DE LA TRANSFORMADA DF. LAPLACg

f(s) = s·

e-" F(t) dt

"

/(•)

F(t)

1. aj¡(s) + b/ 2 (•) aF,(t) + bF 2 (t)

2. f(s/a) aF(at)

3. f(s- a) eat F(t)

e-as/($) 'U(t- a) {:(t-a) t >a

4. =

t <a

5. • /(s) - F(O) F'(t)

6. •' /(•) - 'F(O) - F'(O) F 11 (t)

7. s" f(s) - sn-1 F(O) - sn-2 F'(O) - ... - Ftn-1) (O) F<n>(t)

8. f'(s) -tF(t)

9. f"(s) t'F(t)

10. ¡<nl(s) (-l)•t• F(t)

11.

f(s)

8

. "

ft F(u)du

· · · ft F(u) dun ::::;

f(s)

12.

f'

ft (t- u)n-l F(u) du

,.

o • o o (n-1)!

13. f(s) g(s) r¡ F(u) G(t- u) du

• o

•

244 TABLA DE LAS PROPIEDAUE:S GENERALES DE LA TRANSFORMADA '[Apéndice A

\

DE LAPLACR

/(•)

14. s· f(u)du

15.

1

'

r

F(t)

P(t)

t

1 e-su F(u) du F(t) ~ F(t+T)

' " o

f(y'i)

16. <r ~ e- 1121 4t J.'( u) du

• y,-t ()

17. ! f(l/s) í"' J 11 (2v;;i) F(u) du

• ' 8

18.

1

sn+ t f(l/s)

tn/2 f~' u-roi2Jn{2-.¡;;t) F(n) du,

o

19,

f(• + 1/•)

s 2 + 1

Jt J 0 (2v'n(t- u)) F(u) (lu

o

20.

_1_ f"' u-312 e-s2ftu f(u) du F(t')

2.¡:; o

21.

f(ln s)

f" t"F(n) d

s ln s

---"

• !l !'(u+ 1)

22.

P(s)

:i P(aü e«kt

Q(•) ~.col Q'(a¡;)

P(•l ~ Polinomio de grado menor que n,

~

Q(•l (s- a 1 )(s- ad · · · (s-an)

donde a 1 ,a2, .. . ,an !Ion todas diRtintas

•

-~--------------~

,

Apéndice B

'T'ABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE ESPECIALES

11•1 Flt)

1.

2.

3.

1

'

1

"

1

-

'"

n :::: 1,2,3, ..

tn-1

(n-1}!'

1

t

O!:::: 1

4.

1

-

'"

n>O

tn-1

l'(n)

5. _1_

·-a

'"'

6.

1

(s-a)"

n:::: 1,2,3, ...

tn-teat

(n-1)1'

O!= 1

7.

1 n>O

(s-a)...

tn.-1 eat

---r{n)

8.

1 ~

~ a

9.

8

,s'! + a2

cos at

10.

11.

1 e,ltt sen at

1• b)2 + o;2 a

8- b ebt cos at

(8 b)2 + a,2

12.

1 :~enh at

s2- a2 a

13.

8

s2- a2

cosh at

14.

1 ebt senh at

1• b)' a' a

246 TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE ESPECIALES {Apéndir:e B

/1•)

F(t)

15.

8- b

18 b)' •'

ebt cosh ut

16.

17.

1 eQt- eal

... b

1• a)(s b) b-=-a

8

bflbt- ae"l

... b

(s ~ a)(s b) b- a

18.

1 senat - at cos at

(s2 + a.2)2 2a'

19. •

t sen at

(s2 + a2)2 2;;--

20. 8' sen at + at cos at

(s2 + a2)2 2a

21. •' cos at - !at !lenat

(s2 + a2)2

22.

82- az

(s2 + a2)2

t cos at

23.

1 at cosh at ~nhat

(s2 _ a2)2 2a'

24. • t senh at

18' a2)2 --2.--

25. 8' senh at + at cosh at

a2)2

1•' 2a

26. •' cosh at + ~at senh at

1•' a2)2

27.

sz + az

(s2- a-2)2

t cosh at

28.

29.

1 _(3 a2t2) sen at 3at cos at

(s2 + a2)3 Sa'

8 t sen at - at 2 cos at

(sZ + a2)3

Ba'

30. •'

(1 + att2) sen at - at cos at

(112 + a2)3 Sa'

31. 8' 3t sen at + at2 cos at

(s2 + a2)3 S a

•

Apéndice B]

TABLA DE TRANSFORMADAS DR LAPLACE RSPECIALES 247

\

32.

/(•)

F(t)

.. (3 -a2fZ) senat + 5at cos at

(s2 + a2-)3 Ba

33.

34.

•'

(8- a2t2) cos at - 7at senat

(s2 + a2)3 8

3s 2 - a2 t2 sen at

{s2 + a2)3 ----za

35.

sa- 3a2s

(s2 + a2)3

~t2 coa at

36.

8 4 - 6a282 + a4

¡ 8 z + a2)4

1t3cosat

37.

38.

39.

40.

-·

41.

42.

43.

44.

s3 - a2s t 3 sen at

¡ 3 2 + a2)4 24•

1 (3 + a2t2) senhat - 3at cosh at

(•' a2)3

Ba'

8 at2 cosh at - t senhat

( 8 2- a2)3 8a 8

•'

a2)3

1•' 8a 8

•'

at cosh at + (a2t2- 1) senh at

3t senh at + at2 cosh at

(s2 _ a2)3 Ba

••

(3 + a2t2) senh at + 5at cosh at

(a' a2):! Ba

(•'

•'

a2)3 8

(8 + a 2 t 2 ) cosh at + 7at Sl;!nh at

3s2 + a2

t2 senhat

( 8 2- a2)3 2a ·

45.

as+ 3a2s

(s2- a2)3

!t2 cosh at

46.

8 4 + 5a28 2 + a4

(•' a2)4

~t::J cosh at

47.

48.

s 3 + a2s

t;3 senh at

(•' a2)4 24a

1 eat/2 { -.J3 sen ..,¡3 at - V3at

sS +as aa•

e-3at12~

2

cos-- 2

+

J

•

248 TABLA DE TltANSFORMADAS DE LAPLACE ESPECIALES [Apéndice B

'

¡¡,¡ F(l)

49. '

.

cat/2 1' ..j3at

/3sen~at- 3at/2l

83-+ a 3 ~ icos - 2

- +

,.

J

50. •'

_J_ ('-o<

s:l + a3

-.../?:at\

+ 2eat!2 cos -- ·

3 \ 2 /

51.

52.

53.

1 e-"tt2 Je:lo111 .;3 at ..[: ,f3at\

- cos -2- 3sen-

8 3- a3 3o' \

2

--J

8 e-ul/2 f V3 -../3 at -../3at

63at/2ls3-

a3 ~l 3sen~ - oos- 2 - + J

•'

'( . v'3at\

8 3- aa _ eat + 2e-ur/2 cos --;

3 2

1 1

54.

s4 + 4a 4 ¡~(senat cosh at - cos at ¡;;enh at)

55.

8

s4 + 4a4

senaf, senhat

2a2

56. •'

s4 + 4a4

__..!.._(sen at cosh at + cus at senh at)

2o

57. •'

cos at cosh at

s4 + 4a.4

58.

1 1

~ 2 a 3 (senh at - senat)

1

cos al)

59. s4- ' a4 2 a 1

(cosh at -

1

60. 2"U(senhat + sen at)

8 "'

4- a4

61.

,,

1(cosh at 1 cosat)

s4- a4

62.

1

y.+a + ..¡;-:;:¡,

e-bt- 6 -"t

2(b- a)v;;i3

1 fer VOi

63. sVi+"(i Va

64.

1

Vs(s-a)

eflt fer ..¡¡;i

Va

65.

1

Vs-a+b .¡;;¡

eat {-1-- helh fec (bVt)}

•

Apéndir:p B] TABLA DE TRANt:JFORM ADAS DE LAPLACE ESPECIALES 249

'

fl•l

1

66. ---- J11 (at)

Vs2+(li

F(t)

1

67. --- 1 0 (at)

..f;2-a2

68.

(Vs2 + a2 -

.¡;2 + a2

s)n

n _> -1

anJn(at)

69.

(s-~-¡;ft)n

Vs2- a2

n > -1

anJ,.(at)

70.

eb(s-'1/ 82+ 111)

..,Js2 + a2

J 0 (ayt(t + 2b))

e-blls2~a~

r

71.

---~-

J,(ayt'- b')

'> b

.,¡ 8 2 + a2 lo t < b

72.

1 tJ1(a0

(s2 + a2)312 -- a

73.

74.

8

(s2 + a2)3f2

,,

(82 + a2)312

t J 0 (at)

J 0 (at)- atJ 1 (at)

75.

1 t/ 1 (at)

(,::~2- a2):li2

-- a

76. ' t 1 0 (at)

1•' a2)3f2

77.

78.

,,

(s2- a2)3f2

/ 0 (at) + at 1 1 (at)

1 ,-.

=

F(f).:.:: n, n::::t<n+l, n....: O, 1,2, ...

s(e 8 -- 1) •11

' ')

Véase también la fórmula 141, Pág. 254

1 r•

'"

s(e 8 - r) •11 ') k'=l

"

donde [t] = mayor entero <

79. = F(t) = :S r'

t

80.

81.

c 8 - 1 1- e-·•

s(e~ - r) - •11 ')

Véa~e también la fórmula 143, Pág. 251

e-afs

"

F(t) :-: r", n -.::-.; t < n l- 1, n = 0,1,2, ...

cos 2y;;¡,

y, ,¡;¡

--

•

250

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE ESPECJAT.R~

[Apéndice D

1

f(•)

F(t)

82.

c-als

8 3.'2

83.

e-al~

.sn+ 1

n > -1

( 4 ')"" 1,12Vai¡

84.

e-a Vi

-- y,

85.

e-aYs

86.

87.

88.

1- e-a Vi

'

e-nVs

-- '

e-aVs

Y,(Y,+b)

'" (a/2Vt)

fcer (a/2Vt)

eb{bt+a) fcer (b{t + ~)

2Vt

89.

90.

91.

92.

93.

y -

e-niVi

~ n > -1

In (•+•)

..,.b

In [(82 + a2)Ja2]

2•

In [(• + a)/a]

•

_(y+ lns)

•

constante de Euler = 0,5772156

le (a.t)

le (at)

10 t

94.

95.

In(•'+•')

8 2 + b2

;r2 + (y+ lns)2

68

•

y- constante de Euler = O,fí772156.

2 (cos at - cos bt)

t

96.

In s

-

8

-(In t + y)

y = constante de Euler = 0,5772156

97.

ln 2 s

--

8

•

(In t + y)' - !,..

y = constante de Euler = 0,5772156 .

1

Apéndice B]

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE ESPECIALES

1 f(s) F(l)

98.

r'{n. -+ 1) - l'(n 1 1) lns

sn+ 1

n > -1

t" In t

99. tnn-1 (a/s)

100.

tan- 1 (a/.s)

'

senat

--

'

Is (at)

e-!1Vñi

101. ~ fcer (.¡;;¡8) --

Vi ,¡;;¡

102. es 214112 fcer (s/2a) ~ 6 -a2t2

Vi

103.

cs•!~a~ fcer (s/2a)

8

fer (at)

104.

e"~ ker -.,f(i8 1

Vi

Yv(t+a)

105. eas le (as) 1

t+a

106. 1 -- [ r, } - sen as le (as) J.

1

cosas~--- - J~ (as)

a

L2

t2 + 02

107. senasf~--ls(as)\ + cosas le (as)

L2 J t2 + a2

t

108. cosas{~- ¡,(as)} - sen a.s le (a.s)

8

tan-1 (t/a)

109. sen as { i - h (as)} + cosas le (as)

110. [i- ls (as)J + ls 2 (as)

111. o

i

8

1 (''+a')

2Jn ~

-In--

1 c2+a2)

t a'

'!'{( t)

112. 1 8(t)

113.

,-~

'(t- a)

114.

e -as

--

Véase también el problema '

139, Pág. 2r.4

'U(t- a)

•

252

TABLA D~ TRANSFOHMADAS DE LAl'LACE ESPf'JClALES

[Apéndice B

fts)

F(t)

115.

f------

116.

X

sen h s.r

~ :i ( 1)" n,-:c n:-ct

sen-- cos --

11 (1

;;- ¡¡ -J JI

;-senhW

--------------+---------------------~-------~----

_:! ~ {-1)" 12n- lhx (2n- l):d

RenhKl'

,=J ~~-1 sen-----2(1- sen -2-.--

;¡Co5h so

~------------+--------------------------------

cosh s.r

s ser.hsa

-

(!

1

(-1)" n.,-:r. n,-t

g_ ~ -- - cos -- sen

11 !t lt

r. n -' l

eosh sr

118.

s eosh -,;o

l-·---1--------·------+----------------~--------~~-----~

119.

xt

a

2 _-%- j. L-_1_)" sen'!~.!_ sen n,-t

• n"' 1 11~ (t ([

120.

senh RX

s2 cosh R«

121.

cosh ~.r

s~ senh sa

2a ~ L!__t ('OS 1~~ /1

.,- ,._¡ n2 (( \

11-.d \

-- r:us~ 1

11- /

1----l------------+---------------·-~·----~--------~

122.

cosh sx

s~ co:sh na

1-----l---------------l-----~------~~------ ~~------

cosh sx

s:1 cosh sa

124.

125.

126.

127.

128.

senh.rv'"i

senhavG

cosh xVs

cosh a,Vs

senh x\ÍS

Vi cosh aVS

__0!1~ :nlii

Vi senhu-Vs

3nh:r-.f8

s senhaYs

~ :i, (-l)n-l e -r2N -JJ2;r'l/ln.Z sen (2rl --:-_!-);;-X

a 1

¡=t

2a

1

a

129.

130.

131.

~h.rV"i

s cosh a,¡ii

senh xVS

s2 senha\ÍS

~~xVss

2 cosh aVs

xt 2aZ "' (--1)"

+ -.- ::S --. (1 - '

a ;;- 3 "_, 1 11·1

~(x2- a2) + t. - 1~~~ ~

>i--'l

_(--1)~--e-•i" !•"'•"t!1ut (2n 1)7;-x

(2n -- lfl cos __ 2_a __

•

Apéndice B] TABLA DR TRANSFORMADAS DF. LAPLACE ESPECIALES 253

f(s)

F(t)

132.

133.

J,(..,Va)

e-:>.!tJai Jo(An~da)

1 - 2 ~

s J 0 (ia:{8) n=1 An.J1(An)

donde A 1 , A 2 , , , , s.on las raíces positivas de ,Jo(A) :::: O

J «>

0(ix\ÍS) e->.~ttat¡ (A x/a)

l(x2- a2) +

s 2 Jo(iaVi)

t+2a2 l, n"

n=l An 3 J¡ (An)

donde A 1 , X 2 , ••• son las raíces positivas de J 0 (A) =O

Función de onda triangular

134. a~2 tanh (~)

1~

O 2a 4a 6a

1

~tanh ("f)

1

Función de onda cuadrada

P(l)

135. 1

.. 1

' ' ' ' ' 1

2a 13• ,,. ' 1 ',.

-1 ' ' ' ' '--

Función de onda sinusoidal rectificada

136. '" h ("')

j/vvv

as

22

+

2cot 2

'~~'

a • k

'

Función de onda sinusoidal semi-rectificada

137. ••

(a282 + 11"2)(1

' M}

'h

u 1 1

•

•

2a ,. •

Función de onda dentada

138.

1

,-~

as2

-

s(l e ••)

1_/vvv

1

~

a

"'

,. ••

•

254

TABLA DE TRANSFORMADAS D~ LAPLACE ESPECIALES

[Apéndice B

'

f(•l

139. --

F(l)

e-u~ ] -

F(t)

Función unidad de Heaviside 1i(t- a)

'

' 1

Véase también la fórmula 114, o '

Pág. 251 "

Función pulsación

e-as (1 -e-H)

140. ' '

'

1

/<'(1)

1 1

1

'

ah

o a '

141.

Función escalonada

:r

1 '

1 '

.s(l- e ")

1 '

o

,, 3a

Véase también la fórmula 78,

Pág. 249

' ' -,'. '

'

F(t):::: n2, n~ t < n + 1, n:::: 0,1,2,, ..

142.

1¡;'(1) 1

4

e-s+e-2s 3- 1

s(l

' ')' 2 '

1

o

1 2 3

'

143.

F(t) = rn, n2 t < n + 1, n:::: O, 1, 2, ...

{""1 1

1- e-s

1 '

s(l -re ')

1

1

Véase también la fórmula 80,

Pág. 249 o '

1 2 3

F(t) ~ {~n (¡rt/a) o:=t~a

t >"

144.

.ra(l + e-a~)

a2s2 + tr2

1~

o

'

t

•

--

Apéndice C

TABLA DE FUNCIO:--IES ESPECIALES

l. Función gama

r(n) = f" u 11 -1e-~<du, n>O

• o

2. Función beta

3. Función de Bessel

f

r(m)r(n)

B(m,n) - um-1 (1 ~ u)n-t du -

m, n>O

o

l'(m+n}'

Jn(:r;) = x" { 1 - •' + .. -

2nr(n+l) 2(2rt + 2) 2 • 4(2n + 2)(2n + 4) ···}

4. Función de Besscl modificada

x2

i-nJn(ix) •" {t ..

l,(x) - -

+

2"'r(n+ 1) + 2(2n+ 2) + 2 • 4(2n + 2)(2n + 4)

···}

5. Función de error

fer (t) ___!_ ft e-H2

-

.¡;;,

du

6. Función complementaria de error

- 1 - - - e-" 1 du

fcer (t) - fn (t)

-

·r

..¡:; • t .

7. Integral exponencial

8. Integral seno

9. Integral coseno

10. Integral seno de Fresnel

11. Integral coseno de Fresnel

le (t) = ) e-u du

• 1 1t

r

¡, (t) = sen u du

' u

-

¡, (t) - foe COS ~ dtt

• '

S(t) - sen u2 du

J'

'

C(t) = cosu2 du

r o

u

12. Polinomios de Laguerre

Ln(t)

et dn

= nT dtn (tne-f),

n = 0,1,2, ...

255

•

•

IN DICE

Abe!, ecuación integral del, 113, 117-120

Aceleración, 79

Aerodinámica, 149

Amortiguación constante, 79

Amortiguadora, fuerza, 79, 88-90

Amplitud, 89

de un número complejo, 137

Analítica, función, 148

condiciones necesarias y suficientes para que sea,

148

Aplieación, 165

Argand, diagrama de, 137

Argumento, 137

Armónicas, funciones, 139

Baristócrona, problema de la, 135

Barra aislada, conducción del calor en una, 223, 224,

23.1, 234

Batería, 79

Bessel, ecuación diferencial de, 8

Bessel, funciones de, 7, 8, 23, 24, 28, 212, 233, 255

función generadora de, 7

modificadas, 8, 2f>fi

representación integral de, 67, 68

transformadas de Laplace de, 67, 68

Beta, función, 47, 62, 6.1, 255

relaciones, teorema de la convolución, 62

Bilineal, transformación, 172

Bromwich, contorno de, 201, 210

modificación del, 202, 'l27

Calor, condueción del, 98, 194, 220-224, 230, 232-236

a una placa semi-infinita, 234, 236

ecuación general de la, 221

en una barra·aislada, 223, 224, 233, 234

en un cilindro, 220, 232, 233

en un sólido semi-infinito, 221, 222

Calor específico, 219, 221

Cambio de escala, propiedad del, 3, 13-15, 44, 48, 52

para transformadas de Laplace, 44, 48, 52

para transformadas inversas de l.1.place, 44, 48, 52

Capacitancia, 79

de una línea de transmisión, 220

Carga, 80, 2'21

Carga concentrada, 95

representación mediante la función delta de Dirac

de una, 95

Carga uniforme, 93

Cauchy, de~igualdad de, 172

Cauchy, fórmulas integrales de, 141, 151-155

demostración de las, 154

Cauchy-Riemann, ecuaciones de, 139, 147-149

demostración de las, 148

Cauchy, teorema de, 140, 151 t:il

demostración del, 1[J2, 153

Cerrada simple, curva, 139

Cicloide, 113, 119, 120, 123

el problema de la tautócmno y la, 113, 117-120

Ciclos por segundo, 89

Cilindro, conducción de calor 1!11 un, 220, 232. 23~

Cilíndricas, coordenadas. 232

Circuito primario, 111

Circuitos eléctricos,

elementos, 79

primario, 111

secundario, 111

Circuitos eléctricos, aplicaciones a los, 79, SO, 9l-9:l.

214, 215

complejos, 80, 92, 93

simples, 79, 91, 92

Compleja, función de variable, 138

Complejo, plano, 137

Complejo, número, 136, 144

amplitud de un, 137

argumento de, 137

forma polar de un, 137, 144, 145

fundamento axiomático del, 136

parte imaginaria de un, 136

parte real de un, 136

raíces de un, 137, 145

Complejo, sistema numérico, 136

Condensador, 79

Conducción de calor (vi!aM' calor, conducción del)

Conductancia de una línea de transmisión, 220

Conductividad térmica, 219, 221

Conjugada completa, 136

Conjugado complejo, 136

Constante de un resorte, 79

Continuidad de funciones de variable compleja, 138

secciona! o por partes, 2, 4, 28, 42, 173, 183, 187, 190

Continuidad por partes, 2, 4, 28, 42, 173, 186, 187, 190

Continuidad ¡;eccional, 24, 28, 42, 173, 186, 187, 190

Contorno, 143

de Bromwich (véase Bromwich, contorno de)

Convergencia absoluta, Jf,fi, 156

definición de. 156

de una serie de Fourier, 186, 187

uniforme, 156

Convolución, teorema de la, 45, 55-58

demostración del, 55, 56

en las transformadas de Fourier, 117

función beta, y, 62

Convoluciones, 45 (véa~e también, teorema de la

convolución)

ecuaciones integrales y, 112, 117

leyes asociativa, conmutativa, distributiva de las,

4, S6

Coordenadas, cilíndricas, 232,

polares, 137

reetangulares, 136

Coordena'rlas polares, 137

Coordenadas rectangulares, 136

Corte o sección, !53

Corte vertical, 81

257

•

258

IN DICE

Corriente, 80

Coulomb, 80

Cuadrática, ecuación, 144

Cuerda, vibraciones de una, 199, 219, 220, 224, 225,

231, 232 l

Deflexión, curva de, 81

de viga!; (u~a.~f> vigas, aplicaciones a las)

De flexión transversal de una viga, 220

de una cuerda, 219, 224, 225

De Moivre, teorema de, 137

Densidad, 220, 221

Dentada, función de onda, 253

Derivación, reglas de la, 139

con respecto a un parámetro, 6, lS, 46, [13, 6ó

Derivadas parciales, transformadas de Fourier de, 193

transformadas de Laplace de, 96

Derivadas, transformada inversa de Laplace de, 44,

52, 53

de funciones de variable compleja, 138, 139, 147, 149

transformadas de Fourier de, 193

Desplazamiento longitudinal, 219, 220, 226, 227

de un alambre, 79

de una cuerda, 199, 219, 220, 224, 2'25, 231, 232

transversal, 81, 220

Diferenciales de diferencias, aplicaciones de las, 78-

102, 219-236

ordinarias, 76-89, 99-102

parciales, 81, 96-98, 219-236

para hallar transformada:;; de !..aplace, 6, 2.1, 29

para hallar transformadas inversas de Laplace, 46,

65, 66

relaciones con las ecuaciones integrales, 114, 116,

128, 129

solución mediante transformada~ de Fourier, 193-

195, 221, 234-236

solución mediante transformadas de !.aplace, 78,

81-87, 96-98, 102

soluciones generales de las, 83-85, 100, 101

Difusividad (difusión), 98, 219

Dirac, función delta de, 8, 9, 26, 27, 4.')

aplicaciones a las vigas, 95

transformadas de Laplace de la, 10, 27

Dirichlet., condiriones de, 173

División por t, 5, 18, 19

por potencias de.-., 4.'í, 53-55

Ecuac-ión integral de Fredholm, 112, 116, 129

expresión de una ecuación diferencial como una,

128, 129

Ecuaciones de diferencias, 113,120,125,127,128

diferenciales de, 113, 114, 120-125

Ecuaciones diferenciales ordinarias, aplicaciones a las,

78-96, 99-102

de coeficientes constantes, 78, 82-85

de coeficientes variables, 78, 82-85

simultáneas, 78, 87, AA

soluciones generales de las, s:~. 84

suluciones por convoluciones, 85

Ecuaciones diferenciales parriales, f\1, 96-98, 219-236

n()ta importante de, 219-221

re~uell¡¡~ mediante transformadas de Fourier, 19::1

)95, 221, 234. 236

resueltas mediante transformadas de Laplace, 81,

96-98, lO:!, 221

Ecuaciones integrales, 112.113, 114-120. 126

de Abe!, 113, 117-120

de l<'redholm, 111, 116, 129

de tipo wnvolutorio, 112, 117

de Volterra. 112

núcloos de las, 112, 170

relaciones con las ecu.acione~ diferenciale5, 114-116,

128, 129

solución mediante- In tr.msformada dt> Fonrier, l!t:\

F..cuadones inte~~:ro-diferem:i11le:~, 113, 120

Ecuaciones iote¡;;ro-difúenciales dí! dif~rc-nciM, 114

Elástica, constante, 111

curva, 81

Emisor, de una línea de transmisión, 2:ID

Empotrada, viga, 81

Error, función complementaria de, 8

Esencial, singularidad, 142, 157

Es fuerzo, 220 •

Euler,. constante de, 29, 250

fórmula de, 137

F.vitable, singularidad, 141, lfKl-158

Existencia de las transformadas de Laplace, condiciones

suficientes para la, 2

Extensión impar, 182

Extremo fijo, viga con un, 81

Extremo libre, viga con un, R1, 94, 226

Extremo simplemente apoyado, viga con un, 81

Factorial, función (véa.~e función gama)

Familias ortogonal06, 148, 149

Faradio, 79

Fibonacci, números de, 133

Flexión, rigidez de, 81

Fluidos, mecánica de los, 149

Flujos caloríftcos, problema sobre, 98 (véase calor, conducción

del)

en que hay radiación, 230

Forma polar de los números complejos, 137, 144, 145

operaciones en la, 137

Fórmula del desarrollo de Heaviside, 46, 47, 61, 62

Fórmula de inversión compleja (véa.~e inversión compleja,

fórmula de)

para transformadas de Fourier, 175, 177

para transformadas de Laplace, 46, 178

Fórmula~ integrales de Cauchy, 141, 151 155

Fourier, integrales de, 175, 176, 187-193

forma l:ompleja de, 176

identidad de Parseval para las, 177, 189

Fourier, teorema integral de, 175, 176, 187-193

demostraciones del, 189-191

Fourier, series de, 173, 175, 17R, 184, 185-187, 192

coeficientes de, 17::1, 179, 180

condiciones de Dirichlet para, 173

convergencia de, 185-187

de semi-período (semi-recorrido), 174, 182, 183

forma compleja de las, 174

identidad de Parseval para, 174, 183, 184

Fracciones parciales, 46, 58-61

con factores cuadráticos fl() repetidos, 61

con factores lineales diferentes, 59

•

INDICE

259

con factores lineales repetidos, 60

métodos de Heavi!:óide para (uéase Heaviside, fórmula

del desarrollo de)

Frecuencia, 89

del movimiento oscilatnrip amortiguado, 90

natural, 90, 99

resonancia de una, 99

Fresnel, integrales de, 228, 255

Frontera, condiciones de, 81, 219

Frontera, problemas del valor, 81, 219

en dos y tres dimensiones, 22ú, 221

en una dimensión, 219, 220

solución mediante transformadas de Fourier, 193-

195, 221, 234-236

solución mediante transformadas de Laplace, Al,

96-98., 102, 221

Fuentes de calor, 234

Fuerza, amortiguación de una, 79

electromotriz, 79

externa, 79, 99, lOO

restauradora,, 79

Fuerza externa, movimiento de un resorte sometido

a una, 79, 99, 100

Función, 138

Función de corriente, 149

Función delta (véase Dirac, función delta de)

Función derivable, 138

Función de error, 8, 26, 28, 208, 209, 255

complementario, 8, 208, 209, 255

transformadas de Laplace de la, 10, 26

Función gama, 7, 21-23, 255

fórmula de Stirling para la, 7

Funciones analíticas (véaH' analítica, función)

de orden exponencial, 2, 4, 8, 28, 42

de variable compleja, 138

multívocas, 138, 166

tabla de, 4, 55

Funciones de Bessel, moclificadas, 8

Funciones elementales, transformadas de Laplace de,

1, 10-12

equilibrio, posición de, 79, 219

f. e. m., 79

Funciones impares, 173, 174, 182-184

Funciones nulas, 9, 27, 42

relaciones con la transformada inversa de Laplace,

42

transformadas de Laplac::e de, 10

Funciones periódicas, transformadas de Laplace de,

5, 19, 20

Green, teorema en el plano de, 140, 150, 151


Generador, 79

Generatriz, función de funciones de Bessel, 7

Heaviside, fórmula del desarrollo de, 46, 47, 61, 62

demostración de la, 61, 62

extensiones de la, 73, 74

Heaviside, función unitaria de, 8, 26, 50, 254

transformada de Laplace de la, 10, 26

Henrys, 79

Hipocicloide, 169

Hospital, regla de (véa~e L'Hospital, regla de)

Imagen, 165

Imaginaria, parte, 136

Imaginaria, unidad, 136

Impulso, funciones de, 8, 9, 26, 27, 95

(véase también, función delta de Dirac)

Impulso unitario, función de, 8, 9, 26, 27, 95

(véase también,. función delta de Dirac)

Independencia del camino, 140, 152, 153

Inducción matemática, 15-17

Inducción mutua, 111

Inductancia (inducción), 79


mutua, 111

Inductor, 79

demostración del, 20

generalización del, 6

valor inicial, teorema de, 5, 20, 21

Integral del coseno, 8, 24, 25, 255


Integral del seno, 8, 24, 25, 255

transformada de !..aplace, 10, 24, 25

Integrales, evaluación de, 7, '!:7, 28, 47, 63, 64

curvilíneas, 139, 140, 150

de funciones de una variable compleja, 140, 151-155

Fourier (véase integrales de Fourier)

Fresnel, 228

transformadas de Laplace, de, 44, 52,- 53

Integrales definidas, cálculo de, 143, 161-165

Integral exponencial, 8, 24, 25, 255


Interruptor de un circuito eléctrico, 79

Inversión compleja, fórmula de, 46, 201, 203, 205

condiciones para la validez de la, 202, 203, 205, 212

demostración de la, 203

para funciones con infinitas singularidades, 202,

209, 211, 212, 213

puntos de ramificación Y, 202, 207, 208

residuos y, al5-207

Jacobiano, 56, 172

Kirc::hhoff, leyes de, 80, 91, 92

Laguerre, polinomios de, 39, 255

Laplace, ecuación de, 139, 221

Laurent, series de, 142, 158, 159, 172

clasificación de singularidades por, 158, 159

teorema de, 172

Lcibnitz, regla de, 17

Lerch, teorema de, 42

Límite de funciones de variable compleja, 138

a derecha y a izquierda, 2

Línea integral de, 139, 140, 150

Linealidad, 3, 12, 13, 43, 48, 49

de la transformada de Laplace, 43, 48, 49

de la transformada inversa de Laplace, 43, 48, 49

L'Hospital, regla de, 161, 162

Llave (interruptor) de un circuito eléctrico, 79

Máximo entero menor que t, 121, 122

Mecánica, aplicaciones a la, ~i}, AA-91

Membranas, vibraciones de, 220, 221

•

260

IN DICE

Módulo de elasticidad, ~20

Momtmto flt'ctor, 81

Movimiento críticamente amort.igu;:tdo, 90, 91

Movimiento no o~eilatorio, 89

1 _

Movimiento oscilatorio, 90, 91, 99

amortiguado, 90, 91

Movimiento sobre-amortiguado, 90, 91

Multiplicación, por ,qn, 45, 53-55

por t'', 5, 17, 18

Multívocas, relaciones, 138

Newlon, ley de, 79, 88

Núcleo de un eeuación integral, 112

simétrico, 129

IU!ceptor de una línea. de tmmmi:;;ión. 220

R.ecur:~ión. fórmul;:t de, 124

Rectificadora, onda :;;inu:JOida.l, 2.'13

Reposo, posición de (uffixe posición de equilibrio)

Residuo, teorema del, 142, 143, lW-161


Rm:idum:, 142, 159-161

y la fórmula d!' inwrsiún wmplej~. 1íl5·W7

Resistencia, 79


Resonancia, 99

Regonantll, fMCU(!0CÍ9., 99

Restauradora, fuerza, 79

Riemttnn, funóUn zeta de, 41

Ricmann, teorema de, 174, 186, 190

Ohm, 79

Onda cuadrada, 214, 253

Onda, ecuación de, 219

Operador lineal, transformada inversa de Laplace como

un, 43

transformada de Laplace como un, 3

Operador, transformada inversa de Laplace, 42

transformada de Laplaef!, ;:¡

Orden de un polo, 141

Orden exponencial, funciones de, 2, 4, 28, 42

Par, extensión, 183

función, 17::1, 174, 182, 184

Paralelogramo, ley del, 167

Pareja ordenada, 136, 137

Parseval, identidad para integrales de Fourier, 177,

189

para series de Fourier, 174, 183, 184

Parte analítica de una serie de Laurent, 142

Parte princip81 de una serie de Laurent, 142

Parte real, 136

Período, 89

de un movimiento oscilatorio amortiguado, 90

Placas, conducción de calor en, 234-236

Polo¡;, 141

de orden infinito, 142

Potencial, caída de, 80

Potencial de velocidad, 149

Potencial eléctrico, 221

Potencial eléctrico o gravitacional, 221,

velocidad del 149

Potencial gravitatorio, 221

Principios de elasticidad de viga, 111

Pulsante, función, 254

Puntos singulares, 141

Radiación, 2.'l0

Raices de los complejos, 137, 145

representación geométrica de la, 145

Rama principal, 147

Ramas de dos relaciones multívocas, 138, 166

Ramificación, línea de, 156

Ramificación, puntos de, 141, Hi6

fórmula de inversión compleja, 202, 207, 20A

Razón, criterio de la, 15fi

Salto en una discontinuidad. 4

Secundario, circuito, 111

Semi-infinito, viga, 227, 228

cuerda, 224, '225

línea de tmnsmisión, 220, 228, 229

placa, :!a4-236

Semi-onda sinusoidal rP.f"tificada, 20, 218, 253

Semi-período, series de Fourier de, 174, 182, 183

Serie coseno (véase serie11 de }l'ourier de semi-período)

Serie, circuito eléctrico, 79, 91, 92

Series, convergencia de, 155

de funciones de variable compleja, 155-159

de Taylor, 141, 157

Series, desarrollos en, 138

métodos para hallar transformadas inversas de Laplace,

6, 23, 24, 29

Simétrica, forma de laR transformadas de Fourier, 176

Simétrico, nUcleo, 129

Simple, polo, 141

Simultáneas, ecuaciones diferenciales, 78, 87, 88, 220,

228, 229

Singularidad aislada, 141

Singularidades, 155, 159

aisladas, 141

esenciales, 142, 157

y la fórmula de inversión compleja, 202, 205-213

Solución general de una ecuación diferencial, 83-85,

100, 101

Stirling, fórmula de, 7

Suficiencia, condiciones para la existencia de transformadas

de Laplace,

demostración de, 28

Tablas de la transformada inversa de Laplace, 13,

245-254

de funciones especiales, 9, 2.55

de la transformada de Laplacc, 1, 9, 10, 24.1-254

Thutócrona, problema de la, 113, 117-120

Taylor, series de, 141

teorema de, 1fJ7

Temperatura, 98, 212 (véa.~e también, conducción del

calor)

estacionaria, 221

Tensión de una cuerda, 219

Tensionado, 220

•

IN DICE

261

Térmica, :onductividad, 219, 221

Términos estacionarios, 92

Transformada de Fourier, 176, 187-195

coseno, 176, 177

de derivadas, 193 1

ecuaciones diferenciales parciales resueltas mediante

las, 193-195, 221, 224-236

finitas, 175, 184, 187

forma simétrica de las, 176

inversas de las, 175-177

relaciones con las transformadas de Laplace, 177,

178, 203

seno, 176, 177

teorema de la convolución para, 177

Transformada de Laplace, 1-41

comportamiento cuando s ~oo, 5

de derivadas, 4, 15, 16, 96

definición de la, 1

de funciones elementales, 1, 10-12

de funciones especiales, 9, 10

de integrales, 44, 52, 53

existencia de la, 1, 28

inversa, (véase Laplace, transformada inversa de)

iterada, 221

métodos para hallarla, 6

notación, 1

propiedades de la, 3-6

relaciones con la tran:o;formada de Fourier, 177, 178,

203

:o;olución de ecuaciones diferenciales mediante la, 78,

81-87, 96-98, 102

Transformadas de Laplacc, iteradas, 221

Tran:o;formada de Laplace, operador, 3

Transformada inversa de Fourier, 175-177

Transformada inversa de Laplace, 42-77

de derivadas, 44, 52, 53

definición de, 42

de funciones con infinitas singularidades, 209-211,

212, 213

de integrales, 4, 16

fórmula de inversión para (véase fórmula de inversión

compleja)

métodos para hallarla, 46

operador, 42

propiedades de la, 43-45

unicidad de la, 42

Transitorios, términos, 92

Transmisión, líneas de, 220, 228, 229

Trümgular, onda, 226, 22:7, 25.1

Unicidad de la transformada inversa de Laplace, 42

Uniforme, convergencia, 156

criterio M de Weierstrass para la, 156

las series de Fourier y la, 179, 18.1

Unitaria escalonada, función, 8 (véase Heaviside,

función unitaria de)

Utilización para hallar transformadas inversas de Laplace,

201, 202, 205, 207

Valor absoluto, 136

Valor final, teorema del, 6, 20, 21

demostración del, 20

generalización del, 6,

Valor principal, 147

Vectores, 167

Vibraciones de una viga, 219, 220, 226-228

de una cuerda, 199, 219, 220, 224, 225, 231, 232

de una membrana, 220

de un resorte, 79

Vibr;~~ones longitudinales de una viga, 219, 220, 226,,

Vigas, aplicaciones a las, 81, 93-96

curva de deflexión o curva elástica de las, 81

en voladizo, 94

sobre bases elásticas, 111

vibraciones de las, 219, 220, 226-228

Voladizo, viga en, 94

Voltaje, caida de, 80

Voltcrra, ecuación integral de, 112

Voltio, 79

X, eje, 136

Y, eje, 136

Young, módulo de elasticidad de, 81, 220

Zeta, función de Riemann, 41

•

Schaum Transformadas de Laplace - Murray R. Spiegel

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