泛函分析:4.1 有界线性算子和有界线性泛函
参考视频45-56讲
《泛函分析教材》孙炯
第四章 有界线性算子
数学研究的对象有两种:函数、运算,前三章大多研究在函数空间中。运算:平移、旋转、微积分等。下面研究在一些特定空间上的线性运算(线性方程组、微分方程、积分方程)的性质。我们将把它们称之为线性算子(是泛函分析中最重要的基本概念之一)
我们把全体有界线性算子看作一个线性空间,并赋以范数,成为赋范空间。线性算子看作赋范空间中的元素。线性算子空间是线性泛函研究的主要对象。
线性算子空间的框架下,研究线性运算的性质,解决分析、代数、几何中的问题。
在赋范空间中讨论有界线性算子的本质特征,可以得到一些很深刻的结论:
1.一致有界原则
2.开映射定理、逆算子定理
3.闭图像定理
4.1 有界线性算子和有界线性泛函
4.1.1 有界线性算子和线性泛函的定义
主要参考视频p45及课本p108。
主要内容:线性算子、线性泛函、有界线性算子、线性算子的连续性、线性算子有界与线性算子连续等价。
1.线性算子
线性算子: T(\alpha x+\beta y)=\alpha Tx+\beta Ty ,把具有这样性质的运算,称为线性算子。(简单理解:过原点的直线)
D(T) 是X的子集。注:x和x1都是赋范空间。
2.上的线性算子、线性泛函(实线性泛函、复线性泛函)
3.有界线性算子、有界线性泛函
也就是说:经过算子运算后,放大(或缩小),但是倍数不超过M。
- 注1:线性算子(线性泛函)的有界和函数的有界意义并不相同。例如在实数空间R,把 Tx=x 看作是是从 R 到 R 的线性算子,则T是有界线性算子, ||T||≤1 ,但是把 Tx=x 看作普通的实函数,它是无界函数.( Tx=x :无界函数但是有界线性算子)
- 注2:由于内积可以产生范数,内积空间也是赋范空间,所以有关赋范空间上有界线性算子、有界线性泛函的讨论在内积空间依然成立。(前面引入的时候, X和X_1 是赋范空间,实际上,在内积空间下也可以,因为内积空间也是赋范空间)
- 命题:有界线性算子把有界集映成有界集。
4.线性算子 T 的连续性
T 在 x_0 点连续:
由于线性算子运算是线性的,关于有界线性算子的连续性有下述结论:
T 在 x_0 点连续——>T 在 X 上连续:(在一点连续,推出在所有点连续)
注1:对于线性算子来说,一点连续意味着点点连续。
注2:线性算子 T 连续意味着: \lim_{n \rightarrow \infty}{T(x_n)}=T(\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n})
5.T 是连续的当且仅当 T 是有界的
注:线性算子连续等价于有界,无界线性算子即不连续。
4.1.2 有界线性算子组成的赋范空间
主要参考视频p45及课本p110。
主要内容:有界线性算子上定义范数、范数的两种等价形式、范数的乘法。
接下来,要把上面提到的这些有界线性算子当作一个元素,构成一个新的线性空间(放在一个空间框架下,给它建立范数等。)即由全体有界线性算子构成的空间。
从赋范空间的角度研究线性算子的性质
1.在有界线性算子中定义线性运算,成为一个线性空间
2.有界线性算子的范数定义
可以验证 ||T||=\sup_{x \in X,x\ne 0}{\frac{||Tx||}{||x||}} 是范数(非负、正定、正齐次、三角不等式)
全体有界线性算子:
1.是线性空间(加法、数乘)
2.赋范空间(有范数)——距离空间——可研究收敛性等几何特征,原来赋范空间满足的,对于有界线性算子都满足。(极限、可分、完备等)
3.范数定义的简化
||T||=\sup_{x \in X,x\ne 0}{\frac{||Tx||}{||x||}}=\sup_{||x||= 1}{||Tx||}=\sup_{||x||\leq 1}{||Tx||}
4.有界线性算子可以定义乘法
进一步有: ||A^n||\leq||A||^n
4.1.3 有界线性算子的例子
条件极值、拉格朗日乘子法、
1. R^n 上的任何有界线性泛函,是由 R^n 中的一个元素a确定的
事实上 R^n 上的任何有界线性泛函一定可以写成式(4.1.10)的形式。也就是说 R^n 上的个有界线性泛函,是由 R^n 中的个元素a确定的。在 R^3 中可以更清楚地看到,元素a正是平面 f(x)=0 的法向量。
2.有限维空间上的线性算子都是有界线性算子
注:定义域是有限维空间的线性算子是有界的,但是值域是有限维的线性算子不一定是有界线性算子。
3.无穷维空间的有界线性算子
4. C[0,1]\rightarrow R 的有界线性范函
5.线性泛函必须是线性的(用来判断一个线性赋范空间下的范数是否为线性范函)
线性泛函:
1.是线性赋范空间到数域的映射;
2.必须是线性的
6.R^n上的线性泛函
注:事实上R^n 上的任何有界线性泛函定可以写成式(4.1.10)的形式。也就是说 R 上的个有界线性泛函,是由 R^n 中的一个元素a(n维)确定的。在 R^3 中可以更清楚地看到,元素a正是平面 f(x)=0 的法向量。
a=(a_1,a_2,a_3),f(x)=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0
进一步的我们看到,定义在有限维空间上的线性算子,都是连续线性算子。 f(x)=(a,x)
7.积分是线性范函
可以证明 ||f||=\int_{a}^{b}|y_0(t)|dt
特别地,若 y_0(t)\equiv1 ,定积分 f(x)=\int_{a}^{b}x(t)dt 是 c[a,b] 上的有界线性范函。
8.微分算子是无界算子
注:不是所有的线性算子都是有界的,十分重要的微分算子就是无界算子。它虽然是无界的,但是是闭的线性算子(闭算子的定义见第三节,闭的线性算子也有“类似连续”的很好的性质).
连续不一定可微
见视频p46-p47及课本p111-p114
4.1.4 有界线性算子范数的计算
1.L[a,b]到 C[a,b] 的线性算子,定义范数如下,是有界的,且范数为1(p114)
2. C[a,b] 到 C[a,b] 的积分算子,则K是有界线性算子(p115)