用数学分析中的例子对点集拓扑与微分几何的一些理解(上）(未完结)
★本文主要采用点集拓扑和古典微分几何(曲线与曲面论)的角度，偶然会穿插微分流形的角度。本文已默认读者掌握相关基础知识，不再赘述。
当然，这只是用到了拓扑和微分几何，微分流形中极小的一部分，仅仅作为一种思考的参考。
一、用集合语言深入理解极限
极限思想可谓是数学分析的核心思想，大白话来说即逼近，用线性的、简单的、熟悉的去逼近非线性的、复杂的、不熟悉的。极限思想自古希腊时期就已经出现，Cauchy抛开Newton-Leibniz用几何，Euler、Lagrange用级数建立微积分的思想，首次引入极限作为微积分的出发点，现在的数学分析基本沿用他的结构，后经Weierstrass的ε－δ语言将其严格化。
但是，ε－δ语言的极限角度依赖于空间具有度量的结构，也就是要求空间是度量空间，这很大的限制极限思想在更广阔领域的应用。况且现代数学的基础是由Cantor建立的集合论与映射语言，如果能够用集合的观点表示出极限思想(即只涉及集合及其集合间的运算），那么极限思想将能够在更广阔的数学领域得到应用。
我们仔细回顾数学分析中对极限的解释，极限过程事实上只用到了邻域这个概念，也就是说真正起作用的是邻域，度量它只是诱导出了邻域，就说明有一个结构可以脱离度量结构而单独存在，我们将其抽离出来称为拓扑结构。
正如我们上面提到的，历史上也有人通过邻域来建立拓扑空间。通过点集拓扑，我们知道利用开集和利用邻域和利用闭包运算是等价的，而由布尔巴基学派从开集出发的角度因简洁明了，而广受采纳。
我们回到极限来，极限事实上描述了一个这样一个过程，以limx→x0 f(x)＝a为例，在a的任何一个邻域中，都包含着x0有个邻域的像。如果我们定义了a的邻域和X0的邻域，以及f:(X，T1)→(Y，T2 )，那就可以描述上述极限过程，注意到我们并没有定义度量的结构，这说明我们已经拓宽了极限的应用范围。
一个比较好的广义极限语言是由Cartan提出的滤子基，用一个特殊集族的“交”运算定义了极限，一般的极限都可以看做某一个基下的极限。
图片来自网络，读者也可参考卓里奇的《数学分析》第一卷
既然成功的将极限从度量空间推广到更一般的空间上去了，相应的连续性，光滑性，可积性都可以推广了。
二、深入讨论连续映射
数学中研究的映射一般都不是随意的，往往是保持某种结构的映射。正如抽象代数中的同态同构一样，连续映射之所以重要，在于其保持了开集结构。
回顾一下连续映射的定义:X,Y为拓扑空间，f连续⇔f(X)中所有开集的原象是开集。也就是从某种对应的角度看来，f(X)中的开集结构和X中的开集有个某种对应，某种意义上，f较大程度保持了原来X的拓扑结构。当f为同胚时，X和Y的开集结构完全一样，也就是拓扑结构完全一样。
当f为同胚，首先由f为双射，联系连续性，这首先说明两个空间的开集在数量上有一一对应；再者，由f和f⁻¹的连续性，因为f⁻¹是保持如下集合运算
★★★下面这个性质在之后说的四个拓扑不变量中都发挥了决定作用⁻⁻即f⁻¹保持任意交和任意并的性质
故f和f⁻¹事实上也保持了开集之间的关系即交和并运算，就像x＝y+z，在f作用后各自的像仍然有这个加法关系f(x)＝f(y)+f(z)一样。
这样，开集的个数间有一一对应，开集之间的关系也有一一对应。这也就说明了两个空间的开集结构即拓扑结构相同
举一个形象的例子，f为连续函数，就比如取f＝x²+1吧，我们会发现，f的值域是[1，+∞），而这是一个区间也即是一个连通的(当然也是道路连通的等等)，★★★这并不是偶然的，而是由于f是连续映射的特殊性质所保持。 因为如果我们取一个不连续的函数就比如f＝x²(x＞0)，x-1(x≤0）我想你马上反应过来，值域是(-∞，-1]U(0，+∞），而这明显不是连通集，也不是区间。这说明 f作为连续映射在这里起到了不平凡的作用。
事实上，这说明了存在一些性质是和连续映射息息相关的，之后会继续讨论这些性质:连通性，分离性，可数性，紧性。
一点补充:
①度量空间中特别是Rn中的邻域与开集:Rn中是先定义了球形邻域即B(a,δ）＝｛x| ‖x-a‖＜δ}，然后定义开集。比如R1中开区间(a,b）就是一个开集，也就是区间中每一个点都有一个球形邻域在区间中，这是很容易想象的。
但是换句话说，因为上述区间中还有区间，说明这里面至少还有区间类型的开集，但是，因为开集⇔其中每一个点都有一个邻域在该集合中，这样开集A就＝U x∈A (B(x,δ))，而球形邻域本身又是开集，也就是说任何一个开集可以表示成一些开集的任意并。 这也不是偶然的，事实上，这就是拓扑空间的基(上述区间就是一个拓扑空间，作为R1的子空间)。
类似于线性空间的线性基，我们可以某种程度类比。但值得注意的是，线性空间和拓扑空间还是有很大不同，下面就来看看一些不同。
②对比线性空间和拓扑空间
❶子空间:线性子空间除了继承 线性结构外，还要求对线性运算的封闭性，代数结构往往要求子结构自身的封闭性。
但拓扑子空间却不需要封闭性，只需要继承拓扑结构即可。
这就像同样是从空间中取出子结构，拓扑空间想怎么取就怎么取，而线性空间取的时候一定要保持运算封闭性
❷商空间:在线性空间中，取定了一个子空间V后，便有一个自然的等价关系:x-y∈V，进而得到商集X/R，同时也有自然的商集上的线性运算，构成商空间
在拓扑空间中，貌似没有自然的等价关系，需要根据具体情况定义，定义了等价关系后，配上相应的商拓扑，得到商空间
事实上，商拓扑是使f连续的最大拓扑，可以理解为这与f的满性有关。
三、Rn为什么性质这么好?
先来看个例子说明Rn好在哪里:用序列来说。在Rn中，聚点⇔存在一列逼近其的点列； (Heine归结原则)f在x0处连续⇔任何逼近x0的点列｛xn}，f(xn)→f(x0)
但是，在一般的拓扑空间中，上述条件仅仅具有充分性，不具有必要性。
在讨论以下性质之前，因为我们知道Rn实际上是一个笛卡尔积空间，相应的，拓扑称为积拓扑，由于积拓扑有其自身的特点，故说明一下笔者认为是有必要的。
事实上，积拓扑可以推广到任意个乘积，这里就直接给出两个常用的结论了:
①投影映射一定是连续开映射
②积空间中点列｛xn｝→x0⇔每一个分量分别收敛到x0的相应分量
1.连通性
因为在Rn里面 连通⇔道路连通，故此处就直接讨论连通性。
先来看一个简单又经典的例子，X1＝(0,1)∪(1,2)，X2＝(0,1)∪[1,2）。明显发现X1是不连通的，“断开了”。而X2其实就是(0，2)是连通的。
两者的区别我们其实也能发现:一个集合是否包含另一个集合的一个聚点貌似决定了是否连通(这其实也是连通性的定义)。给我们的感觉有点像“藕断丝连”的感觉，聚点就是“那根丝”。
★连续映射的连通性定理:如果f:X→Y，X连通，则f(X)也一定连通
关键在于f⁻¹保持两个集合的隔离性，导致如果f(X)可分解为两个隔离子集A,B，则f⁻¹(A)，f⁻¹(B)也是隔离的，这与X连通矛盾
这也就解释了之前在第二部分讨论连续映射是那个例子的原因了。
f保持连通性在R1中的简单应用:
可以很简单证明R1中 A为连通集⇔为区间 :
充分性显然。必要性:如果不是区间，则可以取a,b∈A得到(a,b)，则存在区间中一个c∉A，再用(-∞，c)，(c,+∞)分别交上A得到隔离子集，则不连通
①介值定理:f:X→R，X连通，则f(X)连通即为区间。从而对z∈(f(a),f(b))⊂f(X)，则存在x0，f(x0)＝z
②不动点定理:介值定理的直接推论
③n＞1，Rn⁻{0}连通(n＝1显然在0处断开了，不是区间)
④R2与R1不同胚(由③直接得出)。甚至，m≠n，Rm和Rm不同胚
事实上，因为④，因为极限是由邻域定义，而Rn同胚于n维的球形邻域B(x,δ），从而任何两个不同维的邻域结构是不同的，这说明了Rm中收敛不可能和Rn中收敛等价。比如R1中收敛不能推出R2中收敛(此处笔者没有做严格的讨论验证，可能有错误，欢迎批评指正，这里仅仅作为一个想法的分享)
事实上，有了连通性，可以证明x,y连通是一个等价关系，从而将空间X划分成不同的等价类即连通子集。限于篇幅原因，这里就不再提了。
2.可数性
在数学分析中，常常会做一件事，就是取子列，比如聚点可以用一列子列去逼近；反证法时也往往要取出一个子列得到与原条件矛盾的结论，从而完成反证。
对于满足第一可数公理(即每一个点处都有一个可数邻域基)⁻⁻比如R1就是满足的，任何一个点附近，取有理数半径的球形邻域即可。有以下结论
定理:x处一定有这样一个可数邻域基，并且Ui+1⊂Ui。
有了这个结论，那么意味着满足第一可数公理的空间，聚点可以用一列点列去逼近；归结原则的充分性也成立了(可以取子列导出矛盾）。这就回答了本部分最开始提出的问题。
稠子集:对任何x，对x的任何邻域U，D总与U有非空交，则D在X中稠密。
可分空间的一个好处在于，关于连续性相关的讨论可以在可数的稠子集上讨论，很多时候这在基数上是一个大的简化。如f,g在稠子集上相等，且f,g连续，则f＝g(x∈X)
定理:可分性在连续映射下保持
3.分离性
在Rn中，有一个很显然的结论:极限若存在必唯一，证明也是很显然的。但是在一般拓扑空间中不成立，因为比如平庸空间中，根据一般的点列收敛定义，每一个点列会收敛到任何一个点上去(当i＞M时，xi∈X，X为原空间，也是每一个点唯一的邻域)
为了讨论什么情况下极限若存在则唯一，进行以下讨论。为了简化一点，不妨设X满足第一可数公理(也就是可以取子列)。
我们或许已经发现，极限是否唯一事实上是与点的邻域是否“纠缠”是有直接关系的。来看下面几个图。
T0:即对x,y的任何邻域U和V，或者x∉V，或者y∉U。一般的情况就如上图。但上图这种情况极限必不唯一:因为x,y的任何邻域都有非空交，这导致如果有xn→x，则xn也→y，但x≠y(注意我们已经假设空间满足第一可数公理，所以取子列是可行的)
T1:对x,y任何邻域U和V，有x∉V且y∉U。这种情况和T0的那种一样，因为任何的U,V有非空交，极限不唯一
Haussdorff:对x,y，存在一个U,V，U∩V＝∅。这种情况下极限存在必唯一。因为如果xn→x且xn→y，则xn∈U∩V，而U∩V＝∅，则这样的xn是不存在的
既然在满足第一可数公理情况下，Haussdorff空间中极限若存在则必唯一。那么，在A1空间前提下，不是Haussdorff就一定极限不唯一吗?答案是肯定的，一定存在两个点不唯一(即存在x≠y使得xn→x也xn→y)
Proof:if X不是Haussdorff的，则存在x≠y，对x,y的任何邻域U,V，U∩V≠∅。因为满足第一可数公理，则可以取一列套住的(即Ui+1⊂Ui)x,y的邻域Ui和Vi。若取xn∈Ui∩Vi，则根据定义，会有xn→x和xn→y，此时极限存在但不唯一。
我们再来看一个问题:拓扑空间何时才可以“成为”一个度量空间?有一个结论:
(Urysohn嵌入定理):每一个满足第二可数公理的T3空间同胚于Hilbert空间的一个子空间
证明用到Urysohn引理，得到一族fi，构造f＝(f1(x),(1/2)f2(x),......,(1/n)fn(x))，则可以证明f为同胚映射
这说明Hilbert空间事实上只需要可数性，分离性即可
4.紧性
类比对于点的可数性公理，从而有可数个邻域基来简化一些过程。集合也有相关的，即紧性。简单的理解一下，实际上紧性可以把局部的性质推到整体上去。比如紧集A每一个点x处一个邻域有一个性质p，因为A＝∪Vx(x∈A)，则存在有限子覆盖，就把性质p推到了整体上。
定理:f为连续映射，如果子集A是紧集，则f(A)也是紧集
证明主要依赖于f⁻¹保持任意并的性质
既然紧集的性质如此之好，如果任何一个空间，或者至少常见的空间都是紧的，那将是十分方便的。可惜仅仅是R的非紧性就打破了这个愿望。不过，至少每一个拓扑空间都可作为其单点紧化的开子空间。
至于，在紧空间的分离性公理有一个有趣的结论:从紧空间→Haussdorff空间的连续双射f，其f⁻¹必定连续
我们知道，在一般的拓扑空间中，双射f连续无法得到f⁻¹也连续
特别的，在R中，连续单射f→f为单调函数(反正，再用介值定理)，从而在R中，由反函数连续定理，连续双射f必然有f⁻¹也连续，这是很好的性质。
正如介值定理依赖于连通性一样，最值定理也依赖于紧性
四、为什么要强调Rn完备?
完备意味着什么?我们首先知道，｛收敛列｝⊂｛Cauchy列｝，这意味着完备的空间对极限运算lim封闭，即极限还在原来空间中，不会跑出去。
R1中我们看到Q对lim就不封闭，因为找一个极限为无理数的有理数列｛qn}在Q中没有极限(用到了任何一个实数都可以用一个有理数列逼近的性质，其实就是Q在R中的稠密性)。故Q不完备，但R完备
我想你多少也感受到了，闭集因为包含所有的聚点，其实也对极限运算封闭。这涉及到一个推论:完备空间的闭子空间必然完备
(实变函数中的例子):我们知道，Riemann可积的函数类的空间对极限运算不封闭，即lim和∫不能交换顺序，但在Lebesgue可积的函数类的空间中，这是一个完备空间
通常意义下的Cauchy列依赖距离，故只有定义度量结构后才能定义这种Cauchy列
在更一般的一致空间中，可脱离度量定义类似Cauchy列的Cauchy滤子，Cauchy网等等
但是，完备性不是拓扑不变量:
Example:
(R,ρ1＝‖x-y‖），
(R,ρ2＝‖(x/1+|x|)-(y/1+|y|)‖)
而可以证明T1＝T2，即ρ1和ρ2诱导出的开集结构相同，但是(R,ρ1)完备，(R,ρ2)却不完备
更一般的，完备性作为等距变换f下的不变量，是有其特殊价值的。
完备性是等距变换f下的不变量:
Proof:
∵f为双射，首先两个空间X，Y的点之间有一一对应；同时f保距
不妨设X完备，则取｛yn}⊂Y为Cauchy列，自然的有｛xn｝为X中Cauchy列与之对应
由于f保距，而xn→x0，而f(x0)＝y0，则yn→y0。 即Y完备
从泛函分析知道，任何一个度量空间(X,ρ)在等距意义下存在唯一的完备化空间(即以ρ(xn,yn)＜ε为等价关系，将X中Cauchy列划分出商集X/R，并配之以自然的度量ρ*得到的商空间)
在等距意义下唯一可理解为X作为完备空间X1,X2的稠子空间，起到了连接X1,X2的桥梁作用，从而有一个自然的等距变换f
在度量空间中，“完备性”这个度量概念与“紧性”这个拓扑概念有着关系。
定理:(X,ρ)为度量空间，则X紧⇔(X,ρ)为完全有界的完备度量空间
Baire定理揭示了完备度量空间的开集结构不能随便定义:
(Baire):完备度量空间中任何一个非空开集都是第二纲集，即不能表示为一些无处稠密集的并
五、一些显然而又不显然的例子(一点点代数拓扑)
同伦和基本群、覆叠空间、单纯同调群
详见: https://zhuanlan.zhihu.com/p/491170379
⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻
参考教材:
①《数学分析》 [俄]卓里奇
②《微分几何》、《微分流形初步》 陈维桓
③《点集拓扑讲义》 熊金城
④《基础拓扑学讲义》 尤承业
⑤《现代几何学:方法与运用》 [俄]Б.А.杜布洛文、С.П.诺维可夫、А.Т.福明柯
