分析和代数学原理(10)：拓扑线性空间

拓扑线性空间

引入滤子这个工具对于研究拓扑线性空间是极有利的。称非空集合 X 的幂集的非空子集 \mathscr{F}\subset 2^X 是 X 的一个Cartan滤子，简称滤子，若下述成立：(1) 任意 A,B\in\mathscr{F} ，都使得 A\cap B\in\mathscr{F} ；(2) 若 A\in\mathscr{F} ，且 A\subset B\subset X ，那么 B\in\mathscr{F} 。若 \emptyset\in\mathscr{F} ，那么 A\cap B\in\mathscr{F} 一定可以成立，所以一般要求 \emptyset\notin\mathscr{F} 。称满足此条件的滤子是真滤子。称非空子集 \mathcal{B}\subset 2^X 是滤子基，若任意 B_1,B_2\in\mathcal{B} ，存在 B_3\in \mathcal{B} 使得 B_3\subset B_1\cap B_2 。同样，称不包含空集的滤子基是真滤子基。下面我们只考虑真滤子和真滤子基。

拓扑空间中某点的所有邻域就构成一种滤子。后面考虑的邻域 U 都是广义的邻域，即，存在开集 O 使得 O\subset U 且 x\in O 。这样定义的邻域当然包含了开邻域。下面我们考虑的邻域基，也是广义的邻域构成的。记 x 的所有邻域构成的滤子为 \mathcal{F}(x) ，称其为邻域滤子。记邻域滤子的滤子基为 \mathcal{N}_x ，它实际上就是邻域基。我们还可以考虑邻域基的“基”。若 \mathcal{P}\subset 2^X 是集族， \mathcal{N}_x\equiv\{\bigcap_{i=1}^n P_i|\forall n\in\mathbb{N},\forall P_i\in\mathcal{P}\} ，即邻域基等于由所有 \mathcal{P} 中有限多个元素的交集构成的集族，那么称 \mathcal{P} 是邻域基 \mathcal{N}_x 的预基(prebase)。在考虑半范数诱导的局部凸拓扑时，一定要引入这个定义。把预基定义中的“邻域基”改成“拓扑基”，即拓扑基等于由所有 \mathcal{P} 中有限多个元素的交集构成的集族，则称 \mathcal{P} 是拓扑基的子基(subbase)。

若 \mathcal{B} 是滤子基，称所有包含 \mathcal{B} 的滤子 \mathscr{F} 的交集 \mathscr{F}_{\mathcal{B}} ，即包含 \mathcal{B} 的极小滤子，是滤子基 \mathcal{B} 生成的滤子。令 X 是拓扑空间，称滤子 \mathscr{F}\subset 2^X 收敛到 x\in X ，若 \mathcal{F}(x)\subset\mathscr{F} ，也就是说， x 的任意邻域 U\in\mathcal{F}(x) 都满足 U\in\mathscr{F} 。如此一来，拓扑空间上的所有滤子构成了偏序集，根据Zorn引理，存在偏序的极大元。称这些极大元是超滤子(ultrafilter)。

这种集族的包含关系也适用于同一个集合上的不同拓扑，这使得同一个集合上的所有拓扑构成偏序集。在这个偏序集下，所有链有公共的最小元 \{\emptyset,X\} （平凡拓扑）和公共的最大元 2^X （离散拓扑）。在这种意义下我们可以说拓扑 \mathcal{T}_1 比 \mathcal{T}_2 弱(weaker)，或粗糙(coarser)，即 \mathcal{T}_1\subset\mathcal{T}_2 ，并且称 \mathcal{T}_2 比 \mathcal{T}_1 强(stronger)，或者精细(finer)。

定理(Hausdorff) 若 X 上有两个拓扑 \mathcal{T} 和 \mathcal{T}' ，并且对于任意 x\in X ，分别给定了两个拓扑下的邻域基 \mathcal{N}_x 和 \mathcal{N}_x' ，那么 \mathcal{T\subset T}' 当且仅当任意 x\in X 和任意 U\in\mathcal{N}_x ，存在 U'\in\mathcal{N}_x' 使得 U'\subset U 。

假设 \mathcal{T\subset T}' ，并取邻域 U\in\mathcal{N}_x ，根据邻域的定义，存在开集 O\in\mathcal{T} 使得 x\in O\subset U ，而 \mathcal{T\subset T}' ，所以 O\in\mathcal{T}' ，从而 U\in\mathcal{N}_x' 。根据邻域基的定义，存在 U'\in\mathcal{N}_x' 使得 U'\subset U 。反过来假设对于任意 x\in X 和任意 U\in\mathcal{N}_x 都存在 U'\in\mathcal{N}_x' 使得 U'\subset U 。取开集 O\in\mathcal{T} ，根据邻域基的定义，对任意 x\in O ，存在 U\in\mathcal{N}_x 使得 U\subset O ，进而 U'\subset U\subset O ，也就指出 O\in\mathcal{T}' 。

在Hausdorff空间中点列只能收敛到唯一的一点。对于滤子也是如此：

引理 若 X 是Hausdorff空间， \mathcal{F} 是 X 中的收敛滤子，那么它收敛到唯一一点。

假设 \mathcal{F} 同时收敛到 x,y\in X ，且 x\ne y ，那么存在 U\in\mathcal{F}(x) 和 V\in\mathcal{F}(y) 使得 U\cap V=\emptyset ，并且 \mathcal{F}(x)\subset \mathcal{F} ， \mathcal{F}(x)\subset \mathcal{F} ，从而 U,V\in\mathcal{F} 。但真滤子的定义要求 U\cap V\ne\emptyset ，矛盾，所以 x=y 。

利用滤子，还可以复现聚点和闭包的定义：

引理 若 X 是拓扑空间， A\subset X 是子集，那么 x\in\bar A 当且仅当存在收敛到 x 的滤子 \mathcal{F}\subset 2^X ，并且 A\in\mathcal{F} 。

假设 x\in\bar A ，那么存在 U\in\mathcal{F}(x) 使得 U\cap A\ne\emptyset 。令 \mathcal{F}:=\{F\subset X|\exists U\in\mathcal{F}(x),U\cap A\subset F\} 那么它是收敛到 x 的滤子。反过来是简单的。

称定义了拓扑 \mathcal{T} 的非离散赋值域 \mathbb{K} 上的线性空间 X 是拓扑线性空间(topological vector space , TVS)，若线性空间的加法 X\times X\to X 和数乘 \mathbb{K}\times X\to X 在乘积拓扑下是连续的。下面考虑的重点仍是实数或复数域上的TVS，例如讨论凸集的性质时，一定要要求域是复数域的子域。所以也不必过多地纠缠于赋值域的性质。赋范线性空间当然是TVS。由于子集的包含映射在子空间拓扑下是连续的，所以TVS的线性子空间在定义了子空间拓扑之后也是TVS。

在讨论TVS时总是默认如下符号：两个子集的加法 A+B:=\{a+b|\forall a\in A,\forall b\in B\} ，子集的数乘 \lambda A:=\{\lambda a|\forall a\in A\} 。子集的加法可以退化为单点集和一个子集的加法： \{x\}+A:=\{x+a|\forall a\in A\} ，此时我们省略 \{x\} 的集合符号，简写为 x+A 。

当讨论到“两个TVS”之类的话题时，总是默认这些TVS的域是相同的。

注意到，赋范线性空间上的连续线性算子 T:X\to Y 的连续性完全由它在 0\in X 处的连续性决定。本质上，这是因为如下引理：

引理 若 X 是TVS，那么任意 x_0\in X ，都使得按 x\mapsto x+x_0 定义的平移映射 T_{x_0} 是 X\to X 的同胚映射；任意 \alpha\in\mathbb{K}\backslash\{0\} 都使得按 x\mapsto \alpha x 定义的数乘映射 M_{\alpha} 是 X 的拓扑自同构映射。

由于TVS上有拓扑结构和代数结构，所以它们之间的“同构”必须是两种结构都同构。称两个TVS X,Y 之间的映射 f:X\to Y 是拓扑同构映射，若它既是线性空间的同构映射，又是拓扑空间的同胚映射。考虑到开映射定理的重要性，称两个TVS X,Y 之间的映射 f:X\to Y 是拓扑同态映射，若它是连续线性算子，并且它诱导的 \mathbb{f}:X\to\mathrm{Im}\space f 是开映射。若拓扑同态映射是单射，则称其为拓扑单态。由于拓扑空间之间的连续双射是开映射，当且仅当它是同胚映射，所以若拓扑同态映射是双射，则它是拓扑同构映射。拓扑自同构的定义是显然的。

对引理的证明只是简单地验证定义。 T_{x_0} 和 M_{\alpha} 的逆映射都很容易找到： T_{-x_0} 和 M_{1/\alpha} 。据此引理，我们对TVS的拓扑结构进行的一切研究，本质上都是对原点的邻域基的研究。

据此我们可以立刻复现赋范线性空间之间线性算子的连续性判别法则：

引理 若 X 和 Y 是TVS， f:X\to Y 是线性算子，那么 f 是连续的，当且仅当 f 在 0\in X 处连续。

当然，只需要证明 f 在 0\in X 处的连续性能推出整体连续性。假设 f 在 0\in X 处连续。任取 x\in X ， x\ne0 ，并任取 f(x)\in Y 的开邻域 U ，那么根据平移的同胚性，存在某个原点 0\in Y 的开邻域 V 使得 U=f(x)+V 。由于 f 在 0\in X 处连续，所以 f^{-1}(V)\subset X 是 0\in X 的开邻域，从而 x+f^{-1}(V) 是 x 的开邻域。由于 f 是线性算子， f(x+f^{-1}(V))=f(x)+V=U ，从而 f^{-1}(U)=x+f^{-1}(V) ，即得 f^{-1}(U) 是开集。

乍看上去，似乎没有必要让拓扑同态映射是开映射。但在提出TVS原点的邻域基的重要性之后，道理就变得非常浅显：

引理 若 X 和 Y 是TVS， f:X\to Y 是线性算子，那么 X 在原点 0\in X 的任意邻域基 \mathcal{N}_0 都使得 f(\mathcal{N}_0) 是 Y 在原点 0\in Y 的邻域基，当且仅当 f 是拓扑同态映射。

特殊的TVS都可以用原点的邻域基来定义。称实数或复数域上的TVS是局部凸拓扑线性空间(locally convex TVS , LCS)，若它有一组仅由凸集构成的原点的邻域基。同理可以定义局部紧TVS。

引理 若 S 是TVS X 的子集， \mathcal{N}_0 是原点的任意邻域基，那么 \bar S=\bigcap_{\forall B\in\mathcal{N}_0}(S+B) 。

若 x\in\bar S ，根据闭包的定义，任意 B\in\mathcal{N}_0 都使得 x\in S+B ，从而 \bar S\subset\bigcap_{\forall B\in\mathcal{N}_0}(S+B) 。反过来，若 x\in \bigcap_{\forall B\in\mathcal{N}_0}(S+B) ，那么对 x 的任意邻域 U 都存在某个 B\in\mathcal{N}_0 使得 x\in S+B\subset U ，而 (S+B)\cap S\ne\emptyset ，即 U\cap S\ne\emptyset ，从而 x\in\bar S ，即 \bigcap_{\forall B\in\mathcal{N}_0}(S+B)\subset\bar S 。

引理 若 A\subset X 是TVS X 中的开子集， B\subset X 是任意子集，那么 A+B 是开集。

只需要注意到 A+B=\bigcup_{\forall b\in B}(A+b) ，由于平移是同胚，所以所有的这些 A+b 都仍是开集，而开集的并仍是开集。

称线性空间 V 的子集 S 是平衡集(balanced , or circled)，若任意满足 |\lambda|\leqslant1 的 \lambda\in\mathbb{K} 和任意 x\in S 都使得 \lambda x\in S ，即 \lambda S\subset S 。由于TVS数乘是连续的，根据连续映射的性质，可知 \lambda\bar S\equiv M_{\lambda}(\bar S)\subset\overline{M_{\lambda}( S)}\equiv\overline{\lambda S} ，若 \lambda\ne0 。 \lambda=0 时 \lambda\bar S\subset\overline{\lambda S} 是显然的。而 \overline{\lambda S}\subset\bar S 由于 \lambda S\subset S ，所以 \lambda\bar S\subset \bar S ，即：

引理 TVS中平衡集的闭包仍是平衡集。

类似地可以考虑平衡集的内部 \mathrm{Int}\ S 。此时必须要求 0\in\mathrm{Int}\ S ，才能根据连续映射的性质，得到 \lambda(\mathrm{Int}\ S)\subset \mathrm{Int}\ S 。

引理 若 S 是平衡集， 0\in\mathrm{Int}\ S ，那么 \mathrm{Int}\ S 也是平衡集。

平衡集的一个关键性好处就是它一定包含了原点 0\in X 。所以可以利用平衡集来构造原点的邻域基。若实数或复数域上TVS的一个子集同时是凸集和平衡集，则称其为绝对凸集。

若 A,B 是线性空间 V 的子集，称 A 吸收 B ，若存在正实数 r>0 ，使得任意满足 |k|<r 的 k\in\mathbb{K} 都使得 kB\subset A 成立。称 A 是吸收集(absorbing , or absorbent , or radial)，若任意 x\in X ， A 吸收 \{x\} 。称TVS的子集 S 是有界集，若原点的任意邻域 U 都吸收 S 。

引理 TVS X 的子集 S 是有界集，当且仅当任意点列 \{x_n\}\subset S 和任意收敛到 0 的标量列 \{t_n\}\subset\mathbb{K} 都使得 \{t_nx_n\} 收敛到 0\in X 。

若 S 是有界集，那么 \{t_nx_n\} 收敛到 0 是显然的。若 \{t_nx_n\} 收敛到 0 ，假设 S 不是有界集，也就是说存在某个原点的邻域 U ，使得任意 n\in\mathbb{N} 都存在 t_n\in\mathbb{K} 使得 |t_n|<\frac{1}{n} 并且 t_nS\backslash U\ne\emptyset ，从而存在 x_n\in S 使得 t_nx_n\in t_nS\backslash U ，这直接指出 \{t_nx_n\} 不收敛到 0 ，矛盾。

引理 TVS的原点的任意邻域基 \mathcal{N}_0 都满足如下两条：(1) 任意 U\in\mathcal{N}_0 ，存在 W\in\mathcal{N}_0 使得 W+W\subset V ；(2) 任意 U\in\mathcal{N}_0 都是吸收集。

(1)是简单的。由于向量加法 (x_1,x_2)\mapsto x_1+x_2 的连续性，存在 V_1,V_2\in\mathcal{N}_0 使得 V_1+V_2\subset U ，其中 V_1+V_2=\{v_1+v_2|v_1\in V_1,v_2\in V_2\} ，从而取 W=V_1\cap V_2 。由于数乘 k\mapsto kx 的连续性，(2)也是显然的。

引理 存在TVS的原点的邻域基 \mathcal{N}_0 ，使得下述成立：(1) 任意 U\in\mathcal{N}_0 都是平衡集；(2) 任意 U\in\mathcal{N}_0 和任意 k\in\mathbb{K}/\{0\} 都使得 kU\in\mathcal{N}_0 。

这个引理来源于一组特殊的邻域基：所有闭的平衡集构成的原点的邻域基。对这组邻域基，(1)当然是成立的，(2)的真确性来源于数乘映射 M_{\alpha} 是拓扑自同构。所以只需要验证原点的所有闭平衡邻域构成的集族是邻域基，也就是说对原点的任意邻域 W ，都存在一个闭平衡集 U ，使得 0\in U 且 U\subset W 。由于向量加法和数乘都是连续的，所以向量减法 (x_1,x_2)\mapsto x_1-x_2 也是连续的，从而存在原点的邻域 W_1 ，使得 W_1-W_1\subset W 。可以证明 \bar W_1\subset W 。为了证明这一点，只需要证明 x\notin W 则 x\notin \bar W_1 ，而这是容易看出的。根据数乘 (k,x)\mapsto kx 的连续性，存在 \varepsilon>0 和原点的开邻域 W_2 ，使得任意满足 |k|<\varepsilon 和任意的 x\in W_2 都让 kx\in W_1 成立。对于所有满足 |k|<\varepsilon 的 k\in\mathbb{K} ，取 W_3=\bigcup_{\forall k\in\mathbb{K},|k|<\varepsilon}kW_2 ，那么 W_3 是平衡集，且 W_3\subset W_1 ，由于平衡集的闭包仍是平衡集，从而 \bar W_3\subset \bar W_1\subset W ， \bar W_3 就是要找的闭平衡邻域。

一定要注意区分， W+W:=\{x+y|\forall x,y\in W\} 和 2W:=\{2x|\forall x\in W\} 是完全不同的集合。

命题 实数或复数域上的任意LCS都有一组由闭吸收平衡凸并且相对于数乘变换不变的集合构成的原点的邻域基。

由于考虑的是LCS，所以它有一组仅由凸集构成的原点的邻域基 \mathcal{B} 。据引理：

引理 凸集的任意交集仍是凸集。

当 \mathbb{K}=\mathbb{R} ，任意 V\in\mathcal{B} 都使得 W_V=V\cap(-V) 是凸平衡集。当 \mathbb{K}=\mathbb{C} ，任意 V\in\mathcal{B} 都使得 W_V=\bigcap_{\forall z\in\mathbb{C},|z|=1}zV 是凸平衡集。两种情况下的 W_V 都是原点的邻域，从而一定是吸收集，并且所有 W_V 构成原点的邻域基。取所有 W_V 的闭包就证明了命题。

现在证明一个构造性结论。在后面的论述中，称此定理为TVS的邻域基定理。

定理 若 X 是非离散赋值域 \mathbb{K} 上的线性空间， \mathcal{B} 是 X 的一组滤子基，并且如下成立：(1) 任意 U\in\mathcal{B} ，存在 W\in\mathcal{B} 使得 W+W\subset U ；(2) 任意 U\in\mathcal{B} 都是吸收集；(3) 任意 U\in\mathcal{B} 都是平衡集；(4) 任意 U\in\mathcal{B} 和任意 k\in\mathbb{K}/\{0\} 都使得 kU\in\mathcal{B} 。那么， X 上存在唯一的拓扑，既使得 X 是TVS，又使得 \mathcal{B} 是 X 的原点的邻域基。

但我们要做的事，其实只是宣称一个集族是拓扑，然后利用上述性质来验证它确实是拓扑。我们宣称由如下集合构成的集族 \mathcal{T}\subset 2^X 是 X 的拓扑： U\in\mathcal{T} ，当且仅当任意 x\in U ，存在 W\in\mathcal{B} 使得 x+W\subset U 。下面我们要证明的不外乎这些：验证 \mathcal{T} 满足拓扑的定义；验证 \mathcal{T} 使得 X 的向量加法和数乘连续；验证 \mathcal{B} 是 X 原点的邻域基；验证 \mathcal{T} 是唯一的。首先是 \mathcal{T} 满足拓扑的定义，显然 \emptyset,X\in\mathcal{T} 。根据 \mathcal{T} 的定义， \mathcal{T} 中的任意并运算是封闭的。若 U_1,U_2\in\mathcal{T} ，令 x\in U_1\cap U_2 ，那么存在 W_1,W_2\in\mathcal{B} 使得 x+W_1\subset U_1 ， x+W_2\subset U_2 。根据滤子基的定义，存在 W_3\in\mathcal{B} 使得 W_3\subset W_1\cap W_2 ，从而 x+W_3\subset U_1\cap U_2 ，这恰好说明 \mathcal{T} 对有限交运算是封闭的。接下来证明 \mathcal{B} 是 X 原点的邻域基。我们只需要证明所有 W\in\mathcal{B} 都是原点的邻域，因为若 U\in\mathcal{T} 是原点的开邻域，那么存在 W\in\mathcal{B} 使得 0+W=W\subset U 。那也就是要证明存在开集 W_0\in\mathcal{T} ，使得 0\in W_0\subset W 。按这样定义 W_0 ： x\in W_0 ，当且仅当存在 W_1\in\mathcal{B} 使得 x+W_1\subset W 。由于这些 W_1 都是吸收集，所以存在 W_1 使得 0+W_1=W_1\subset W ，从而 0\in W_0 。要证明 W_0\in\mathcal{T} ，就是要证明任意 x\in W_0 ，存在 W_2\in\mathcal{B} 使得 x+W_2\subset W_0 。根据 W_0 的定义，对任意 x\in W_0 ，存在 W_1\in\mathcal{B} 使得 x+W_1\subset W ，根据定理的(1)，对于 W_1\in\mathcal{B} ，存在 W_2\in\mathcal{B} 使得 W_2+W_2\subset W_1 ，即 x+W_2+W_2\subset W ，也就是说，对于所有 x+W_2 里的点 y 来说，存在 W_2 使得 y+W_2\subset W ，从而 y\in W_0 ，相当于 x+W_2\subset W_0 。证明向量加法的连续性是简单的。若 x=x_1+x_2 ，对于 x 的任意邻域 U ，存在 W\in\mathcal{B} 使得 x+W\subset U ，而对 W\in\mathcal{B} ，又存在 W_1\in\mathcal{B} 使得 W_1+W_1\subset W ，从而 (x_1+W_1)+(x_2+W_1)\subset U 。对数乘的连续性的证明是纯技巧性的，略去。拓扑 \mathcal{T} 唯一性是显然的。

据此，立刻得：

引理 若 S\subset X 是TVS的线性子空间，那么其闭包 \bar{S} 仍是线性子空间。

据定理，取这一组特殊的原点的邻域基 \mathcal{N}_0 ，那么任意 U\in\mathcal{N}_0 ，存在 W\in\mathcal{N}_0 使得 W+W\subset U 。若 x_0\in\bar{S} ，根据闭包的定义，存在 x\in S 使得 x\in x_0+W 。若再取一个 y_0\in\bar S ，存在对应的 y\in S ，由于 S 是线性子空间，所以 x+y\in S ，从而 x+y\in x_0+W+y_0+W\subset x_0+y_0+U ，从而 x_0+y_0\in \bar S 。同理可以证明闭包对数乘封闭。

有的教材上默认了TVS是Hausdorff空间，例如Rudin。一个关键原因是我们想让单点集都是闭子集：

引理 若 X 是TVS，那么 X 是Hausdorff空间，当且仅当 \{0\}\subset X 是闭集。

为了证明引理，首先证明如下：

引理 若 X 是TVS，那么 X 是Hausdorff空间，当且仅当任意 x\in X\backslash\{0\} ，存在邻域 U\in\mathcal{F}(0) 使得 x\notin U 。

若 X 是Hausdorff的，这种分离性自然使得引理的后半段成立。假设引理的后半段成立。假设 x,y\in X 且 x\ne y ，即 x-y\ne0 ，那么存在 U\in\mathcal{F}(0) 使得 x-y\notin U 。根据邻域基定理，取特殊邻域基 \mathcal{N}_0 中的平衡集 V\in\mathcal{N}_0 并且满足 V+V\subset U ，那么 V-V\subset V+V\subset U 。假设 (x+V)\cap (y+V)\ne\emptyset ，那么存在 z\in (x+V)\cap (y+V) ，也即存在 v_1,v_2\in V 使得 z=x+v_1=y+v_2 ，从而 x-y=v_2-v_1\in V-V\subset U ，即 x-y\in U ，矛盾，这说明只能是 (x+V)\cap (y+V)=\emptyset ，而 x+V 和 y+V 分别是 x 和 y 的邻域，即证明了 X 是Hausdorff空间。

接着来证明想要的结论：

定理(von Neumann) 若 X 是TVS，那么下述等价：(1) X 是Hausdorff空间；(2) 原点 0\in X 的所有邻域的交集是 \{0\} ；(3) \{0\} 是闭集。

假设(1)成立，并且(2)不成立，也就是说存在 x\ne0 满足 x\in\bigcap_{\forall U\in \mathcal{F}(0)}U 。根据前一个引理，存在邻域 V\in\mathcal{F}(0) 使得 x\notin V ，矛盾。再注意到 0\in\bigcap_{\forall U\in\mathcal{F}(0)}U ，这就证明了(2)。假设(2)成立，我们来证明 \{0\} 的闭包仍是 \{0\} 。若 x\in\overline{\{0\}} ，那么根据闭包的定义，存在邻域 V_x\in\mathcal{F}(x) 使得 V_x\cap\{0\}\ne\emptyset ，即 0\in V_x 。邻域 V_x 当然对应着原点 0 的某个邻域 U ，使得 V_x=x+U ，从而存在 u\in U 使得 0=x+u ，即 x=-u\in -U ，也即 x\in\bigcap_{\forall U\in\mathcal{F}(0)}(-U)\equiv \bigcap_{\forall U\in \mathcal{F}(0)}U\equiv\{0\} ，得 x=0 ，这就证明了(3)。若(3)成立，假设(1)不成立，那么前一个引理不成立，也就是说存在 x\in X\backslash\{0\} ，使得任意 U\in\mathcal{F}(0) 都满足 x\in U ，那么 x\in\bigcap_{\forall U\in\mathcal{F}(0)}U\equiv\{0\} ，即 x=0 ，矛盾，从而证明了(1)。

一个值得注意的构造是TVS的商空间。最简单的构造方式是这样的：取线性子空间 E\subset X ，那么线性结构的商映射 \pi:X\to X/E 是满射，所以 X/E 上可以定义商拓扑，也就是说 U\subset X/E 是开集，当且仅当 \pi^{-1}(U)\subset X 是开集。这使得投影映射 \pi 是开映射，因为若 V\subset X 是开集，根据之前说的， V+E 也是开集，而 V+E=\pi^{-1}(\pi(V)) 。这实际上说明 \pi 是拓扑同态映射，所以根据前面说的，若 \mathcal{N}_0 是 0\in X 的邻域基，那么 f(\mathcal{N}_0) 是 0\in Y 的邻域基，这指出向量加法和数乘与投影映射的复合仍是连续的，从而 X/E 在商拓扑下是TVS。由于 \pi 是连续的，所以是闭映射，根据前一个定理和 \pi(E)=\{0\} ，立刻得到如下结论：

命题 若 X 是TVS， E\subset X 是线性子空间， X/E 是商TVS空间，那么 X/E 是Hausdorff空间，当且仅当 E 是闭子空间。

拓扑线性空间的完备性

接着来讨论另一个话题：TVS的完备性。之前说的完备性都是针对度量空间的，即任意Cauchy列都收敛。对于一般的拓扑空间，不能定义Cauchy列。Weil引入了一致空间(uniform space)的概念来推广Cauchy列，其一特例就是TVS。利用一致空间来讨论TVS的完备性的教材可以参考Schaefer。本文不引入一致空间，而直接定义TVS中的Cauchy列。

若 X 是TVS，称 \{x_n\}\subset X 是Cauchy列，若对原点的任意邻域 U\in\mathcal{F}(0) ，都存在正整数 N 使得任意满足 n,m\geqslant N 的 n,m\in\mathbb{N} 都让 x_m-x_n\in U 成立。称TVS中的滤子 \mathcal{F} 是Cauchy滤子，若对原点的任意邻域 U\in\mathcal{F}(0) ，存在 B\in\mathcal{F} 使得 B-B\subset U 。据此显然有：

引理 若 \mathcal{F}_1 和 \mathcal{F}_2 都是TVS中的滤子， \mathcal{F}_1\subset \mathcal{F}_2 ， \mathcal{F}_1 是Cauchy滤子，那么 \mathcal{F}_2 也是Cauchy滤子。

因为若 B\in\mathcal{F}_1 使得 B-B\subset U ，那么 B\in\mathcal{F}_1\subset \mathcal{F}_2 从而 B\in\mathcal{F}_2 。

引理 TVS的邻域滤子是Cauchy滤子。

令 \mathcal{F}(x) 是 x\in X 的邻域滤子。根据邻域基定理，可以取原点的特殊邻域基 \mathcal{N}_0 ，并取 U\in\mathcal{N}_0 ，那么存在 W\in\mathcal{N}_0 使得 W-W\subset W+W\subset U ，从而 (x+W)-(x+W)\subset U ，从而可以取Cauchy滤子定义中的 B 为 x+W 。根据这两个引理，收敛滤子当然是Cauchy滤子，因为若滤子 \mathcal{F} 收敛到 x ，那么 \mathcal{F}(x)\subset\mathcal{F} 。

称滤子 \mathcal{F} 相对于子集 A\subset X 是Cauchy滤子，若对于满足 B-B\subset U 的 B 额外要求 B\subset A 。若相对于 A 的所有Cauchy滤子都是收敛的滤子，则称 A 是完备的。

命题 若TVS X 的子集 A 是完备的，那么任意Cauchy列 \{x_n\}\subset A 是收敛的。

为了证明此命题，首先做准备工作。令 S:=\{x_n\} 是拓扑空间 X 中的点列，称 \mathcal{F}_S:=\{A\subset X|\mathrm{card}(S\backslash A)<\infty\} 是点列的伴随滤子。当然需要验证 \mathcal{F}_S 是滤子。若 A,B\in\mathcal{F}_S ，那么 \mathrm{card}(S\backslash(A\cap B))=\mathrm{card}((S\backslash A)\cup(S\backslash B)) \leqslant\mathrm{card}(S\backslash A)+\mathrm{card}(S\backslash B)<\infty 。若 A\in\mathcal{F}_S ， A\subset B\subset X ，那么 \mathrm{card}(S\backslash B)\leqslant\mathrm{card}(S\backslash A)<\infty 。所以 \mathcal{F}_S 确实是滤子。

引理 点列 S:=\{x_n\} 的伴随滤子 \mathcal{F}_S 是由滤子基 \mathcal{B}:=\{F_n:=\{x_i|\forall i\geqslant n\}|\forall n\in\mathbb{N}\} 生成的极小滤子。

首先 \mathcal{B} 是滤子基，因为任意 n,m\in\mathbb{N} 都使得所有的 i\geqslant\max\{n,m\} 满足 F_i\subset F_n\cap F_m 。其次 \mathcal{B}\subset\mathcal{F}_S ，因为 S\backslash F_n=\{x_1,x_2,\cdots,x_{n-1}\} 是有限集。要证明的就是任意滤子 \mathcal{F}\supset\mathcal{B} ，都使得 \mathcal{F\supset F}_S\supset\mathcal{B} 。任取 A\in\mathcal{F} ，由滤子的有限交性质， A\cap F_i 对任意 i\in\mathbb{N} 都成立，那么存在某个子列 S'=\{x_{i_k}\}\subset S 使得 S'\subset A 。从而 \mathcal{F}_S 就是所有 A\backslash S' 为有限集的 A 构成的特殊情况。

注意到，若伴随滤子 \mathcal{F}_S 收敛到 x\in X ，即 \mathcal{F}(x)\subset\mathcal{F}_S ，那么任意邻域 U\in\mathcal{F}(x) 和任意 F_i 都使得 U\cap F_i 非空，即 \{x_n\} 收敛到 x 。反过来若 \{x_n\} 收敛到 x ，那么对任意邻域 U\in\mathcal{F}(x) ，存在正整数 N 使得 n\geqslant N 时 x_n\in U ，即 F_n\subset U ，根据滤子的定义， U\in\mathcal{F}_S ，而邻域 U 是任取的，这就指出 \mathcal{F}(x)\subset\mathcal{F}_S 。也就是说：

引理 拓扑空间中的点列收敛到某一点，当且仅当其伴随滤子也收敛到这一点。

现在回到命题的证明。令 A\subset X 是TVS的完备子集， S=\{x_n\}\subset A 是Cauchy列，那么 S 的伴随滤子是Cauchy滤子，因为只需要取Cauchy滤子定义中的 B 为 F_N ，则有 F_N-F_N\subset U 。根据 A 的完备性，所有相对于 A 的Cauchy滤子都收敛到某点 x\in A ，所以点列 \{x_n\} 也收敛到这一点，从而证明了命题。

命题 Hausdorff TVS中的完备子集是闭集。

令 X 是Hausdorff TVS， A\subset X 是完备子集， x\in\bar A ，那么存在滤子 \mathcal{F}\subset 2^X 收敛到 x ，并且 A\in\mathcal{F} ，那么 \mathcal{F} 是Cauchy滤子。取子滤子 \mathcal{F}_A:=\{U\in\mathcal{F}|U\subset A\} ，易看出它是相对于 A 的Cauchy滤子，所以 A 的完备性保证了 \mathcal{F}_A 收敛到某点 y\in A ，即 \mathcal{F}(y)^A\subset\mathcal{F}_A ，其中 \mathcal{F}(y)^A:=\{U\in\mathcal{F}(y)|U\subset A\} 是 A 中 y 的全部邻域。任取邻域 U\in\mathcal{F}(y) ，也就是说存在开集 O\subset U 使得 y\in O 。若 V\in\mathcal{F}(y)^A ，那么存在子空间拓扑下的开集 O^A\subset V\subset A 使得 y\in O^A ，根据子空间拓扑的定义，存在相对于全空间拓扑的开集 M 使得 O^A=M\cap A 。不妨取 M=O ，那么 U\in\mathcal{F}(y) 自然给出了一个邻域 (U\cap A)\in\mathcal{F}(y)^A ，这恰好说明 (U\cap A)\in\mathcal{F} ，而 U\cap A\subset U ，从而 U\in\mathcal{F} 。根据Hausdorff空间中滤子收敛性的唯一性， x=y ，即 x\in A ，从而 A=\bar A 。证毕。

命题 完备TVS中任意闭子集是完备的。

令 A 是完备TVS X 的闭子集，并取 \mathcal{F}_A 是相对于 A 的Cauchy滤子。令 \mathcal{F}:=\{F\subset X|\exists B\in\mathcal{F}_A,B\subset F\} ，它是比 \mathcal{F}_A 精细的滤子，即 \mathcal{F}_A\subset \mathcal{F} ，那么 \mathcal{F} 也是Cauchy滤子，所以完备性保证了 \mathcal{F} 收敛到某点 x\in X ，即 \mathcal{N}_x\subset \mathcal{F} 。注意到 A\in\mathcal{F} ，所以 x\in\bar A ，而 A 是闭集，即得 x\in A 。和刚才一样的道理，若 U\in\mathcal{N}_x ，那么 U\cap A\in\mathcal{F} ，而根据 \mathcal{F} 的定义，存在 B\in\mathcal{F}_A 使得 B\subset U\cap A\subset A ，所以 U\cap A\in\mathcal{F}_A ，也就是说所有子空间拓扑下的邻域 U\cap A 都在 \mathcal{F}_A 里， \mathcal{F}_A 收敛到 x 。这就指出了 A 的完备性。

这两个结论是我们比较关心的。总结起来就是如下命题：

命题 若 X 是完备的Hausdorff TVS，那么子集 A\subset X 是完备集当且仅当它是闭集。

在这些高屋建瓴的论述之后，我们总得要回到度量空间里看Cauchy列。若 (X,\mathcal{T}) 是拓扑空间，并且存在度量 d:X\times X\to\mathbb{R} 使得度量诱导的拓扑与原本的拓扑 \mathcal{T} 相同，则称 X 是可度量化的。对于TVS，其可度量化性有如下判据：

定理 TVS是可度量化的，当且仅当它是第一可数的Hausdorff空间。

若TVS可度量化， \mathcal{F} 是Cauchy滤子，那么任意邻域 U\in\mathcal{F}(0) ，存在 B\in\mathcal{F} 使得 B-B\subset U 。不妨取 U 为开球 B_{\varepsilon}(0) ，那么 B-B\subset B_{\varepsilon}(0) 意味着 \sup_{\forall x,y\in B}d(x,y)<\varepsilon ，而这个值恰好是度量空间中一个集合的“直径”的定义。所以Cauchy滤子的本质就是要包含直径任意小的子集。这说明若TVS是可赋范的，也就是说存在一个范数使得TVS的拓扑是由范数给出的，那么TVS拓扑的完备性能够导出范数拓扑的完备性。

有限维拓扑线性空间

在讨论赋范线性空间时我们指出了有限维赋范空间的特殊性，即完备赋值域上赋范空间的单位闭球是紧集，当且仅当这赋范空间是有限维的。对于TVS，必须要求Hausdorff分离性：

定理 完备非离散赋值域上的Hausdorff TVS是局部紧的，当且仅当它是有限维的。

要证明此定理，首先需要如下定理：

定理 若 \mathbb{K} 是完备非离散赋值域，那么 \mathbb{K} 上的n维Hausdorff TVS X 与乘积拓扑线性空间 \mathbb{K}^n 拓扑同构。

这里 \mathbb{K}^n 实际上是赋范线性空间，所以利用有限维赋范线性空间的范数等价性，可以取范数为无穷范数 \|x\|=\max_{i=1,\cdots,n}|x_n| 。前面说过在无穷范数下 \mathbb{K}^n 是Banach空间，而完备的Hausdorff TVS的完备子集是闭集，所以 \mathbb{K}^{n+1} 中的子空间 \mathbb{K}^n 是闭子空间。由于同一域上的相同维数的有限维线性空间都是同构的，所以只需要证明同胚，而这又相当于证明 \mathbb{K}^n 上的任意能使得 \mathbb{K}^n 成为TVS的Hausdorff拓扑 \mathcal{T}_H 都使得这个拓扑是 \mathbb{K}^n 的乘积拓扑 \mathcal{T}_P 。那么就是要证明这两个恒等映射是连续映射： \mathrm{Id}^n_1:(\mathbb{K}^n,\mathcal{T}_P)\to (\mathbb{K}^n,\mathcal{T}_H) ， \mathrm{Id}^n_2:(\mathbb{K}^n,\mathcal{T}_H)\to (\mathbb{K}^n,\mathcal{T}_P) 。而TVS之间的线性映射的连续性就是在原点的连续性，所以我们只需要验证 \mathrm{Id}^n_1 和 \mathrm{Id}^n_2 在 (0,\cdots,0)\in\mathbb{K}^n 处的连续性。

现在来证明 \mathrm{Id}^n_1 的连续性，那么就是要证明对于 \mathcal{T}_H 拓扑下原点的任意开邻域 U 都存在 \mathcal{T}_P 拓扑下原点的开邻域 V 使得 \mathrm{Id}_1^n(V)\equiv V\subset U 。根据邻域基定理， U 是平衡吸收集，并且存在 \mathcal{T}_H 拓扑下原点的邻域 W 使得 W+\cdots+W\text{ (n times)}\subset U ，这些 W 也是平衡吸收集。令 e_j=(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)\subset\mathbb{K}^n 是除了第j分量为 1 ，其余全为 0 的单位向量。由于 W 是吸收集，所以存在某个正实数 \alpha_j 使得满足 |k_j|<\alpha_j 的 k_j\in\mathbb{K} 都让 k_j e_j\in W 成立。据此就可以构造出 V ：取 V 为无穷范数下的开球 B_{\alpha}(0) ，其中 \alpha=\min\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\} ，那么 x\in B_\alpha(0) 就满足 x=k_1e_1+\cdots k_ne_n\in W+\cdots +W\subset U ，从而 B_{\alpha}(0)\subset U 。

接着证明 \mathrm{Id}^n_2 的连续性。由于所有开球 B_r(0) 构成了邻域基，所以只需要证明对于任意 r>0 ，存在 \mathcal{T}_H 拓扑下原点的邻域 U 使得 U\subset B_r(0) 。当 n=1 ， B_r(0)=\{|k|<r|k\in\mathbb{K}\} 。由于 \mathbb{K} 非离散，所以 B_r(0)\backslash\{0\} 非空。任取 k\in B_r(0)\backslash\{0\} ，由于 \mathcal{T}_H 是Hausdorff拓扑，所以存在原点的邻域 U 使得 k\notin U 。考虑 U\backslash B_r(0) ，若存在 k_1\in U\backslash B_r(0) ，那么 |k_1|\geqslant r ， |\frac{k}{k_1}|<1 。由于 U 是平衡集，所以任意 x\in U 都使得 \frac{k}{k_1}x\in U ，恰好，取 x=k_1 就得 k\in U ，但 k\notin U ，矛盾。下面利用归纳法证明任意 n\in\mathbb{N} 都使得 \mathrm{Id}^n_2 连续。假设 \mathrm{Id}^n_2 连续。任取 r>0 和 j\in\{1,2,\cdots,n+1\} ，定义 V_r^j:=\{(k_1,\cdots,k_{n+1})\in\mathbb{K}^{n+1}||k_j|<r\} ，那么所有 V_r^j 构成了 \mathcal{T}_P 拓扑下原点某个邻域基 \mathcal{N}_0 的预基，那么要证明 \mathrm{Id}_2^{n+1} 的连续性，只需要证明任意 r>0 和 j\in\{1,2,\cdots,n+1\} 都存在 \mathcal{T}_H 拓扑下的原点的邻域 U 使得 U\subset V_r^j 。和刚才一样， \mathbb{K} 非离散，所以 V_r^j\backslash\{0\} 非空，即存在 k 使得 |k|<r ，从而 ke_j\in V_r^j 。令 G_j:=\{(k_1,\cdots,k_{n+1}\in\mathbb{K}^{n+1}||k_j|=0)\} ，它是 \mathcal{T}_H 下的闭子空间，由于 \mathcal{T}_H 是Hausdorff拓扑，所以存在 \mathcal{T}_H 拓扑下原点的某个邻域 U 使得 (ke_j+U)\cap G_j=\emptyset ，即 ke_j\notin G_j+U 。再次，由于 U 是平衡集， U\subset V_r^j 。

据此，完备非离散赋值域上的有限维Hausdorff TVS都是完备的，因为它们都与Banach空间 \mathbb{K}^n 拓扑同构。由于Hausdorff TVS的完备子集的闭集，而完备非离散赋值域上的Hausdorff TVS的有限维子空间在子空间拓扑下仍是完备非离散赋值域上的Hausdorff TVS，所以完备非离散赋值域上的Hausdorff TVS的有限维子空间一定是闭子空间。

称TVS X 的子集 A 是预紧集，若对原点的任意邻域 U\in\mathcal{F}(0) 都能找到有限多个 x_1,\cdots,x_r\in X 使得 A\subset \bigcup_{i=1}^r(x_i+U) 。当然TVS中的紧集一定是预紧集，因为 \{x+U|\forall x\in X\} 是TVS中任意子集的开覆盖。

引理 TVS中的预紧集都是有界集。

即原点的任意邻域 U 都吸收预紧集 K 。由邻域基定理，存在另一个原点的邻域 W 使得 W+W\subset U ，而 K 是预紧集，所以存在 x_1,\cdots,x_m\in X 使得 K\subset \bigcup_{i=1}^m(x_i+W) 。选取 W 是平衡集，那么存在 r>1 使得任意 |t|>r 都让 \{x_1,\cdots,x_m\}\subset tW ，从而 K\subset \bigcup_{i=1}^m(x_i+W)\subset tW+W \subset tU ，即证明了 U 吸收 K 。

实际上紧性和预紧性有确切的转换关系：

命题 TVS中的子集是紧集当且仅当它是完备的预紧集。

现在可以证明最开始的定理。从有限维推出局部紧是赋范线性空间的性质，所以我们只需要证明局部紧能推出有限维。实际上这个局部紧的条件可以放得更宽：原点存在预紧邻域。令 X 是完备非离散赋值域 \mathbb{K} 上的Hausdorff TVS，取 K 是原点的预紧吸收平衡邻域， \{k_n\}\subset\mathbb{K} 收敛到 0 ，那么 \{k_n K\} 是原点的一组邻域基。取 \rho\in\mathbb{K} 满足 0<|\rho|\leqslant\frac{1}{2} ， \rho K 仍是原点的邻域，那么存在 y_1,\cdots,y_m\in X 使得 K\subset\bigcup_{i=1}^m(y_i+\rho K) 。令 M 是 \{y_1,\cdots,y_m\} 张成的有限维子空间，根据刚刚证明的定理， M\simeq\mathbb{K}^{\mathrm{dim}(M)} ，从而是完备的闭子空间。我们来证明，作为线性空间， M=X ，从而 X 就是有限维的。假设 M\subsetneq X ，那么存在一个 w\in X\backslash M 。根据Hausdorff分离性，由于 \{w+k_n K\} 是 w 的邻域基，所以存在 n_0\in\mathbb{N} 使得 (w+k_{n_0}K)\cap M=\emptyset 。由于 K 是吸收集，所以存在 \mu\in\mathbb{K} 使得 (w+\mu K)\cap M\ne\emptyset ，显然 \mu>k_{n_0} 。令 \delta=\inf\{|\mu||\mu\in\mathbb{K},(w+\mu K)\cap M\ne\emptyset\} ，那么 \delta\geqslant|k_{n_0}| 。选取 x_0\in K 使得 y:=w+\mu_0x_0\in M ，其中 \delta\leqslant|\mu_0|\leqslant\frac{3}{2}\delta ，而对于这个 x_0 ，又一定存在一个 y_l 使得 x_0=y_l+\rho x_1 ，其中 x_1\in K ，从而 w=y-\mu_0x_0=y-\mu_0(y_l+\rho x_1) =(y-\mu_0y_l)-\mu_0\rho x_1\in M+\mu_0\rho K ，但 |\mu_0\rho|\leqslant\frac{3}{4}\delta<|k_{n_0}| ，矛盾，从而 M=X 。

这里我们还需要证明 \{k_n K\} 确实是原点的一组邻域基，而这根据我们已经证明的引理，这是显然的。任取 U\in\mathcal{F}(0) ，由于预紧集是有界集，所以存在 k 使得 kK\subset U ，从而所有满足 |k_n|\leqslant |k| 的 k_n 都使得 k_nK\subset U 。证毕。

拓扑线性空间中的凸集

这一节的主要内容是研究TVS中的凸集，但主要结论是TVS的可赋范性，也就是说是否存在一个范数，使得范数诱导的拓扑恰好是TVS原本的拓扑。其论述如下：

定理(Kolmogorov) 若 X 是实数或复数域上的Hausdorff TVS，那么 X 是可赋范的，当且仅当 X 存在原点的凸有界邻域。

这个定理是我们研究TVS中凸集性质的副产物。

称实数或复数域上线性空间的子集 [x,y]:=\{tx+(1-t)y|\forall t\in[0,1]\} 是 x 与 y 之间的闭线段，那么凸集就是说这集合里任意两点之间闭线段都被完全包含在这集合里。同理可以定义开线段 (x,y) 和半开半闭线段。

引理 若 X 是 \mathbb{R} 或 \mathbb{C} 上的TVS， A\subset X 是凸集， x\in\mathrm{Int}\space A ， y\in\bar{A} ，那么半开半闭线段 [x,y)\subset\mathrm{Int}\space A 。

由于 x\in\mathrm{Int}\space A ，我们只需证明 (x,y)\subset\mathrm{Int}\space A 。任取 t\in(0,1) 和 x,y ，利用TVS的平移同胚性，可以假设 tx+(1-t)y=0 ，即 y=\frac{t}{t-1}x=\alpha x ，其中实数 \alpha<0 。此时问题变为证明 0\in \mathrm{Int}\space A 。由于 \mathrm{Int}\space A 是 x 的邻域，那么 \alpha(\mathrm{Int}\space A) 是 y=\alpha x 的邻域，而 y\in\bar A ，根据闭包的定义， A\cap\alpha(\mathrm{Int}\space A)\ne\emptyset ，从而存在 z\in A\cap\alpha(\mathrm{Int}\space A)\subset \alpha(\mathrm{Int}\space A) ，从而 \frac{1}{\alpha}z\in \mathrm{Int}\space A ，而 0\in(\frac{1}{\alpha}z,z)\subset\mathrm{Int}\space A ，从而 0\in\mathrm{Int}\space A 。

据此引理，取 y\in \mathrm{Int}\space A ，若 A 是凸集，那么 \mathrm{Int}\space A 也是凸集。

命题 若 A,B 是 \mathbb{R} 或 \mathbb{C} 上的TVS中的凸子集， \alpha\in\mathbb{K} ，那么 \mathrm{Int}\space A ， \bar A ， A+B 和 \alpha A 都是凸集。

我们来证明 \bar A ， A+B 和 \alpha A 是凸集。在证明平衡集的闭包是平衡集时我们用到了这个性质： \overline{\lambda S}\subset\lambda\bar S ，所以 \overline{tA+(1-t)A}=\overline{tA}+\overline{(1-t)A}\subset t\bar A+(1-t)\bar A\subset\bar A ，即 \bar A 是凸集。这里 \overline{A+B}=\bar{A}+\bar{B} 是容易看出来的；取收敛列 \{a_n\}\subset A 和 \{b_n\}\subset B ，二者分别收敛到 a\in\bar A 和 b\in\bar B ，那么 \{a_n+b_n\}\subset A+B 收敛到 a+b\in\bar A+\bar B 。根据这些讨论我们立刻就看出 A+B 和 \alpha A 都是凸集。

命题 若 A 是 \mathbb{R} 或 \mathbb{C} 上的TVS中的凸子集， \mathrm{Int}\space A\ne\emptyset ，那么 \overline{\mathrm{Int}\space A}=\bar A 且 \mathrm{Int}\space \bar A=\mathrm{Int}\space A 。

由于 \mathrm{Int}\space A \subset A ，所以 \overline{\mathrm{Int}\space A}\subset\bar A ，我们只需证明 \bar A\subset\overline{\mathrm{Int}\space A} ，而根据引理， y\in\bar A 使得 [x,y)\in\mathrm{Int}\space A ，那么沿着 [x,y) 取一列收敛到 y 的点列 \{x_n\} ，即得 \bar A\subset\overline{\mathrm{Int}\space A} 。同样的， \mathrm{Int}\space A\subset \mathrm{Int}\space \bar A ，所以只需证明 \mathrm{Int}\space \bar A\subset\mathrm{Int}\space A 。根据平移同胚性，又只需证明如下：若 0\in\mathrm{Int}\space \bar A ，则 0\in\mathrm{Int}\space A 。若 0\in\mathrm{Int}\space \bar A ，根据邻域基定理，存在一个平衡邻域 U 满足 U\subset\bar A 。由于刚刚证明了 \overline{\mathrm{Int}\space A}=\bar A ，所以 0\in U\subset\overline{\mathrm{Int}\space A} ，从而闭包的定义， U\cap \mathrm{Int}\space A\ne\emptyset 。任取 y\in U\cap \mathrm{Int}\space A ，由于 U 是平衡集， -y\in U\subset\bar A ，从而根据引理， 0=\frac{1}{2}y+(1-\frac{1}{2})(-y)\in\mathrm{Int}\space A 。

令 X 是实数或复数域上的线性空间， A\subset X 是子集，称 p_A:X\to[0,\infty] 是 A 的Minkowski泛函，若 p_A(x)=\inf\{\lambda|x\in\lambda A,\lambda\in(0,\infty)\} ；若不存在 \lambda 使得 x\in\lambda A ，则定义 p_A(x)=\infty 。当然，若 A=\emptyset ，则 \inf\space\emptyset=\infty 。注意到若 X 是赋范线性空间， A=B_1(0) 是范数下的单位开球，那么Minkowski泛函就是这个范数。单位开球当然是一个非常特殊的原点的邻域，它同时是凸集、平衡集、吸收集、有界集。我们来研究这些特殊情况对Minkowski泛函的影响：

引理 令 X 是实数或复数域上的TVS， p_A 是子集 A\subset X 上的Minkowski泛函，那么下述成立：

(1) 若 A 是吸收集，则 p_A(x)<\infty 处处成立。若 p_A(x)<\infty 处处成立且 A 是凸集，则 A 是吸收集；

(2) 若 x\ne0 ，且 A_x:=A\cap\{y\in X|y=\lambda x,\lambda\geqslant0\} 在一维子空间 L_x:=\{y\in X|\forall k\in\mathbb{K},y=kx\} 的子空间拓扑中是有界集，那么 p_A(x)>0 。若 X 是Hausdorff TVS， A 是有界集，那么 p_A(x)>0 对所有 x\in X\backslash\{0\} 成立；

(3) 若 c>0 ，则 p_A(cx)=cp_A(x) 。若 0\in A 且 p_A(x)<\infty ，那么 p_A(cx)=cp_A(x) 对所有 c\geqslant0 成立。

(4) 若 A 是凸集，那么 p_A(x_1+x_2)\leqslant p_A(x_1)+p_A(x_2) 对任意 x_1,x_2\in X 成立；

(5) 若 A 是平衡集，那么 p_A(cx)=|c|p_A(x) 对所有 c\in\mathbb{K} 成立。

若 A 是吸收集，那么显然 p_A(x)<\infty 处处成立。若 p_A(x)<\infty 成立，也就是说对任意 x\in X 都存在 \lambda\in(0,\infty) 使得 x\in\lambda A ，那么 \frac{1}{\lambda}x\in A 。对于 -x ，同样也存在 \mu 使得 \frac{1}{\mu}(-x)\in A ，而 A 是凸集，那么任意 t\in[0,1] 都使得 \frac{t}{\lambda}x+\frac{t-1}{\mu}x\in A ，取合适的 t ，就可使得所有满足 |k|\leqslant\frac{1}{\lambda} 的 k\in\mathbb{K} 都让 kx\in A 。再来考虑(2)。论断(2)的提出是自然的：考虑 A=X 为全空间，那么所有 x\in X 都使得 p_X(x)=0 。若 A=\emptyset 则没什么好证的。下设 A\ne\emptyset 。若 A_x 在子空间 L_x 的子空间拓扑中是有界集，那么任意收敛到 0\in\mathbb{K} 的标量列 \{a_n\}\subset\mathbb{K} 和任意点列 \{x_n\}\subset A_x 都使得 \{a_nx_n\} 在子空间拓扑下收敛到 0\in L_x\subset X 。由 A_x 的定义，这些 x_n 都可以写成 \lambda_nx 的形式，那么 \{a_n\lambda_nx\} 收敛到 0 。假设 p_A(x)=0 ，那么存在一列 \{t_n\} 收敛到 0 使得 p_A(x)=\inf\{t_n\} ，再找到一列 \{y_n\}\subset A_x 使得 y\equiv t_n y_n 对所有 n 成立。这些 y_n=\lambda_n x ，从而 \{t_n\lambda_n\} 收敛到 1 ，因为 t_n\lambda_n x 恒等于 y ；但 \{t_n\} 收敛到 0 ，根据有界性， \{t_n\lambda_nx\} 应收敛到 0\in X ，所以 \{t_n\lambda_n\} 收敛到 0\in\mathbb{K} ，矛盾。这就指出 p_A(x)\ne0 。这里暗暗地使用了条件： 0,1\in\mathbb{K} 的分离性，所以在(2)的后半段，要求 X 是Hausdorff TVS。考虑(3)，若 c>0 ， cx\in c\lambda A ，那么显然 x\in\lambda A 。 0\in A 是为了让 p_A(0)=0 成立。 p_A(x)<\infty 的条件是为了避免不定式 0\cdot\infty 的出现。考虑(4)，不失一般性，假设 p_A(x_1)+p_A(x_2)=1 ，那么存在 \lambda,\mu>0 满足 \lambda+\mu=1 并且 x_1\in\lambda A ， x_2\in\mu A 。根据 A 的凸性， x_1+x_2\in\lambda A+\mu A=(\lambda+\mu)A=A ，从而根据Minkowski泛函的定义，一定有 p_A(x_1+x_2)\leqslant1 。对于一般的情况，结合(3)便可证得。最后考虑(5)。若 A 是平衡集，那么任意 \lambda\in\mathbb{K} 都使得 \lambda A 也是平衡集。若 cx\in A ，那么存在一个 k\in\mathbb{K} 满足 |k|=1 且 ckx=|c|x ，从而 |c|x\in A 。反过来， |c|x\in A 也能推出 cx\in A ，结合(3)就证明了(5)。

根据引理，若 X 是Hausdorff TVS， A 是凸平衡吸收集，则Minkowski泛函 p_A 是半范数。反过来，若 q 是半范数，那么单位开球 B^o_{q}:=\{x\in X|q(x)<1\} 是吸收平衡凸集，并且 q 等于单位开球上的Minkowski泛函 p_{B^o_q} 。

为何半范数如此重要，其关键原因就是半范数 p 下的开球 B_r(0)=\{x\in X|p(x)<r\} 是凸集，因为 p(tx+(1-t)y)\leqslant tp(x)+(1-t)p(y)<tr+(1-t)r=r 对任意 t\in[0,1] 成立。我们可以利用这些凸开集，构造出邻域基，而这些凸开集就是邻域基的预基。作为一个简单又直观的例子，考虑 \mathbb{R}^2 上的两个半范数 p_1(x,y)=|x| 和 p_2(x,y)=|y| 。这两个半范数的“开球”就是无穷长开矩形。所有以原点为正方形中心的所有正方形 \{(x,y)\in\mathbb{R}^2||x|<r,|y|<r\} 是标准拓扑的原点的邻域基，这组邻域基恰好能够由两个半范数的有限交集构造得到。在下一节里我们给出半范数与邻域基的关系的主要结论。

Minkowski泛函的由来就是半范数。而半范数又是所谓的齐次凸泛函。称映射 p:X\to[0,\infty] 是齐次凸的，若三角不等式和非负正定性成立： p(x+y)\leqslant p(x)+p(y) ，且 p(\lambda x)=\lambda p(x) 若 \lambda\in(0,\infty) ， p(0)=0 。齐次凸函数当然是凸的。所谓凸函数，就是对 t\in[0,1] 满足 f(tx+(1-t)y)\leqslant tf(x)+(1-t)f(y) 的函数。

引理 若 p:X\to[0,\infty] 是齐次凸泛函，那么单位开球 B^o_{p}:=\{x\in X|p(x)<1\} 和单位闭球 B^c_p:=\{x\in X|p(x)\leqslant1\} 是吸收凸集，并且 p_{B_p^o}(x)=p_{B_p^c}(x)=p(x) 对所有 x\in X 成立。

首先 0\in B^o_p\subset B^c_p 。任取 x_1,x_2\in B^o_p ，那么 p(tx_1+(1-t)x_2)\leqslant tp(x_1)+(1-t)p(x_2)<t+(1-t)=1 ，从而 tx_1+(1-t)x_2\in B^o_p ，即得 B^o_p 的凸性。利用相同的不等式可得 B^c_p 的凸性。接着分两种情况讨论： p_{B^o_p}(x)<p(x) 和 p_{B^o_p}(x)> p(x) ，这二者都不成立，所以根据排中律，有 p_{B^o_p}(x)=p(x) 。假设 p_{B^o_p}(x)<p(x) ，那么存在 \varepsilon>0 使得 p_{B^o_p}(x)+\varepsilon<p(x) ，从而 p_{B^o_p}(\frac{x}{p_{B^o_p}(x)+\varepsilon})=\frac{p_{B^o_p}}{p_{B^o_p}(x)+\varepsilon}<1 ，即 \frac{x}{p_{B^o_p}(x)+\varepsilon}\in B^o_p 。但同时 p(\frac{x}{p_{B^o_p}(x)+\varepsilon})=\frac{p(x)}{p_{B^o_p}(x)+\varepsilon}>1 ，即 \frac{x}{p_{B^o_p}(x)+\varepsilon}\notin B^o_p ，前后矛盾，所以 p_{B^o_p}(x)<p(x) 不成立。同理可以证明 p_{B^o_p}(x)> p(x) 不成立。对于 p_{B^c_p}(x)=p(x) 的证明采用相同办法。

引理 令 A^c:=\{x\in X|p_A(x)\leqslant1\} 是Minkowski泛函下的单位闭球， A^o:=\{x\in X|p(x)<1\} 是单位开球。那么

(1) A\subset A^c ；

(2) 若 0\in A 且 A 是凸集，那么 A^o\subset A ；

(3) 若 A 是吸收凸集，任意的一维子空间 L\subset X 都使得 A\cap L 是 L 的子空间拓扑中的闭集，那么 A=A^c ；

(4) 若 0\in A 且 A 是凸集，任意的一维子空间 L\subset X 都使得 A\cap L 是 L 的子空间拓扑中的开集，那么 A=A^o 。

根据Minkowski泛函的定义，(1)是显然的。考虑(2)，若 p_A(x)<1 ，那么存在 \lambda\in(0,1) 使得 x\in\lambda A ，即 \frac{1}{\lambda}x\in A ，而 0\in A ， A 是凸集，所以 \lambda\frac{1}{\lambda}x+(1-\lambda)0=x\in A ，即得 A^o\subset A 。考虑(3)，由于 A 是吸收凸集，所以 0\in A ，进而结合(1)(2)，可知 A^o\subset A\subset A^c 。我们来证明 A^c\subset A ，由于 A^c=A^o\cup\{x\in X|p_A(x)=1\} ，所以仅需证明 \{x\in X|p_A(x)=1\}\subset A 。令 x 满足 p_A(x)=1 ，那么根据Minkowski泛函的定义，存在一列 \{\lambda_n\}\subset\mathbb{R} 收敛到 1 使得 x\in\lambda_n A ，并且每一项 \lambda_n\geqslant1 。不失一般性，选取 \lambda_n 满足 \lambda_n-1<\frac{1}{n} ，那么 \{x_n:=\frac{1}{\lambda_n}x\}\subset A 在 \{x\} 生成的一维子空间 L\simeq\mathbb{K} 中收敛到 x ，又 A\cap L 是子空间中的闭集，所以 x\in A\cap L\subset A 。这一列 \{\lambda_n\} 的存在性由 A 的吸收性保证。最后考虑(4)，只需证明任意 x\in A 都使得 p_A(x)<1 。若 x=0 ，那么 p_A(x)=0 。当 x\ne0 ，令 L 是 \{x\} 生成的一维子空间，那么根据假设， A\cap L\subset L\simeq\mathbb{K} 是开子集，而 x\in A\cap L ，所以存在实一维连通开区间 (1-\varepsilon,1+\varepsilon)\subset A\cap L ， (1-\varepsilon,1+\varepsilon)\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{K} ，任取 \lambda\in(1-\varepsilon,1) 就使得 p_A(x)<1 。

称实数或复数域上线性空间 X 中子集 A 的凸包，是所有包含 A 的凸集的交集。用前面的话来说，凸包就是子集生成的极小凸集。记凸包为 \mathrm{conv}\space A 。这个定义等价于 \mathrm{conv}\space A:=\{\sum_\alpha\lambda_\alpha x_\alpha|\forall \{x_\alpha\}\subset A,\mathrm{card}(\{x_\alpha\})<\infty,\lambda_\alpha>0,\sum_{\nu}\lambda_\alpha=1\} ，是所有满足系数和为 1 的有限线性组合。根据定义，若 A\subset U ， U 是凸集，那么 A 的凸包 \mathrm{conv}\space A\subset U 。

现在可以完成Kolmogrov定理的证明。假设 X 是实数或复数域上的赋范线性空间， p 是这个范数，那么范数下的开球 B_r(0):=\{x\in X|p(x)< r\} 就是 0\in X 的凸有界邻域。反过来，令 X 是实数或复数域上的Hausdorff TVS， U\in\mathcal{F}(0) 是原点的凸有界邻域。根据邻域基定理，存在平衡集 W_0\in\mathcal{F}(0) 使得 W_0\subset U 。 W_0 的凸包 W 是原点的凸平衡邻域，并且由于 U 本身也是凸集，所以 W\subset U 。从而 W 被包含在有界集 U 内，这使得它自身也是有界集。据此，Minkowski泛函 p_W 是范数，由于 W 一定是吸收集，所以Minkowski泛函引理的五条性质全部成立。由于 \frac{r}{2}W\subset B_r(0) ，所以范数 p_W 下的所有开球 B_r(0) 都是原本拓扑下原点的邻域。再者，任取原本拓扑下原点的邻域 V ，由 W 的有界性， V 吸收 W ，所以存在 \delta>0 使得 B_\delta(0)\subset\delta W\subset V ，这就证明了所有开球 \{B_r(0)\} 是原本拓扑下原点的邻域基。定理证毕。

拓扑具体范畴

现在我们可以讨论如下重要结论：

定理(Dieudonné) 实数或复数域上的LCS的拓扑由一族半范数完全给出。

下面就解释一族半范数如何“给出拓扑”。这些讨论将从范畴论的观点出发。

称范畴 \mathsf{C} 是范畴 \mathsf{X} 上的具体范畴(concrete category)，若存在忠实函子 U:\mathsf{C}\to\mathsf{X} 。研究拓扑具体范畴时我们只考虑范畴 \mathsf{Set} 上的具体范畴，此时直接称呼 \mathsf{C} 是具体范畴，而忠实函子 U:\mathsf{C}\to\mathsf{Set} 就变成遗忘函子。若 \mathsf{C} 是局部小范畴， U 是可表函子，也就是说存在 A\in\mathrm{Ob}(\mathsf{C}) 使 U 与 \mathrm{Hom}(A,-) 自然同构，则称 \mathsf{C} 是可表具体范畴。若对任意 A,B\in\mathrm{Ob}(\mathsf{C}) 和任意态射 f\in\mathrm{Hom}_{\mathsf{Set}}(U(A),U(B)) ，存在 \bar f\in\mathrm{Hom}_{\mathsf{C}}(A,B) 使得 U(\bar f)=f ，则称 f 是 \mathsf{C} -态射。为简单起见，也直接把 \bar f 记为 f 。

称具体范畴 \mathsf{C} 中的对象 A\in\mathrm{Ob}(\mathsf{C}) 是离散对象，若任意 B\in\mathrm{Ob}(\mathsf{C}) 使得任意态射 f:U(A)\to U(B) 是 \mathsf{C} -态射。称 A\in\mathrm{Ob}(\mathsf{C}) 是非离散对象，若任意 B\in\mathrm{Ob}(\mathsf{C}) 使得任意态射 f:U(B)\to U(A) 是 \mathsf{C} -态射。这两个概念来自于拓扑中的离散拓扑和平凡拓扑：令 A\in\mathrm{Ob}(\mathsf{Top}) 是离散拓扑空间，那么任意拓扑空间 B\in\mathrm{Ob}(\mathsf{Top}) 都使得任意态射，即映射 f:A\to B 是连续映射，因为任意开集 O\in\mathcal{T}_B 的原像都满足 f^{-1}(O)\in2^A 从而是开集。令 A 是平凡拓扑空间，那么任意拓扑空间 B 也使得任意映射 f:B\to A 是连续映射，因为任意 a\in A ，它的开邻域只有 A 。

称 X\in\mathrm{Ob}(\mathsf{Set}) 的纤维是所有满足 U(A)=X 的 A\in\mathrm{Ob}(\mathsf{C}) 的类。为了方便辨认，把 X 的纤维里的集合记作 (X,\xi) ，其中 \xi 被称为 X 上的结构。那么遗忘函子 U(X,\xi)=X 就是忘掉结构 \xi 。纤维不一定是集合，例如考虑 \mathsf{C}=\mathsf{Set} 。若任意 X\in\mathrm{Ob}(\mathsf{Set}) 相对于 \mathsf{C} 的纤维都是集合，则称 \mathsf{C} 是纤维小的具体范畴。 \mathsf{Top} 是纤维小集合；同一个集合上所有不同的拓扑就构成了底集合的纤维。任意集合 X 的纤维上可以定义序关系 \leqslant ： (X,\xi)\leqslant (X,\eta) 当且仅当恒等映射 \mathrm{Id}:U(X,\xi)\to U(X,\eta) 是 \mathsf{C} -态射。可以省略 X ，把序关系记作 \xi\leqslant \eta ，并称 \xi 比 \eta 精细(finer)或强(stronger)，称 \eta 比 \xi 粗糙(coarser)或弱(weaker)。最简单的例子还是来自于拓扑空间的离散拓扑和平凡拓扑，若 X 上能定义拓扑结构，那么最强的拓扑就是离散拓扑，最弱的拓扑就是平凡拓扑。

纤维上的序关系 \leqslant 是预序，反身性和传递性是容易看出的。但它不一定是偏序，也就是说反对称性不一定成立。例如，考虑有限维赋范线性空间和等距线性算子的范畴。由于有限维赋范线性空间上范数的等价性，所以 \mathrm{Id}:(X,\|\|_1)\to(X,\|\|_2) 是等距同构算子，即 (X,\|\|_1)\leqslant(X,\|\|_2) 且 (X,\|\|_2)\leqslant(X,\|\|_1) ，但 (X,\|\|_1)\ne(X,\|\|_2) 。

称 \mathsf{C} 中的一族态射 \{f_i:A\to A_i\}_{i\in I} 是源(source)。若 f:U(B)\to U(A) 使得所有 U(f_i)\circ f:U(B)\to U(A_i) 是 \mathsf{C} -态射能推出 f 是 \mathsf{C} -态射，则称源 \{f_i:A\to A_i\}_{i\in I} 是起始源(initial source)。称 \mathsf{Set} 中的一族态射 \{f_i:X\to U(A_i)\}_{i\in I} 是 U -结构源。若存在 \mathsf{C} 中的起始源 \{\tilde {f}_i:A\to A_i\}_{i\in I} 使得 U(A)=X 和 U(\tilde f_i)=f_i 对所有 i\in I 成立，则称起始源 \{\tilde {f}_i:A\to A_i\}_{i\in I} 是 U -结构源 \{f_i:X\to U(A_i)\}_{i\in I} 的起始提升(initial lift)。

对偶地，称 \mathsf{C} 中的一族态射 \{f_i:A_i\to A\}_{i\in I} 是汇(sink)。若 f:U(A)\to U(B) 使得所有 f\circ U(f_i):U(A_i)\to U(B) 是 \mathsf{C} -态射能推出 f 是 \mathsf{C} -态射，则称汇 \{f_i:A_i\to A\}_{i\in I} 是终止汇(final sink)。同理也可以定义 U -结构汇和 U -结构汇的终止提升。

命题 若 U -结构源 \{f_i:X\to U(A_i)\}_{i\in I} 存在起始提升 \{\tilde {f}_i:(X,\xi)\to A_i\}_{i\in I} ，那么 X 的纤维上最弱的使得 f_i 都是 \mathsf{C} -态射的结构是 \xi 。

考虑另一个结构 \eta 。由于 U(\tilde f_i)\circ \mathrm{Id}_X:U(X,\eta)\to U(A_i) 是 \mathsf{C} -态射，所以根据起始源的定义， \mathrm{Id}_X:U(X,\eta)\to U (X,\xi) 是 \mathsf{C} -态射，从而 \xi\leqslant\eta 。

同理， U -结构汇的终止提升使得提升中的结构是纤维上使得所有 f_i 都是 \mathsf{C} -态射的最强结构。

若纤维小的具体范畴 \mathsf{C} 上任意 U -结构源都有唯一的起始提升，并且任意满足 \mathrm{card}(X)\leqslant1 的 X\in\mathrm{Ob}(\mathsf{Set}) 的纤维 \mathrm{Fib}(X) 满足 \mathrm{card}(\mathrm{Fib}(X))=1 ，则称 \mathsf{C}是拓扑具体范畴，称遗忘函子 U 是拓扑函子。

根据 \mathsf{Set} 的完全性和余完全性，立刻得如下论断：

定理 拓扑具体范畴是完全的并且是余完全的。

也就是说拓扑具体范畴里，积与余积、等化子与余等化子、拉回与推出、逆极限与直极限等极限与余极限都存在。

定理 拓扑具体范畴中的态射 f:(X,\xi)\to(Y,\eta) 是单态，当且仅当 U(f):X\to Y 是单射； f:(X,\xi)\to(Y,\eta) 是满态，当且仅当 U(f):X\to Y 是满射。

我们来证明前半部分。设 f:(X,\xi)\to(Y,\eta) 是单态，并任取 x_1,x_2\in X ，定义 \bar x_1,\bar x_2:X\to X 分别满足 \bar x_1(x)=x_1 和 \bar x_2(x)=x_2 ，那么取离散结构 \xi_d ，就能使得 \bar x_1:(X,\xi_d)\to(X,\xi) 和 \bar x_2:(X,\xi_d)\to(X,\xi)都是 \mathsf{C} 中态射。若 f(x_1)=f(x_2) ，那么 f\circ\bar x_1=f\circ \bar x_2 ，由于 f 是单态，所以 \bar x_1=\bar x_2 ，即 x_1=x_2 。反过来由单射推出单态是简单的。

当然，既然拓扑具体范畴冠上了“拓扑”的名，它一定是与拓扑有关的。考虑拓扑空间与连续映射的范畴 \mathsf{Top} 。我们来验证它是拓扑具体范畴：首先它是纤维小的。其次，考虑 \emptyset\in\mathrm{Ob}(\mathsf{Top}) ，空集的拓扑只有一种： \{\emptyset\} 。再考虑单点集 X=\{x\} ，它的拓扑也只有一种： \{\emptyset,X\} 。最后，任意 U -结构源 \{f_i:X\to U(A_i)\}_{i\in I} 的起始提升一定存在，因为只需要让 \{f^{-1}_i(O)|\forall i\in I,O\in\mathcal{T}_{A_i}\} 是 X 的拓扑基的子基，则所有的 f_i 都是连续的。这就是 \{f_i\} 诱导的初始拓扑(initial topology)的定义。

读者可能仍记得子空间拓扑的特征性质：

定理 若 S\subset X 是拓扑子空间，那么 f:Y\to S 是连续映射，当且仅当 \iota_S\circ f:Y\to X 是连续映射。

这恰恰指出，子空间拓扑就是包含映射 \{\iota_S:X\hookrightarrow S\} 诱导的初始拓扑，从而 \{\iota_S^{-1}(O)|\forall O\in\mathcal{T}_X\} 是 S 的拓扑基，而 \iota_S^{-1}(O) 恰恰等于 O\cap S 。同样的，积拓扑空间的积拓扑也是初始拓扑，它是由投影映射 \{\pi_i:X\to X_i\} 诱导的。

类似的，我们也要讨论终止拓扑。但需要如下的拓扑对偶定理才能开始讨论：

定理 拓扑具体范畴上的 U -结构汇有唯一的终止提升。

令 \{f_i: U(A_i)\to X\}_{i\in I} 是 U -结构汇，那么这些 f_i 都必须是 \mathsf{C} -态射：取所有使得 g_j\circ f_i:U(A_i)\to U(B_j) 是 \mathsf{C} -态射的 \{g_j:X\to U(B_j)\}_{j\in J} ，那么 U -结构源 \{g_j\} 有唯一的初始提升 \{\tilde g_j:(X,\xi)\to B_j\}_{j\in J} ，而根据初始源的定义，由于 g_j\circ f_i 都是 \mathsf{C} -态射，所以这些 f_i 都是 \mathsf{C} -态射。取任意使得 g\circ f_i:U(A_i)\to U(B) 是 \mathsf{C} -态射的 g:X\to U(B) ，那么一定存在 j\in J 使得 g=g_j ，从而 g 是 \mathsf{C} -态射，这就说明 U -结构汇 \{f_i\} 有终止提升。唯一性是显然的。

这定理使得定义终止拓扑是合理的。称 U -结构汇 \{f_i: U(A_i)\to X\}_{i\in I} 的终止提升，即使得所有 f_i 为连续映射的最强拓扑，也即以 \{O\subset X|\forall i\in I,f^{-1}_i(O)\in\mathcal{T}_{A_i}\} 为子基的拓扑基诱导的拓扑，是 \{f_i\} 诱导的终止拓扑(final topology)。终止拓扑的最典例是商空间拓扑：

定理 若 q:X\to Y 是商映射，那么 f:Y\to Z 是连续映射当且仅当 f\circ q:X\to Z 是连续映射。若 X 是拓扑空间， Y 是非空集合， q:X\to Y 是满射，那么 Y 的商拓扑是使得如上性质成立的唯一拓扑。

这指出商拓扑是商映射 \{q:X\to Y\} 诱导的终止拓扑， \{O\subset Y|q^{-1}(O)\in\mathcal{T}_X\} 是商拓扑的子基。从这种对偶的意义上来说，子空间拓扑和商空间拓扑是完全对偶的，两者都是由单个映射诱导的拓扑，子空间拓扑是初始拓扑，包含映射是单射；商空间拓扑是终止拓扑，商映射是满射。

另一个例子是离散对象和非离散对象：

引理 若 (X,\xi) 和 (Y,\xi) 是拓扑具体范畴里的对象， f:X\to Y 是恒常映射，那么存在 \mathsf{C} 中的态射 \tilde f:(X,\xi)\to(Y,\eta) 使得 U(\tilde f)=f 。

由于 f 是恒常映射，即 f(X)=\{y\} 是单点集，那么根据拓扑具体范畴的定义， f(X) 仅存在唯一的结构 \mu 使得 (f(X),\mu)\in\mathrm{Ob}(\mathsf{Set}) 。根据 U -结构源唯一起始提升的存在性， \{\iota:f(X)\to Y\} 诱导的起始结构就是 \mu ，其中 \iota=\mathrm{Id}_{f(X)} 。由于 \mu 是唯一的结构，所以它同时是离散的也是非离散的，而非离散性指出 f':U(X,\xi)\to U(f(X),\mu) 是 \mathsf{C} -态射，从而 f=\iota\circ f' 也是 \mathsf{C} -态射。

一个有趣的性质是，拓扑具体范畴是可传输的(transportable)：

命题 若 \mathsf{C} 是拓扑具体范畴， X,Y\in\mathrm{Ob}(\mathsf{Set}) ， f:X\to Y 是双射，那么对于任意 (X,\xi)\in\mathrm{Ob}(\mathsf{C}) ，存在唯一的 (Y,\eta)\in\mathrm{Ob}(\mathsf{C}) 和唯一的 \tilde f:(X,\xi)\to(Y,\eta) 使得 \tilde f 是同构，并且 U(\tilde f)=f 。

即两个作为集合是相同的集合，可以建立起相同的拓扑。证明是简单的，只需注意到 Y 取 f:X\to Y 诱导的终止拓扑即可。这命题可用于证明拓扑具体范畴的(co)well-powered性质。

现在让我们回到半范数。令 X 是实数或复数域上的线性空间， \mathcal{S}:=\{p_i:X\to\mathbb{R}^+\}_{i\in I} 是一族半范数。由于TVS之间的线性算子的连续性能够仅通过其在原点附近的行为来判断，所以不需要考虑所有开集 O\subset\mathbb{R}^+ 的原像，而仅需考虑原点的邻域滤子，即所有形如 [0,\varepsilon) 的集合的原像。

假设 X 上存在唯一的拓扑使得 X 原点的某个邻域基 \mathcal{N}_0 的预基是 \mathcal{P}:=\{p_i^{-1}([0,\varepsilon))|\forall i\in I,\forall \varepsilon>0\} 。由于这些半范数下的开球满足 p_i^{-1}([0,\varepsilon))\equiv\{x\in X|p_i(x)<\varepsilon\}=\varepsilon B^o_{p_i} ，而单位开球 B^o_{p_i} 是凸集，容易验证 \varepsilon B^o_{p_i} 也是凸集。凸集的任意并集仍是凸集，所以预基 \mathcal{P} 生成的邻域基 \mathcal{N}_0 是由凸集构成的，从而 X 是LCS。

令 X 是实数或复数域上的LCS。根据第一节中的命题， X 存在由闭吸收平衡凸集构成的原点的邻域基 \mathcal{B} 。对任意 V\in\mathcal{B} ，Minkowski泛函 p_V 都是半范数， V 就是半范数 p_V 的单位开球。那么Dieudonné定理归结为 \{\varepsilon V|\forall\varepsilon>0,\forall V\in\mathcal{B}\} 是 \mathcal{B} 的预基，而这是显然的。