拓扑空间中网的收敛能唯一决定拓扑吗？

谢邀，应该是可以的，考虑下面拓扑空间中闭集的刻画：

一个拓扑空间 (X,\mathcal{T}) 中集合 A 是闭的当且仅当 A 中的网的极限都在 A 中。

因为 (X,\mathcal{T}_1) 和 (X,\mathcal{T}_2) 有相同的收敛的网，所以它们有相同的闭集。取补集后，可以看出它们有相同的拓扑。

可以。不仅拓扑结构蕴含着网/滤子收敛性的信息，而且通过这些信息，我们可以还原出拓扑，即（预）拓扑空间的滤子收敛定义。

1.基本定义：网与滤子、预拓扑空间

网（net）是定向的（directed）序集或预序集到拓扑空间的映射。过滤子集是一个序集（ordered set）或预序集（preordered set）满足上闭性与下定向性的子集，简称滤子（filter）.

例如拓扑空间中每个点的邻域系（neighborhood system） \textbf N_x \subseteq 2^X 就形成 2^X 中的或者说 X 上的过滤的子族。

若集合中对于每个点 x\in X ，约定一个过滤的子族 \textbf N_x ，且满足 \forall U \in \textbf{N}_x ,U\ni x ，就说 \langle X, \textbf N_{x\in X} \rangle 是一个预拓扑空间（pretopological space），族 \textbf N_x 称为（预）邻域系，其中元素集合 U 称为 x 的邻域（neighborhood）.

通过邻域，可以定义每个子集 A\subseteq X 的内点、外点、边界点，内点与边界点统称为闭包极限点（即 A 上的网所能取到极限的点）；从而给每个子集 A 定义其闭包极限点集 c(A) 与开核内点集 k(A) ，这两个集函数分别称为预闭包算子（preclosure operator）与预开核算子；反之通过约定开核或闭包，我们可以还原出每个点的邻域，从而预拓扑空间可以有至少三种等价定义（预邻域系，预闭包算子，预开核算子）。

我们可以使用三种等价的定义来论述预拓扑结构之间的强弱比较、连续映射、子积商构造，并定义预拓扑范畴，研究可数性、分离性、紧致性相关的命题，这与拓扑空间中的理论并无任何形式上的区别。

2.预拓扑空间与拓扑空间的关系

闭包等于自身的集合称为闭集，开核等于自身的集合称为开集。不同的预拓扑结构亦可以诱导出相同的闭/开集族，这是由于预拓扑空间各点处的邻域系没有必然的联系；一个预拓扑空间成为拓扑空间，当且仅当它继续满足以下等价命题（之一或全部）：

拓扑空间公理4. 闭包算子具有幂等律；开核算子具有幂等律；邻域系以开邻域系为基（basis）。

也可以反过来讲，拓扑空间失去了各点邻域系之间的约束关系而推广为了预拓扑空间。

通过约定一个集合上的开/闭集族，在与之相容的预拓扑结构里有切仅有一个拓扑结构：那个拥有闭包算子最小的、最强的、以开邻域系为基的预拓扑结构。

3.网与滤子的收敛性与预拓扑结构之间的关系

给出一点 x\in X 以及（预）拓扑结构在该点的过滤邻域族 \textbf N_x ，则某个给定的网 \left\{ x_\lambda \right\} 收敛于 x ，定义为 \forall U \in \textbf{N}_x ，\exists\lambda_0， U\supseteq \bigcup_{\lambda\geq\lambda_0} \left\{ x_{\lambda} \right\} ，当且仅当它诱导的以尾集 \bigcup_{\lambda\geq\lambda_0}\left\{ x_{\lambda} \right\} 之族为基的真滤子 \textbf{F} 收敛于 x ，即 \textbf{F}:= \left\{ B|B\supseteq \bigcup_{\lambda\geq\lambda_0}\left\{ x_{\lambda} \right\},\exists\lambda_0 \right\} ， \textbf{F} \supseteq \textbf N_x ， \textbf F 强于 \textbf N_x ；

反之，给出一点 x 以及（预）拓扑结构在该点的过滤邻域族 \textbf N_x ，则某个给定的滤子 \textbf F 收敛于 x ，当且仅当从中选取的任意网都（按照选取集标号）收敛于 x .

因此我们说： \textbf F 依 \textbf N_x 收敛于 x 定义为 \textbf{F} \supseteq \textbf N_x ，收敛滤子即那些比原有邻域滤子强的滤子，这与预拓扑结构的强弱比较中遇到的概念保持一致： 恒等映射在该点连续当且仅当 \textbf N'_x \supseteq \textbf N_x ，称为 \textbf N'_x 强于 \textbf N_x ，只是此时去掉了 \forall B \in \textbf N'_x ,B\ni x 的限制。

我们以往的思路是，根据已给出的拓扑，判断一个网/滤子是否收敛于一点；但既然收敛本质上是一种三元关系[滤子 \textbf F 、依照邻域系 \textbf N_x 、收敛于 x ]，我们现在的思路是，根据一个网/滤子收敛于一点，判断出其收敛依据的预拓扑是哪个预拓扑。

4.由全体收敛的过滤子族形成的类定义预拓扑

过滤子族之间的强弱比较继承了集族的集族类 \langle 2^{2^X} ,\subseteq \rangle 中的序关系，给出预拓扑空间 \langle X, \textbf N_{x\in X} \rangle 中一点 x 以及该点的邻域系滤子族 \textbf N_x ，则收敛于 x 的全体真滤子组成的类 \C _x \subseteq 2^{2^{X}} ，等于强于该邻域系的全体滤子组成的类 \uparrow\left\{ \textbf N_x \right\} .

知乎不能打出加粗的斜体吗？！ \textbf{\emph{C}}，\emph{\textbf{C}} ，我tmd有点小惊呆。。。

收敛于 x 的真滤子全体形成的族类 \C _x 满足性质：

0）非空性：极大真滤子 \uparrow \left\{ x \right\} \in \C _x ，即一点处的局部拓扑不强于最强的离散局部拓扑；
1）任意扩张性： \textbf F_1 \in \C _x 且 \textbf F_2 \supseteq \textbf F_1 ，则 \textbf F_2 \in \C _x ，即滤子越强越收敛；
2）任意交性：一族 \textbf F_\alpha \in \C _x ，那么 \emptyset \ne \bigcap \textbf F_\alpha \in \C _x ，相交的结果必不等于空族且始终不弱于邻域滤子因而封闭.

从而使得原有的局部拓扑滤子 \textbf N_x 恰好是 \C _x 中滤子族元素的下确界，即所有滤子族的交族。

反之，声明一个预拓扑空间在各点处的邻域族，只需（等价于）对每个点 x 声明一个满足上述性质的滤子族类 \C _x ，必然使得其中的最弱滤子 \bf N 确实是一个滤子且满足非空性以及 \forall U \in \textbf{N} ,U\ni x ，且关于其收敛的滤子族类仍然是相同的 \C _x 。因此我们可以说，预拓扑空间是对每个点 x 定义了满足上述性质的族类 \C _x 的 \langle X, \C _{x\in X} \rangle ，称之为预拓扑空间的收敛滤子类定义。

它成为拓扑空间当且仅当它（诱导的预闭包算子）满足拓扑空间公理4，即

\left\{ x|x\leftarrow\textbf F，\textbf F\ni A \right\}=c(A)=c(c(A))=\left\{ x|x\leftarrow\textbf G，\textbf G\ni \left\{ x|x\leftarrow\textbf F，\textbf F\ni A \right\} \right\}

5.一个额外的思考

假若您非常熟悉序理论（order theory）是如何从拓扑学（general topology）中找到其来由和应用的，即

每个预拓扑空间都可以“根据收敛到两个点的难易程度”定义特殊化预序关系，从而诱导出一个预序结构，并且连续态射总是单调态射——预拓扑范畴可以满映射到预序范畴；
每个预序集可以通过约定拓扑闭包是下部闭包，从而视为拓扑空间（若预序被诱导则该拓扑强于原（预）拓扑结构），恰好是使邻域的任意交公理成立的预拓扑空间，并且单调态射总是连续态射，这称为Alexandrov有限生成拓扑空间——预序范畴同构于有限生成拓扑范畴；

这两种模型的信息强弱完全依赖和等同于它们满足的公理强弱（如同克莱因在爱尔朗根纲领中约定的模型强弱那样）。那么既然预拓扑空间中的收敛滤子对任意交是封闭的，我们完全可以（像预序集合弱化为预拓扑空间那样）（出于对过滤子族本身的研究而并不要求存在最弱的邻域滤子族）约定滤子族的比任意相交性弱的有限相交性，得到预拓扑空间的推广：收敛空间（convergence space），它专注于族之间的比较而非预拓扑空间中集之间的比较，就像预拓扑空间专注于集的比较而非预序集中专注于点的比较那样。

我们仍然可以定义态射与强弱，进行各种构造，并定义一个更为广泛的范畴。

比一个收敛结构更强的结构仍然会满足上闭性和下完备定向性，我们可以继续重复这个弱化公理的过程，得到逻辑上更弱的概念和模型……这个过程可以是无穷的。

对此我有两个有价值的问题，一是如同拓扑空间在泛函分析中得到广泛应用那样，更弱的模型是否有更为特殊的广泛应用；二是这个无穷的构造过程本身是否有抽象的理论价值。

6.思路与参考

一切以拓扑空间的公理体系作为标准，有若干个等价的（概念，公理体系），要熟知拓扑空间的公理化，就是要熟知公理体系之间的相互推导，或者说拓扑空间的本质公理在不同概念中的体现。

其中有一个最不trivial的公理，即开核算子的幂等律、闭包算子的幂等律、由邻域系导出的开核算子导出的开集族导出的开邻域族是邻域族的基，它们之间逻辑等价，在每个公理体系中都标号为公理4. 我们自然会想，去掉这种限制会怎样，于是有更为一般的收敛和邻域系概念即预拓扑，此预拓扑的结构和态射并不能通过开集族或闭集族进行定义，因为不再形成基。但内点和闭包极限点的概念依然是有效且与之等价的。

网来源于对收敛和闭集的刻画，这是由于列的概念使用的有序指标集合太过特殊。网是列的自然推广，犹如拓扑空间是度量空间（或A1拓扑空间）的推广那样。

拓扑学贡献了几乎完整的序理论，有关概念包括但不限于序、预序、全序、界与确界、上下闭包与上下部集、定向子集、过滤子集、理想子集、单调态射、半格与格、格的分配性有界性完全性、布尔格，等等，甚至都可以在拓扑学中找到自然的动机和应用。

使用滤子语言以重构之前的收敛定义，很快就可以将整个拓扑学假设在序理论语言的基础之上，于是（预）拓扑空间的滤子族类便呼之欲出了。只要非常熟悉拓扑空间的各个公理在不同概念中的体现，就容易发现我们直接定义的是预拓扑空间而非拓扑空间，想要定义拓扑空间只需且必需添加公理4的收敛滤子版本。

提出这个问题的题主大约和我一样是高年级本科生或者低年级研究生的情况，以上知识是我在复习点集拓扑时逐一查阅维基词条时总结（肝）出来的，相信任何一个初学过一遍点集拓扑的人都有能力像这样把知识体系化达到新的高度。

一个非常有意思的事情是集合上预拓扑结构与预序结构的相容性（这两个英文pre-中文预字表达的意思完全没任何关系），被预拓扑结构诱导的预序称为特殊化预序，被预序定义的最强预拓扑结构称为Alexandrov拓扑，是拓扑学和序理论中很有意思令人脑洞大开的东西。