泛函分析：4.1 有界线性算子和有界线性泛函

参考视频45-56讲

《泛函分析教材》孙炯

第四章 有界线性算子

数学研究的对象有两种：函数、运算，前三章大多研究在函数空间中。运算：平移、旋转、微积分等。下面研究在一些特定空间上的线性运算（线性方程组、微分方程、积分方程）的性质。我们将把它们称之为线性算子（是泛函分析中最重要的基本概念之一）

我们把全体有界线性算子看作一个线性空间，并赋以范数，成为赋范空间。线性算子看作赋范空间中的元素。线性算子空间是线性泛函研究的主要对象。

线性算子空间的框架下，研究线性运算的性质，解决分析、代数、几何中的问题。

在赋范空间中讨论有界线性算子的本质特征，可以得到一些很深刻的结论：
1.一致有界原则
2.开映射定理、逆算子定理
3.闭图像定理

4.1 有界线性算子和有界线性泛函

4.1.1 有界线性算子和线性泛函的定义

主要参考视频p45及课本p108。

主要内容：线性算子、线性泛函、有界线性算子、线性算子的连续性、线性算子有界与线性算子连续等价。

1.线性算子

线性算子： T(\alpha x+\beta y)=\alpha Tx+\beta Ty ，把具有这样性质的运算，称为线性算子。（简单理解：过原点的直线）

D(T) 是X的子集。注：x和x1都是赋范空间。

2.上的线性算子、线性泛函（实线性泛函、复线性泛函）

3.有界线性算子、有界线性泛函

也就是说：经过算子运算后，放大（或缩小），但是倍数不超过M。

• 注1：线性算子（线性泛函）的有界和函数的有界意义并不相同。例如在实数空间R，把 Tx=x 看作是是从 R 到 R 的线性算子，则T是有界线性算子， ||T||≤1 ，但是把 Tx=x 看作普通的实函数，它是无界函数.（ Tx=x ：无界函数但是有界线性算子）
• 注2：由于内积可以产生范数，内积空间也是赋范空间，所以有关赋范空间上有界线性算子、有界线性泛函的讨论在内积空间依然成立。（前面引入的时候， X和X_1 是赋范空间，实际上，在内积空间下也可以，因为内积空间也是赋范空间）
• 命题：有界线性算子把有界集映成有界集。

4.线性算子 T 的连续性

T 在 x_0 点连续：

由于线性算子运算是线性的，关于有界线性算子的连续性有下述结论：

T 在 x_0 点连续——>T 在 X 上连续：（在一点连续，推出在所有点连续）

注1：对于线性算子来说，一点连续意味着点点连续。

注2：线性算子 T 连续意味着： \lim_{n \rightarrow \infty}{T(x_n)}=T(\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n})

5.T 是连续的当且仅当 T 是有界的

注：线性算子连续等价于有界，无界线性算子即不连续。

4.1.2 有界线性算子组成的赋范空间

主要参考视频p45及课本p110。

主要内容：有界线性算子上定义范数、范数的两种等价形式、范数的乘法。

接下来，要把上面提到的这些有界线性算子当作一个元素，构成一个新的线性空间（放在一个空间框架下，给它建立范数等。）即由全体有界线性算子构成的空间。

从赋范空间的角度研究线性算子的性质

1.在有界线性算子中定义线性运算，成为一个线性空间

2.有界线性算子的范数定义

可以验证 ||T||=\sup_{x \in X,x\ne 0}{\frac{||Tx||}{||x||}} 是范数（非负、正定、正齐次、三角不等式）

全体有界线性算子：
1.是线性空间（加法、数乘）
2.赋范空间（有范数）——距离空间——可研究收敛性等几何特征，原来赋范空间满足的，对于有界线性算子都满足。（极限、可分、完备等）

3.范数定义的简化

||T||=\sup_{x \in X,x\ne 0}{\frac{||Tx||}{||x||}}=\sup_{||x||= 1}{||Tx||}=\sup_{||x||\leq 1}{||Tx||}

4.有界线性算子可以定义乘法

进一步有： ||A^n||\leq||A||^n

4.1.3 有界线性算子的例子

条件极值、拉格朗日乘子法、

1. R^n 上的任何有界线性泛函，是由 R^n 中的一个元素a确定的

事实上 R^n 上的任何有界线性泛函一定可以写成式（4.1.10）的形式。也就是说 R^n 上的个有界线性泛函，是由 R^n 中的个元素a确定的。在 R^3 中可以更清楚地看到，元素a正是平面 f(x)=0 的法向量。

2.有限维空间上的线性算子都是有界线性算子

注：定义域是有限维空间的线性算子是有界的，但是值域是有限维的线性算子不一定是有界线性算子。

3.无穷维空间的有界线性算子

4. C[0,1]\rightarrow R 的有界线性范函

5.线性泛函必须是线性的（用来判断一个线性赋范空间下的范数是否为线性范函）

线性泛函：
1.是线性赋范空间到数域的映射；
2.必须是线性的

6.R^n上的线性泛函

注：事实上R^n 上的任何有界线性泛函定可以写成式（4.1.10）的形式。也就是说 R 上的个有界线性泛函，是由 R^n 中的一个元素a（n维）确定的。在 R^3 中可以更清楚地看到，元素a正是平面 f(x)=0 的法向量。

a=(a_1,a_2,a_3),f(x)=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0

进一步的我们看到，定义在有限维空间上的线性算子，都是连续线性算子。 f(x)=(a,x)

7.积分是线性范函

可以证明 ||f||=\int_{a}^{b}|y_0(t)|dt

特别地，若 y_0(t)\equiv1 ，定积分 f(x)=\int_{a}^{b}x(t)dt 是 c[a,b] 上的有界线性范函。

8.微分算子是无界算子

注：不是所有的线性算子都是有界的，十分重要的微分算子就是无界算子。它虽然是无界的，但是是闭的线性算子（闭算子的定义见第三节，闭的线性算子也有“类似连续”的很好的性质）.

连续不一定可微

见视频p46-p47及课本p111-p114

4.1.4 有界线性算子范数的计算

1.L[a,b]到 C[a,b] 的线性算子，定义范数如下，是有界的，且范数为1（p114）

2. C[a,b] 到 C[a,b] 的积分算子，则K是有界线性算子（p115）